Введение в мат. анализ
.pdf101
4. |
|
|
|
|
|
|
|
; |
5. |
|
|
|
|
|
|
при |
. |
|
|
|
|
|
||||
Теорема верна и в случае односторонних пределов и в случае пределов на |
||||||||
бесконечности: |
|
|
|
и |
. |
|
|
|
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1). |
, . |
|
|
|
|
Действительно:
.
В частности, |
, |
при . |
2). |
, |
|
где |
|
многочлен степени . |
Действительно: |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
3). |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рациональная функция и |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Действительно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4).
§ 5. Пределы элементарных функций.
|
Рассмотрим пределы основных элементарных функций (см. §7 гл. 2). |
||
1. Степенная функция: |
|
. |
|
Покажем, что если |
, то |
. |
|
При |
или |
, где |
это показано выше (см. Примеры 1 и 3, §4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
102 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Докажем, что при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Рассмотрим сначала случай |
. |
Докажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Согласно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определению предела функции на языке |
- имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Для |
|
|
|
|
|
возьмем |
|
|
|
|
|
|
; тогда из условий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следует: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Это означает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Теперь рассмотрим случай |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Докажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. По определению |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
предела функции имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
Для |
|
|
|
(можно считать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
возьмем |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заметим, что при этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Тогда из условий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
Таким образом, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Это означает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Теперь рассмотрим случай |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, доказано, что при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
. |
|||||||||||
Пусть |
|
|
, где |
, т.е. |
|
|
|
|
|
. Тогда: |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
.
Если |
|
|
, то |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Следовательно, если |
|
|
|
|
любое рациональное число и , то |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, т.е. |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Ниже будет доказано это равенство для любого действительного числа . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример 1. |
|
|
|
. |
|
|
2. Показательная функция: |
, |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103 |
(Здесь вместо более привычного |
|
пишем |
|
, т.к. буква |
|
«занята»). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Покажем, что для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Рассмотрим сначала случай |
. |
|
Докажем, что |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Согласно определению предела функции на языке |
- имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В §8 главы 3 (см. Пример 2) было доказано, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Заметим, что и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмем |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Тогда при : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будем иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пусть |
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Это означает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пусть |
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и значит, |
|
. |
|
|
|
|
|
. Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Таким образом, доказали, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
при любых |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Пусть |
произвольное действительное число. Докажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Итак, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Тригонометрические функции: |
, |
|
|
|
, |
, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Покажем, что и для этих функций |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Предварительно докажем следующее утверждение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Лемма 1. |
Для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справедливы неравенства: |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Доказательство. В круге с центром в точке |
|
|
и радиуса (см. рис. ниже) проведем |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
острый угол |
|
|
, хорду |
|
|
и касательную |
|
|
к окружности в точке |
. При этом |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя сведения из планиметрии, можно |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
утверждать, что будут выполнены неравенства: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
площадь |
площади сектора |
площади |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
O |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
Обозначим через |
|
|
|
|
величину угла |
в радианах. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Получаем неравенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Сокращая на |
|
|
, |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
приходим к неравенствам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Лемма доказана. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следствие. |
Для , |
|
|
|
|
|
|
|
|
справедливо неравенство: |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для |
|
справедливо неравенство: |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Доказательство. |
Для |
|
|
|
|
|
это неравенство доказано, т.к. |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Итак, если |
|
|
|
|
|
|
и |
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Если |
|
, то |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть |
|
|
, тогда |
|
|
, а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, значит: |
|
|
|
|
|
|
. Следствие доказано. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Рассмотрим функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Докажем, что |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то по Следствию имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; тогда для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
возьмем |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Это означает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Аналогично для функции |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то по Следствию имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; тогда для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
возьмем |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Это означает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Для функций |
|
и |
|
|
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Таким образом, если |
|
|
|
|
тригонометрическая функция, то |
|
|
|
|
|
|
|
.
