Введение в мат. анализ
.pdf61
§ 1. Понятие предела последовательности.
Дана числовая последовательность |
|
. |
|
|
|||
Определение. Число |
называется пределом последовательности |
, если для |
|||||
любого положительного числа |
существует такое натуральное число |
, что все значения |
|||||
, у которых номер |
, удовлетворяют неравенству: |
|
. |
|
|||
Обозначения: |
|
|
, |
, |
, |
|
. |
При этом говорят, что последовательность |
сходится (стремится) к числу |
||||||
(при , стремящемся к |
). Запишем определение предела в символической форме: |
||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся, в |
|||||||
противном случае она называется расходящейся. |
|
|
|
|
|||
Определение предела последовательности можно сформулировать и так: |
|||||||
Число называется пределом последовательности |
, если значения |
отличаются от числа |
сколь угодно мало , |
начиная с некоторого места , т.е. для |
||
всех достаточно больших номеров . |
|
|
||
Выражение сколь угодно мало означает, что неравенство: |
|
|||
выполнено для произвольных |
, а номер |
как раз и указывает то |
место, начиная |
|
с которого выполняется это неравенство для всех номеров , б льших . |
||||
есто, начиная с которого |
выполняется это неравенство, зависит, вообще говоря, |
|||
от . Поэтому в записи этого номера указан индекс . При уменьшении числа , как |
||||
правило, увеличивается этот номер |
: чем большей близости значений |
к числу |
требуется, тем более далекие значения последовательности приходится рассматривать.
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Здесь |
|
|
|
|
, например: |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и т.д. |
Видно, что значения |
|
сколь угодно мало отличаются от |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
числа 0, начиная с некоторого места . Поэтому можно предположить, что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
последовательность |
|
|
|
|
|
стремится к 0. Покажем, что это действительно так: |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пусть |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Если взять в качестве |
натуральное |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
число, большее или равное числу |
|
|
, то неравенство |
|
|
|
|
будет выполнено для |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
всех |
. |
Таким числом можно взять, например, |
|
|
целую часть числа |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Итак, пусть |
|
|
|
|
|
|
|
; тогда имеем: для любого положительного числа |
|
существует |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
такое натуральное число |
, что для всех натуральных |
|
выполнено неравенство: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
Это и означает, что |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62 |
||
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; например: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
и т.д. Видно, что значения |
|
, начиная с некоторого места , |
|
сколь угодно мало |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отличаются от числа 0,5. Поэтому можно предположить, что |
|
|
|
|
|
стремится к 0,5. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Покажем, что это действительно так: |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Пусть |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Если взять в качестве |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
натуральное число, большее или равное |
|
|
|
, то неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
будет |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выполнено для всех |
|
|
|
|
|
|
. Таким числом можно взять |
|
|
|
|
|
|
целую часть числа |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Итак, пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; тогда имеем: для любого положительного числа |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
существует такое натуральное число , что для всех натуральных |
|
|
|
|
выполнено |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неравенство: |
|
|
|
|
|
|
. |
|
Это и означает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Продолжим обсуждение определения предела последовательности. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равносильно следующим условиям: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-окрестность точки . Поэтому определение предела |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
можно записать в следующей форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
В этом заключается геометрический смысл предела последовательности: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Число |
предел последовательности |
, если любая окрестность точки |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
содержит бесконечное число ее членов, более того: содержит все члены, начиная с |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
некоторого номера . Вне этой окрестности может оказаться лишь конечное число |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
членов: |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. |
постоянная последовательность, |
|
|
, где |
|
произвольное число. |
В любой - окрестности точки |
содержится бесконечное |
|||
число членов последовательности, а точнее, все ее члены: |
|
|
, |
. |
Поэтому предел постоянной последовательности равен : |
