22. Норма вектора евклидова пространства

Евклидово пространство. Длина (норма) вектора

Определение 1.Скалярным произведением двух векторов x = (x₁, x₂, … x_n) и y = (y₁, y₂, … y_n) n-мерного пространства называется число

(x, y) = x₁×y₁ + x₂×y₂ + … + x_n×y_n .

Определение 2.Евклидовым пространством называется линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее определенным условиям (аксиомам).

Определение 3.Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата

 .

23. Неравенства Коши – Буняковского, треугольника

Неравенство Коши-Буняковского

Доказывается как следствие из следующей теоремы:

            Теорема. Пусть – произвольная, не обязательно линейно зависимая система векторов. Тогда детерминант матрицы, составленной из их попарных скалярных произведений,

положителен, если векторы линейно независимы, и равен нулю, если они линейно зависимы.

            Первое утверждение следует из предложения 2 (Детерминант матрицы Грама любого базиса положителен), так как линейно независимые векторы составляют базис в своей линейной оболочке.

            Докажем второе утверждение. Если векторы линейно зависимы, то выполнено равенство , в котором среди коэффициентов есть отличные от нуля. Умножая это равенство скалярно на каждый из векторов. Мы придем к системе линейных уравнений

Которой удовлетворяют коэффициенты . Так как система имеет нетривиальное решение, детерминант её матрицы равен нулю.

            Следствие. Для любых двух векторов в евклидовом пространстве имеет место неравенство Коши-Буняковского

причем оно выполнено как равенство тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы.

Неравенство треугольника.

Из неравенства Коши-Буняковского следует еще одно важное неравенство, называемое неравенством треугольника,

Знак равенства имеет место, если , т.е. если угол междуx и y равен нулю, и только в этом случае. Неравенство треугольника для векторов – направленных отрезков – означает, что длина стороны треугольника меньше суммы длин остальных сторон.

24. Угол между двумя векторами евклидова пространства.

2 Длина вектора. Угол между векторами.

Определим с помощью введенного понятия скалярного произведения длину вектора и угол между векторами.

Определение 2.2   Длиной вектора в евклидовом пространстве называется число

(4)

Длину вектора будем обозначать через.

Естественно пожелать, чтобы угол между векторами, длина вектора и скалярное произведение были связаны обычным соотношением: скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Так как в этой фразе смысл всех слов, кроме слов ``угол между векторами'', нам уже известен, то этим предписывается следующее

Определение 2.3   Углом между векторами и мы назовем число

т.е. положим

(5)

Векторы иназываютсяортогональными, если угол между ними равен , т.е. если

С помощью введенных понятий можно перенести на евклидовы пространства ряд теорем элементарной геометрии 2.4.

Рассмотрим один пример. Если и-- ортогональные векторы, тоестественно считать диагональю прямоугольника со сторонамии. Докажем, что

т.е. квадрат длины диагонали прямоугольника равен сумме квадратов длин двух его непараллельных сторон (теорема Пифагора).

Доказательство. По определению квадрата длины вектора

В силу дистрибутивности скалярного произведения (аксиома 3)

В силу ортогональности векторов и

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Эту теорему можно обобщить: если векторы попарно ортогональны, то

25. Ортонормированный базис.

В евклидовом пространстве существуют специальные, особо удобные базисы, называемые ортонормированными базисами. Эти базисы играют ту же роль, что и декартов прямоугольный базис в аналитической геометрии. Перейдем к определению ортонормированного базиса.Определение.Будем говорить, что n элементов e₁,...,e_nn-мерного евклидова пространства Е образуютортонормированный базисэтого пространства, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из этих элементов равна единице, т. е. если

Для того чтобы установить корректность сформулированного определения, следует доказать, что входящие в это определение элементы e₁,...,e_nобразуют один из базисов рассматриваемого n-мерного пространства Е, а для этого, в силу теоремы 2.5, достаточно доказать, что эти элементы e₁,...,e_nлинейно независимы, т.е. что равенство

α₁e₁+ α₂e₂+ ... + α_n e_n = 0                                                                                                                                                                              (4.11)

возможно, лишь когда α₁= α₂= ... = α_n= 0. Докажем это. Пусть k — любой из номеров 1,2, ...,n. Умножая равенство (4.11) скалярно на элемент е_kи пользуясь аксиомами скалярного произведения и соотношениями (4.10), мы получим, что α_k= 0. Докажем теперь следующую основную теорему.Теорема 4.3.Во всяком n-мерном евклидовом пространстве Е существует ортонормированный базис. Доказательство. Согласно определению размерности в пространстве Е найдется n линейно независимых элементов f₁, f₂,..., f_n. Докажем, что можно построить n элементов e₁,e₂ ,...,e_n, линейно выражающихся через f₁, f₂,..., f_nи образующих ортонормированный базис (т.е. удовлетворяющих соотношениям (4.10)). Проведем доказательство возможности построения таких элементов e₁,e₂ ,...,e_nметодом математической индукции.