Пример 3. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
105 |
||
4. Обратные тригонометрические функции: |
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
Покажем, что и для этих функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Предварительно докажем следующее утверждение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Лемма 2. |
Справедливы следующие соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Доказательство. 1). Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
По определению функции |
|
|
|
|
|
имеем: |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Так как функция |
|
|
|
|
строго возрастающая на |
||||||||||||||||||||||
|
|
, то из равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следует: |
|
|
|
|
. |
|
Первое равенство |
|||||||||||||||||
доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2). Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По определению функции |
|
|
|
имеем: |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Так как функция |
|
|
|
строго возрастающая на |
||||||||||||||||||||||||
|
|
, то из равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следует: |
|
|
|
|
|
|
. Второе равенство |
||||||||||||||||||
доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Докажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Рассмотрим сначала случай |
. |
Докажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Согласно определению предела функции на языке - |
|
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для |
|
|
возьмем |
|
|
|
|
|
|
|
(если |
|
|
|
, то возьмем |
|
1). Тогда для |
|||||||||||||||||||||||
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
Так как функция |
|
|
строго возрастающая, то получаем неравенства: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
Это означает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Далее рассмотрим случай |
|
|
|
. Учитывая, что |
|
|
, можно считать |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда по Лемме 2 имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
. Введем обозначение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Если |
, то |
|
и как уже доказано, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
106 |
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, или: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
. |
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
Рассмотрим функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим: |
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Докажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим сначала случай |
|
. |
Докажем, что |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Согласно определению предела функции на языке |
- имеем: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Для |
возьмем |
|
|||||||
(если |
, то в качестве |
|
можно взять любое положительное число). |
|
|||||||||||||||||||||||||
Тогда для |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Так как функция |
|
|
|
строго возрастающая, то получаем неравенства: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, получим: |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||
Это означает, что |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Далее рассмотрим случай |
|
|
. Учитывая, что |
|
|
, можно считать |
. |
|
|||||||||||||||||||||
Тогда по Лемме 2 имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Введем обозначение: |
|
|
|
; тогда |
|
|
|
|
и |
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если |
, то |
|
и как уже доказано, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, или: |
|
|
|
|||
|
. |
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||
Рассмотрим функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим: |
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, если |
|
|
обратная тригонометрическая функция, то |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. Логарифмическая функция: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(В основании логарифма вместо более привычного |
|
пишем , т.к. буква |
занята). |
||||||||||||||||||||||||||
Покажем, что для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим сначала случай |
|
. |
Докажем, что |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107 |
|
Согласно определению предела функции на языке |
- имеем: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Пусть |
; для |
возьмем |
|
|
. Ясно, что |
|
. |
|
|||||||||||||
Тогда для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будем иметь: |
|
|
|
|
||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, т.е. |
. |
||
Это означает, что |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть |
|
, тогда |
|
|
|
и значит, |
|
|
|
|
|
. Следовательно: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
Таким образом, доказали, что |
|
|
|
|
при любых |
, |
|
||||||||||||||
|
Пусть |
произвольное положительное число. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Докажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
и |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Итак, если |
, |
|
, |
то |
|
|
. |
|||||||||||||
|
Возвращаемся к степенной функции |
|
|
|
, где |
произвольное |
|||||||||||||||
действительное число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Представим эту функцию в виде композиции функций: |
|
|
. |
|||||||||||||||||
Пусть |
|
произвольное положительное число. Тогда |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Следовательно, и в этом случае |
|
|
|
|
|
|
. |
|
Таким образом, имеет место следующая теорема.
Теорема (о пределе элементарной функции). |
|
|
|
Пусть |
элементарная функция (§8 гл. 2) и |
Т |
. |
Доказательство.
Во-первых, для всех основных элементарных функций (постоянной, степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических и обратных тригонометрических) это утверждение доказано.
Во-вторых, это верно для функций, полученных с помощью 4-х арифметических действий из этих основных элементарных функций (см. §4).