. |
|
Пример 4. |
последовательность, у которой на |
|
четных местах стоит 1, а на нечетных стоит |
. |
|
63
Эта последовательность бесконечное число раз принимает значение |
и бесконечное |
|||||
число раз принимает значение |
. Проверим, может ли предел равняться 1 или . |
|||||
Рассмотрим произвольную |
- окрестность точки 1, но такую, чтобы она не |
|||||
содержала точку |
: |
. Эта окрестность хотя и содержит бесконечное число |
||||
членов, но не все ее члены, с какого бы места ни начинать, т.к. члены с нечетными |
||||||
номерами всегда будут лежать вне этой окрестности. |
|
|
|
|||
Аналогично можно рассуждать и с |
- окрестностью точки |
. Следовательно, |
||||
ни число 1, ни число |
не могут быть пределом данной последовательности. |
|
||||
Проверим, может ли какое-нибудь другое число |
быть пределом этой |
|
||||
последовательности. Пусть |
; рассмотрим такие |
- окрестности |
точки , |
|||
которые не содержат ни точки 1, ни точки |
: |
. Эти окрестности не содержат |
||||
ни одного члена последовательности, следовательно, число никак не может быть |
||||||
пределом. |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, получили, что |
не имеет предела, т.е. последовательность |
|||||
является расходящейся. |
|
|
|
|
|
Теорема (о единственности предела). |
|
|
|||
Если последовательность имеет предел, то он единственный. |
|
||||
Доказательство. |
|
|
|
||
Предположим, что это не так, т.е. существуют по крайней мере 2 различных |
|
||||
предела и |
, и пусть, например |
. Рассмотрим такие |
- окрестности |
и |
|
точек |
и , которые не пересекаются: |
. Это возможно, если |
|||
|
, т.е. при |
|
. |
|
|
|
|
|
|
Согласно определению предела в каждой из этих окрестностей должны находиться
все члены последовательности, начиная с какого-то места. Это означает, что |
|
|
|||||||
|
|
|
и |
|
|
|
. |
|
|
Пусть |
|
, тогда |
выполняются условия: |
|
и |
|
, |
||
т.е. |
|
. Но это невозможно, т.к. |
пустое множество |
|
не |
|
|||
содержит ни одного элемента. Это противоречие показывает, что последовательность не |
|
||||||||
может иметь более одного предела. Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
||||
Замечание 1. |
Пусть |
|
|
|
заданная последовательность; |
|
|||
тогда |
|
|
хвост |
(остаток) этой последовательности ( |
|
фиксированное натуральное число). Так как для предела существенны лишь
достаточно большие номера , то сходимость самой последовательности равносильна
сходимости ее хвоста , причем: . В частности:
… и т.д. Например:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
Замечание 2. Пусть две сходящиеся последовательности |
и |
|
полностью совпадают |
|||||||||||
или совпадают, начиная с некоторого места: |
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
Тогда из единственности предела следует, что обе последовательности сходятся к |
|||||||||||||
одному и тому же пределу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 2. Простейшие свойства. |
|
|
|
|
|||||
|
Дана сходящаяся последовательность |
, |
. |
|
|
|
|
|||||||
Свойство 1. Если число |
такое, что |
|
, то и все значения |
, начиная с некоторого |
||||||||||
места, будут больше |
, т.е. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
Если число |
такое, что |
, то и все значения , начиная с некоторого места, будут |
||||||||||||
меньше , т.е. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
По определению предела |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
Возьмем в качестве |
число, удовлетворяющее условиям: |
|
; тогда |
||||||||||
|
|
|
. Таким образом, |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
|
Если в качестве |
|
взять число, удовлетворяющее условиям: |
|
, то |
|||||||||
|
|
|
. |
Таким образом, |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
Свойство доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Свойство 2. |
Если |
|
, то и все значения |
, начиная с некоторого места, будут больше , |
||||||||||
т.е. |
|
|
|
|
. Если |
|
, то и все значения |
, начиная с некоторого |
||||||
места, будут меньше |
, т.е. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
Это свойство следует из свойства 1 при |
|
и |
. |
|
|
|
|||||||
Свойство 3. |
Если |
|
, то все значения |
, начиная с некоторого места, будут больше по |
||||||||||
абсолютной величине некоторого положительного числа, т.е. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пусть |
; |
возьмем число |
такое, что |
|
. По свойству 1 все значения |
||||||||
, начиная с некоторого места, будут больше |
: |
|
; тогда |
|
. |
|||||||||
|
Пусть |
; |
возьмем число |
такое, что |
|
. По свойству 1 |
все значения |
|||||||
, начиная с некоторого места, будут меньше |
: |
|
; тогда |
|
. |
|||||||||
|
Таким образом, начиная с некоторого места: |
|
, где |
|
или |
, т.е. |
||||||||
|
, |
|
|
|
|
. |
Свойство доказано. |
|
|
|
|
|||
Свойство 4 (ограниченность). Сходящаяся последовательность |
ограничена, т.е. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
По определению предела |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
Возьмем |
; тогда |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
65
Пусть ; тогда , т.е. хвост последовательности ограничен. Вне этого ограничения могут быть лишь значения:
. Так как этих значений |
конечное число, то можно выбрать среди них |
|
наибольший по модулю: |
. Пусть |
; тогда |
. Свойство доказано.
