![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Оглавление
- •Введение
- •Лекция 1 Закон зеркального отражения. Принцип кратчайшего пути.
- •Закон Снелла. Принцип наименьшего времени
- •Правило знаков, используемое в геометрической оптике.
- •Параксиальное приближение
- •Лекция 2 Формулы, описывающие сферическую поверхность
- •Формула тонкой линзы
- •Cводка формул, описывающих прохождение луча через сферическую поверхность раздела двух сред.
- •Лекция 3 Понятие оптического изображения.
- •Гомоцентрические и негомоцентрические пучки лучей
- •Краткое описание аберраций
- •Связь положений предмета и изображения
- •Лекция 4 Построение хода лучей в геометрической оптике
- •Построение хода произвольного луча через отрицательную линзу
- •Классификация оптических систем
- •Построение изображения предмета
Параксиальное приближение
Это приближение сводится к предположению, что
лучи наклонены под небольшим углом к оптической оси. В этом случае абсолютные значения компонентов ортов лучей вдоль оси 0x значительно меньше единицы:
.
нормаль к поверхности также имеет небольшой наклон к оптической оси. Как и в случае ортов лучей имеем соотношение
.
в параксиальном приближении используются не точные, а приближенные значения компонент ортов лучей и нормалей к поверхностям. Эти приближенные значения получают разложением в ряд по степеням поперечных компонент соответствующих ортов с точностью до первых степеней
и
соответственно.
В
теории рядов доказывается, что функции
можно представить их степенным рядом.
Например,
и
представимы
рядами(см. worksheet
1 с использованием series).
Здесь самая высокая степень в разложении - x7, а порядок остаточного члена разложения равен 9. Ошибка разложения, таким образом, имеет порядок О(x9).
Получим
выражение для компоненты орта преломлённого
луча
в параксиальном
приближении. Если ограничиться
приближенными выражениями для компонентов
ортов с точностью до первых степеней
и
соответственно,
то компоненты ортов вдоль оси 0z
будут равны
и, аналогично,
.
Таким образом, в параксиальном приближении выражения для ортов лучей и нормали к поверхности раздела сред принимают вид:
Результат
вычисления компоненты
,
полученный в MathCAD, имеет
вид:
.
Проверим правильность полученного результата «ручным» вычислением с использованием классической записи закона Снелла.
Воспользуемся
тем фактом, что в параксиальном
приближении в соответствии с разложением
в ряд функции
|
|
Тогда в силу закона Снелла
Второе решение, полученное в MathCAD, очевидно, является лишним.
Лекция 2 Формулы, описывающие сферическую поверхность
Описание
сферы с положительным радиусом и
кривизной
.
Стрелка прогиба
.
Уравнение
для сферы (окружности) c
центром в начале системы координат
|
|
В
результате приходим к точному уравнению
для сечения сферы плоскостью
:
.
Полученная
формула хороша тем, что она применима
для описания не только выпуклой, но и
вогнутой сферической поверхности. Более
того, это выражение представляет и
плоскую поверхность: когда
,
для любого значения
получаем
.
Легко
проверить, что как в случае с
,
так и с
справедливо выражение для нормали
к сферической поверхности в точке
падения луча на эту поверхность
.
Условие
малых углов наклона нормалей к сферической
поверхности, соответствующее
параксиальному приближению,
обеспечивается при столь малых величинах
стрелки прогиба
,
что выражение для орта нормали приобретает
вид:
.
Действительно,
если расстояние луча до оптической оси
столь мало, что
,
то имеем
,
что приводит к приведённому выражению
для орта нормали в параксиальном
приближении.
Наконец, рассмотрим выражения для координат точки пересечения луча со сферической поверхностью в параксиальном приближении.
Пусть
Тогда точные
выражения для
|
|
Если
пытаться получить точное описание
траектории луча, то следует пользоваться
именно этими выражениями. Однако,
возникает вопрос: можем ли мы пренебречь
поперечным смещением луча при его
распространении от касательной плоскости
к сфере, то есть вместо координаты
пользоваться
координатой
.
Какова получаемая величина относительной
ошибки. Ясно, что для пучка, идущего
вдоль оптической оси (
)
ошибка вообще исчезает. В противном
случае
.
Поскольку
и
,
то относительная
ошибка оказывается величиной второго
порядка малости и ею в параксиальном
приближении можно пренебречь.
Выражения для нормали к поверхности изменят своё значение и, следовательно, луч преломится под другим углом. В параксиальном приближении, как отмечалось раньше, компоненты ортов вдоль оптической оси полагаем равными единице.
Поэтому
.