В-третьих, это утверждение верно и для композиции функций (см. Следствие §2):
если существуют пределы: |
и |
. Тогда |
существует |
, т.е. |
|
|
. |
|
108
Следовательно, согласно определению элементарной функции (см. §8 главы 2) утверждение теоремы истинно для всех элементарных функций. Теорема доказана.
Пример.
.
§ 6. Бесконечно большие функции.
Определение. Функция |
называется бесконечно большой величиной (б.б.в.) |
|||||
при |
, если для любого числа |
можно указать такое число |
, что для всех |
|||
значений |
|
и таких, что |
, |
выполняется неравенство |
. |
|
Функция |
называется бесконечно большой величиной (б.б.в.) со знаком |
|||||
при |
, если для любого числа |
можно указать такое число |
, что для всех |
|||
значений |
|
и таких, что |
, |
выполняется неравенство |
. |
|
Функция |
называется бесконечно большой величиной (б.б.в.) со знаком |
|||||
при |
, если для любого числа |
можно указать такое число |
, что для всех |
|||
значений |
|
и таких, что |
, |
выполняется неравенство |
. |
|
Соответствующие обозначения б.б.в. при |
: |
|
||||
|
|
, |
, |
|
, |
. |
Определение бесконечно большой функции символически можно записать так:
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
Определение бесконечно большой функции в случае односторонних пределов
:
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
. |
Определение бесконечно большой функции в случае пределов на бесконечности
:
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
109 |
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
. |
Все эти определения можно дать и на языке последовательностей. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Замечание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из определения б.б.в. следует: |
|
|
б.б.в. |
|
б.б.в. |
|
б.б.в. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
|
|
б б в при |
, т.е. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Действительно, так как по определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то |
|
для |
возьмем |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. |
|
|
при |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2) |
|
|
|
|
|
б б в со знаком |
при |
|
, т.е. |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||
Действительно, так как по определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то для |
|
возьмем |
|
|
|
; тогда |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, т.е. |
|
|
|
|
|
при |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Если |
|
|
|
, то |
|
и |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) |
|
|
|
|
|
б б в со знаком |
при |
|
, т.е. |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||
Действительно, так как по определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то для |
|
возьмем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
; тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, т.е. |
|
при |
. |
|
|||||||
4) |
|
|
|
|
|
|
б б в со знаком |
при |
|
, т.е. |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||
Действительно, так как по определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то для |
|
возьмем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
; тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(т.к. |
|
), т.е. |
|
|
|
|||
|
при |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
|
|
|
|
|
|
б б в со знаком |
при |
|
, т.е. |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
Действительно, так как по определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
110 |
|
|
|
|
, то для |
возьмем |
; тогда |
|||||||||
|
|
|
|
, т.е. |
|
|
при |
. |
|
|
|
|
|||
6) |
|
|
|
б б в со знаком |
при |
, т.е. |
|
|
|
. |
|||||
Действительно, так как по определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
, то для |
возьмем |
|
|||||||
|
|
; тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
, т.е. |
|
|
|
|
|
|
при |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Легко установить, что при |
|
выполняются следующие равенства: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
Другие примеры бесконечно больших функций: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
. |
Наглядно в этом можно убедиться по графику этих функций (см. §7 главы 2).
Замечание. Понятия неограниченной функции (см. §5, главы 2) и бесконечно большой функции не равносильны. Любая бесконечно большая функция является неограниченной,
но обратное утверждение неверно. Сравним их определения.
неограниченная функция на множестве |
|
|
. |
|||
б.б.в. при |
или |
|
|
|
|
. |
При этом: если |
, то |
|
; если |
, то |
|
; если |
, то |
|
|
. |
|
|
|
В случае б.б.в. неравенство |
|
должно выполняться для всех |
из |
|||
некоторой окрестности точки или |
|
; в случае неограниченной функции это |
||||
неравенство может выполняться лишь для некоторых значений . |
|
|
||||
Например, |
|
неограниченная функция при |
(на |
), но она |
||
не является бесконечно большой функцией при |
(см. график): |
|
|