§ 3. Бесконечно малые величины.
|
|
|
|
|
Определение. Бесконечно малой величиной (сокращенно: б.м.в.) называется |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
последовательность, стремящаяся к нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б.м.в. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Используя понятие предела, можно дать следующее определение бесконечно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
малой величины: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б.м.в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Другими словами, последовательность |
|
называется бесконечно малой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
величиной, если значения |
|
|
отличаются от нуля |
сколь угодно мало , начиная с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
некоторого места , т.е. для всех |
|
достаточно больших номеров . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Замечание. Из определения следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б.м.в. |
б.м.в. |
б.м.в. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Примеры бесконечно малых величин. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. Пример 1 из §1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
фиксированное число). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Покажем, что эта последовательность является бесконечно малой величиной (при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
получаем предыдущий пример). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б.м.в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Пусть |
|
|
|
|
, тогда при |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Таким образом: |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, а это и означает, что |
|
|
|
|
б.м.в., т.е. |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
В частности, бесконечно малыми величинами являются последовательности: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
фиксированное число). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Покажем, что эта последовательность является бесконечно малой величиной. При |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
это очевидно; пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б.м.в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(прологарифмируем это неравенство по основанию ; при этом |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неравенство поменяет знак, т.к. основание логарифма |
) |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
(если |
, то |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
тогда при |
|
|
|
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Таким образом: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, а это и означает, что |
|
|
|
|
б.м.в., т.е. |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
В частности, бесконечно малыми величинами являются последовательности: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Связь сходящейся последовательности с бесконечно малой величиной. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Дана сходящаяся последовательность |
, |
|
|
|
|
|
|
. Введем новую |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
последовательность |
|
|
, где |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
По определению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б. м. в. |
|
|
|
|
|
|
|
б. м. в. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, имеет место следующее утверждение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема. Для того чтобы последовательность |
|
|
|
сходилась к числу |
, необходимо и |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
достаточно, чтобы разность между ними |
|
|
|
была бесконечно малой величиной. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
, где |
|
|
б. м. в., то |
|
|
|
|
|
|
|
, где |
|
|
б. м. в. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Поэтому утверждение теоремы можно записать в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
б м в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Пример. Рассмотрим геометрическую прогрессию |
|
|
|
|
|
. Составим последовательность |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ее частичных сумм |
|
|
|
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
По формуле суммы первых |
членов геометрической прогрессии (см. главу 2, § 2) имеем: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Получили равенство: |
|
|
|
|
|
|
|
, где |
|
|
|
|
|
б.м.в. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
. Полученный результат можно записать в виде: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 4. Свойства бесконечно малых величин.
Свойство 1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.
Доказательство. Докажем это утверждение для случая 2-х слагаемых. В общем случае
доказательство проводится аналогично. Пусть |
и |
б.м.в.; составим их сумму |
||
, |
. Пусть |
; согласно определению бесконечно малой величины для |
67
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
. Возьмем |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
; тогда при |
|
|
выполнены оба неравенства: |
|
|
|
и |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
. Таким образом: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Это означает, что |
б.м.в. |
Свойство доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную величину есть
бесконечно малая величина. |
|
|
|
|
|||||
Доказательство. Пусть |
б.м.в., а |
ограниченная величина, т.е. |
|
||||||
|
|
|
. Составим их произведение |
|
. Пусть |
; |
|||
согласно определению бесконечно малой величины для |
|
|
|
||||||
|
|
||||||||
|
; тогда |
|
|
|
|
. Таким образом: |
|
||
|
|
|
|
||||||
|
|
. Это означает, что |
б.м.в. |
Свойство доказано. |
Замечание. Под ограниченной величиной здесь и далее понимается ограниченная последовательность, а под постоянной величиной понимается постоянная последовательность.
