![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •3. 5. Определители матриц. Основные свойства определителей матриц. Вычисление матриц, минор и алгебраическое дополнение.
- •18.Размерность и базис линейного уравнения. Изоморфизм линейных пространств
- •19.Координаты вектора линейного пространства. Преобразование вектора при изменении базиса
- •20.Ранг системы векторов линейного пространства
- •22. Норма вектора евклидова пространства
- •2 Длина вектора. Угол между векторами.
19.Координаты вектора линейного пространства. Преобразование вектора при изменении базиса
В
линейном л-мерном пространствеФиксируем
два базиса
(9.8)
(9.9)
Матрицей перехода от базиса (9.8) к базису (9.9) называется матрица системы векторов (9.9) в базисе (9.8). Каждый вектор системы (9.9) можно разложить по базису (9.8). Пусть
(9.10)
Тогда матрица перехода от базиса (9.8) к
базису (9.9) имеет вид
(9.11)
Матрица перехода от одного базиса к
другому невырожденная (так как базисные
векторы линейно независимы). Всякую
невырожденную матрицу n
го порядка можно рассматривать как
матрицу перехода от одного базиса n
мерного линейного пространства к другому
базису этого пространства. Очевидно,
матрица
обратная
матрице (9.11), является матрицей перехода
от базиса (9.9) к базису (9.8).
20.Ранг системы векторов линейного пространства
Рассмотрим
систему векторов (1.1), где .Максимальной
линейно независимой подсистемой системы
векторов (1.1) называется любой набор
векторов последней, удовлетворяющий
следующим условиям: векторы этого набора
линейно независимы; всякий вектор из
системы (1.1) линейно выражается через
векторы этого набора. В общем, система
векторов (1.1) может иметь несколько
разных максимальных линейно независимых
подсистем.
Теорема 1.6. Все максимальные линейно независимые подсистемы данной системы векторов содержат одно и то же число векторов.
Число векторов в максимальной линейно независимой подсистеме системы векторов (1.1) называется рангом последней. Системы векторов (1.1) и (1.2) называются эквивалентными, если векторы системы (1.1) линейно выражаются через систему векторов (1.2) и наоборот.
Теорема 1.7. Ранги эквивалентных систем векторов равны.
Операции, переводящие систему векторов (1.1) в систему, ей эквивалентную, следующие:
1) изменение нумерации векторов в системе;
2) удаление нулевого вектора;
3) удаление вектора, являющегося линейной комбинацией остальных векторов системы;
4) умножение произвольного вектора системы на любое, не равное нулю число;
5) прибавление к одному из векторов системы линейной комбинации остальных векторов системы.
21. Евклидово пространство
Вещественное
линейное пространство называется
евклидовым, если каждой паре
элементов
этого
пространства поставлено в соответствие
действительное число
,
называемое скалярным произведением,
причем это соответствие удовлетворяет
следующим условиям:
В
скалярном произведении вектор
—
первый, а вектор
—
второй сомножители. Скалярное
произведение
вектора
на
себя называется скалярным квадратом.
Условия 1–4 называются аксиомами
скалярного произведения. Аксиома 1
определяет симметричность скалярного
произведения, аксиомы 2 и 3 — аддитивность
и однородность по первому сомножителю,
аксиома 4 — неотрицательность скалярного
квадрата
.
Линейные операции над векторами евклидова пространства удовлетворяют аксиомам 1–8 линейного пространства, а операция скалярного умножения векторов удовлетворяет аксиомам 1–4 скалярного произведения. Можно сказать, что евклидово пространство — это вещественное линейное пространство со скалярным произведением. Поскольку евклидово пространство является линейным пространством, на него переносятся все понятия, определенные для линейного пространства, в частности, понятия размерности и базиса.
1.
В нулевом линейном пространстве скалярное
произведение можно определить единственным
способом, положив
.
Аксиомы скалярного произведения при
этом выполняются.
2.
В пространствах векторы
(свободные или радиус- векторы)
рассматриваются как направленные
отрезки. В курсе элементарной геометрии
вводятся понятия длины вектора и величины
угла между векторами, а затем определяется
скалярное произведение:
.
Аксиомы 1—4 для этого скалярного
произведения выполняются. Поэтому
пространства
являются
евклидовыми. Неравенство Коши-Буняковского
в этом пространстве означает, что
.
Геометрический смысл: длина проекции
не превосходит длины наклонной (катет
короче гипотенузы).
3.
В пространстве скалярное
произведение столбцов
и
можно
задать формулой: