Введение в мат. анализ

3.2)

,

нечетное,

.

Графики функций:

Свойства

:

,

; нечетная; строго на ; не ограничена; не

периодическая.

3.3)

,

. Графики функций:

Свойства

:

четное

,

; общего вида; строго

на ;

ограничена снизу; не периодическая.

нечетное

,

; нечетная; строго

на

и строго

на

; не ограничена; не периодическая.

4)

иррациональное число:

.

4.1)

,

. Графики функций:

Свойства

:

,

; общего вида; строго на ; ограничена

снизу; не периодическая.

4.2)

,

. Графики функций:

Свойства

:

,

; общего вида; не ограничена; не периодическая;

если

, то

строго на

; если

, то

строго

на .

5. Тригонометрические функции:

,

,

,

.

1) функции:

,

.

Графики этих функций:

Свойства

:

,

; нечетная; ограничена; периодическая с

;

строго

на

,

; строго на

,

.

Свойства

:

,

; четная; ограничена; периодическая с

;

строго

на

, ; строго

на

, .

2) функции:

,

. Графики этих функций:

Свойства

:

,

; нечетная; не ограничена;

периодическая с

; строго на

,

.

Свойства

:

,

; нечетная; не ограничена; периодическая

с

; строго

на

, .

6. Обратные тригонометрические функции.

Функция

строго монотонна

на промежутке

.

Следовательно, сужение функции на этот промежуток

имеет обратную функцию

, которая называется

арксинус

. Обозначение:

или

.

Функция

строго монотонна

на промежутке

.

Следовательно, сужение функции на этот промежуток

имеет обратную функцию

, которая называется

арккосинус .

Обозначение:

или

.

Функция

строго монотонна

на промежутке

.

Следовательно, сужение функции на этот промежуток

имеет обратную функцию

, которая называется

арктангенс .

Обозначение:

или

.

Функция

строго монотонна

на промежутке

.

Следовательно, сужение функции на этот промежуток

имеет обратную функцию

, которая называется

арккотангенс

. Обозначение:

или

.

Таким образом, определены обратные тригонометрические функции:

,

,

,

.

Свойства

:

,

; общего вида; ограничена; не

периодическая;

строго

на .

Свойства

:

,

; общего вида; ограничена; не

периодическая;

строго

на .

3)

:

Свойства

:

,

; общего вида; ограничена; не

периодическая;

строго

на .

4)

:

Свойства

:

,

; общего вида; ограничена; не

периодическая; строго

на .

Понятие сложной функции.

Пусть заданы функции:

и

, т.е.

и

.

Тогда определена «сквозная» функция:

, т.е.

«функция от функции».

Функция

называется сложной функцией, являющейся композицией (суперпозицией)

функций

и . Обозначение:

.

При этом

называется внутренней функцией, а

внешней функцией композиции.

Если рассмотреть композицию функций в другом порядке:

, т.е.

,

то получаем сложную функцию

. Здесь

внутренняя, а

внешняя

функция композиции.

Примеры.

1)

,

;

;

здесь

внешняя функция, а

внутренняя функция.

2)

,

;

;

здесь

внутренняя функция, а

внешняя функция.

3)

,

;

;

здесь

внешняя функция, а

внутренняя функция.

4)

,

;

;

здесь

внутренняя функция, а

внешняя функция.

5)

,

;

;

здесь

внешняя функция, а

внутренняя функция.

6)

,

;

;

здесь

внутренняя функция, а

внешняя функция.

7)

,

;

;

здесь

внешняя функция, а

внутренняя функция.

8)

,

;

;

здесь

внутренняя функция, а

внешняя функция.

Замечание. Если область определения

функции

и (или) область значений

функции

не заданы, то для корректного определения сложной функции нужно

следить за выполнением условия:

, т.е.

.

Например, если

,

, то сложная функция

вообще нигде не определена.

функции:

и

,

где

,

или иначе:

и

.

Например:

;

;

;

;

;

;

;

;

,

;

;

;

,

;

,

.

Композиция функций иногда может быть выражена и через другие функции.

Например:

,

.

Сложная функция может быть композицией не только 2-х, но и 3-х, 4-х и т.д.

функций:

композиция 3-х функций,

композиция 4-х функций и т.д.

Например:

композиция 3-х функций:

,

,

;

композиция 5-ти функций:

,

,

,

.

,

Классы элементарных функций.

Определение. Функция

называется элементарной, если она получена из

основных элементарных функций (

) с помощью конечного числа действий сложения,

Определение. Многочленом (целой рациональной функцией) степени

называется функция вида:

, где

,

, , …,

действительные числа,

.

В частности, многочленами являются:

- постоянная функция

многочлен нулевой степени;

- линейная функция

многочлен первой степени;

- квадратичная функция

многочлен второй степени.

, где

,

,

.

Многочлен является частным случаем рациональной функции при

.

В частности, рациональной функцией являются дробно-линейные функции:

,

,

,

.

Любая рациональная функция

может быть задана с помощью конечного

;

;

.

,

,

.

- гиперболический тангенс и

- гиперболический котангенс.

Кроме того, все функции вида:

как правило, не являются

элементарными.

Например, функция:

не элементарна (график этой

Например, функция модуль числа:

если

является элементарной, т.к.

если

является композицией элементарных функций

и

.

§ 1.

Понятие предела последовательности………………………………..

61

§ 2.

Простейшие свойства.. ………………………………………………………..

64

§ 3.

Бесконечно малые величины.……………………………………………..

65

§ 4. Свойства бесконечно малых величин..…………………………………

66

§ 5. Арифметические действия с пределами..……………………………

68

§ 6.

Бесконечно большие величины..…………………………………………

71