Следствие 1. Произведение бесконечно малой величины на постоянную величину есть |
|
||||||||||||||
бесконечно малая величина: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
б.м.в., |
const |
|
б.м.в. |
|
||||
|
Действительно, т.к. постоянная величина является ограниченной, то из свойства 2 |
|
|||||||||||||
получаем это утверждение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следствие 2. Произведение бесконечно малой величины на сходящуюся |
|
||||||||||||||
последовательность есть бесконечно малая величина. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
б.м.в., |
|
сходится |
|
б.м.в. |
|
|||
|
Действительно, т.к. сходящаяся последовательность является ограниченной, то из |
|
|||||||||||||
свойства 2 получаем это утверждение. |
|
|
|
||||||||||||
Следствие 3. Произведение любого конечного числа бесконечно малых величин есть |
|
||||||||||||||
бесконечно малая величина: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
, |
|
б.м.в |
|
б.м.в. |
|
|||||||||
|
Действительно, бесконечно малая величина является сходящейся |
|
|||||||||||||
последовательностью, а значит и ограниченной величиной; произведение ограниченных |
|
||||||||||||||
величин естественно также является ограниченной. В результате имеем произведение |
|
||||||||||||||
одной бесконечно малой величины |
|
на другую ограниченную величину |
. |
||||||||||||
Следовательно, получим бесконечно малую величину. |
|
|
|
||||||||||||
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
, т.к. |
|
|
|
|
|
|
б.м.в. (сумма 3-х б.м.в.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
68 |
||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, т.к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б.м.в. (произведение б.м.в. на ограниченную |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
величину). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, т.к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б.м.в. (произведение 2-х б.м.в.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Пусть |
|
|
|
. Рассмотрим последовательность |
|
|
|
|
|
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частичные суммы |
, |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем, что последовательность |
|
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Воспользуемся очевидным тождеством: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда можно записать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Итак: |
|
|
|
|
|
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б.м.в. Следовательно (см. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
теорему из §3), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Рассмотрим геометрическую прогрессию |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Составим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
последовательность ее частичных сумм |
|
|
|
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сумма первых |
членов прогрессии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
По формуле (см. главу 2, § 2) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б.м.в. (произведение б.м.в. на постоянную величину). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б.м.в. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Следовательно, последовательность частичных сумм |
|
|
|
|
|
|
|
сходится и ее предел |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Этот предел называется суммой бесконечно убывающей геометрической |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прогрессии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Например: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 5. Арифметические операции над сходящимися последовательностями.
Даны последовательности |
и |
. Составим новые последовательности: |
|||
сумму, |
разность, |
произведение и |
|
частное этих |
|
|
последовательностей.
69
Теорема. Пусть последовательности |
|
|
и |
|
|
сходятся: |
, |
|
|
. Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сходятся их сумма, разность и произведение, причем: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
если |
, то сходится и частное этих последовательностей, причем: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Доказательство. Так как последовательности |
|
|
и |
|
|
сходятся, то |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
где |
|
и |
|
|
б.м.в. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отличается от |
||||
|
постоянного числа |
|
|
на бесконечно малую величину |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Согласно теореме из §3 |
заключаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отличается от постоянного числа |
|
|
на бесконечно малую величину |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. По теореме из §3 заключаем, что |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б.м.в.; покажем, что величина |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ограничена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
, то по свойству 3 из §2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для всех |
||||||||||||||||||||||||||||||||
натуральных , начиная с некоторого места и в частности, для всех этих |
выполнено |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
условие: |
|
|
|
|
. Тогда имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, начиная с |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
некоторого места. Следовательно, величина |
|
|
|
|
ограничена, |
а значит, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
последовательность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б.м.в., как произведение б.м.в. на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ограниченную величину (см. свойство 2 из §4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
отличается от постоянного числа |
|
на бесконечно малую |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
величину. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
. Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подведем первые итоги. Доказанная теорема, а также результаты, полученные выше, позволяют сформулировать некоторые правила, облегчающие вычисление пределов некоторых последовательностей.
Правила вычисления пределов последовательностей.
Пусть |
и |
сходящиеся последовательности, |
, |
, |
. |
Тогда: 1. 2. 3. 4.
70
5. если
6.
7. .
Примеры.
Вычислить следующие пределы:
1) |
|
|
; |
|
2) |
|
|
|
|
; 3) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4) |
|
|
|
|
|
; |
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 6) |
|
|
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7) |
|
|
; |
8) |
|
|
|
|
|
|
; 9) |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. 1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
6)
2.