Если имеется только один элемент f₁, то для построения элемента e₁с нормой, равной единице, достаточно нормировать элемент f₁, т.е. умножить этот элемент на число, обратное его норме  (напомним, что среди линейно независимых элементов         f₁, f₂,..., f_nне может быть нулевого элемента, так что норма f₁больше нуля). Мы получим при этом элемент                e₁=f₁ с нормой, равной единице. Считая, что m — целое число, меньшее n, предположим, что нам удалось построить m элементов e₁,e₂ ,...,e_m, линейно выражающихся через f₁, f₂,..., f_m, попарно ортогональных и имеющих нормы, равные единице. Докажем, что к этим элементам        e₁,e₂ ,...,e_mможно присоединить еще один элемент e_m+1, линейно выражающийся через f₁, f₂,..., f_m+1, ортогональный к каждому из элементов e₁,e₂ ,...,e_mи имеющий норму, равную единице. Убедимся в том, что этот элемент e_m+1имеет вид

e_m+1 = α_m+1[f_m+1   - (f_m+1,e_m),e_m- (f_m+1,e_m-1),e_m-1- ... - (f_m+1,e₁)e₁],                                                                                                            (4.12)

где α_m+1— некоторое вещественное число. В самом деле, элемент e_m+1линейно выражается через f₁, f₂,..., f_m+1 (в силу того, что он линейно выражается через e₁,e₂ ,...,e_m, f_m+1, акаждый из элементов  e₁,e₂ ,...,e_mлинейно выражается через f₁, f₂,..., f_m). Отсюда сразу же следует, что при α_m+1≠ 0 элемент e_m+1заведомо не является нулевым (ибо, в противном случае, являлась бы нулевым элементом некоторая линейная комбинация линейно независимых элементов f₁, f₂,..., f_m+1 , в которой, в силу (4.12), отличен от нуля коэффициент при f_m+1). Далее из того, что элементы e₁,e₂ ,...,e_mпопарно ортогональны и имеют нормы, равные единице, и из соотношения (4.12) сразу же вытекает, что скалярное произведение (e_m+1, e_k) равно нулю для любого номера k, равного 1, 2,..., m. Для завершения индукции остается доказать, что число α_m+1можно выбрать так, что норма элемента (4.12) будет равна единице. Выше уже установлено, что при α_m+1≠ 0 элемент e_m+1, а, стало быть, и элемент, заключенный в (4.12) в квадратные скобки, не является нулевым. Стало быть, для того чтобы нормировать элемент, заключенный в квадратные скобки, следует взять число α_m+1обратным положительной норме этого, заключенного в квадратные скобки, элемента. При этом норма e_m+1будет равна единице.           Теорема доказана. Доказанная теорема приводит к следующему осуществляемому шаг за шагом алгоритму построения по данной системе n линейно независимых элементов f₁, f₂,..., f_nсистемы n попарно ортогональных элементов e₁,e₂ ,...,e_n, норма каждого из которых равна единице:

Указанный алгоритм обычно называют процессом ортогонализациилинейно независимых элементов f₁, f₂,..., f_n.Замечание. Конечно, в каждом n-мерном евклидовом пространстве Е существует много ортонормированных базисов.

26. Векторное произведение векторов, его свойства.

27. Смешанное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл.

28. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

29. Общее уравнение прямой на плоскости.

30. Уравнение прямой, проходящей через точку

31. Уравнение прямой, проходящей через две и . Уравнение прямой в отрезках.

32. Уравнение прямой, проходящей через , перпендикулярно

33. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия ∥, 􀙣 двух прямых.

34. Расстояние от точки до прямой, заданной уравнением

35. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору

36. Общее уравнение плоскости.

37. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки, не лежащие на одной прямой.

38. Угол между двумя плоскостями.

39. Условия ∥, 􀙣 двух плоскостей.

40. Расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением

41. Векторное уравнение прямой в пространстве.

42. Параметрические уравнения прямой в пространстве.

43. Канонические уравнения прямой в пространстве.

44. Уравнение прямой, проходящей через две точки

45)

46)

47)

48)

49,50)

51)

52)

55)

56)

57)

58)

59)

60)

61)

62)

63)

64)

65,66)