Закон Снелла. Принцип наименьшего времени

Сформулированный принцип наикратчайшего пути не объяснял факт преломления лучей на поверхности раздела двух прозрачных сред. Однако, небольшая модификация этого принципа позволяет объяснить и закономерности, возникающие переходе света из одной среды в другую.

На самом деле требования наикратчайшего пути и наименьшего времени распространения из одной точки в другую точку эквивалентны для однородной среды. Обобщение принципа Герона для лучей в различных средах было сформулировано Пьером Ферма. Если принять этот принцип Ферма, то легко получить закон преломления Снелла:

Итак, из точечного источника A, находящегося в среде с показателем преломления n₁, исходят лучи, которые после преломления, распространяются во второй среде с показателем преломления n₂. Какой из лучей попадёт в произвольно выбранную точку? Если распространение света происходит в соответствии с принцип минимума времени, то на его основании можно получить закон Снелла. Вычисления будут мало отличаться от тех, что проводились для зеркального отражения света. Напомним, что показатель преломления среды показывает, во сколько раз скорость света в среде меньше, чем в вакууме. Поэтому, скорости света в первой и второй средах

Тогда суммарное время распространения света из A в B через точку C равно:

Условие равенства нулю производной от функции даёт нам закон Снелла (см. worksheet 1).

Закон Снелла можно представить в виде, удобном для «трассировка лучей» через оптические системы. Пусть нормаль к поверхности в точке падения луча задаётся ортом , направления распространения падающего и преломлённого лучей задаётся ортами и,орт, лежащий в плоскости падения и касательный к поверхности раздела сред - . Тогда закон Снелла можно записать так:

Задача: проверить это утверждение.

Вычислим выражение для орта преломлённого луча , если задан орт падающего на поверхность луча, орт нормали к поверхности раздела сред в точке падения. Плоскость падения – плоскость. Поскольку в последней записи закона Снелла фигурирует орт касательной к поверхности в точке падения, то вычисляем его компоненты, используя тот факт, что. Поскольку является ортом, достаточно найти лишь поперечную компоненту этого орта.

Как видно из полученного выражения, даже этот простой случай трассировки луча даёт чрезвычайно громоздкое выражение для искомой величины. Очевидно, что точное решение только усложнится, если луч будет пересекать несколько поверхностей. Именно поэтому при проведении подобных расчетов используют различные степени приближения, самой грубой из которых является параксиальное приближение. Прежде чем продолжать рассмотрение численного моделирования прохождения лучей, условимся о т.н. «правиле знаков», которого мы будем в дальнейшем придерживаться.

Правило знаков, используемое в геометрической оптике.

Используемое здесь правило знаков удобно тем, что его легко запомнить. Отметим, что не существует «лучшего» правила знаков, и всегда следует обращать внимание, какая договорённость используется.

1. Луч распространяется слева направо вдоль положительного направления оси 0z.

2. Полусфера разделяет среды с показателями преломления n1 (слева) и n2 (справа).

3. Точка пересечения полусферы с осью 0z, её вершина, имеет координату v.

4. Сферическая поверхность имеет радиус кривизны r.

5. Удобно иметь дело с кривизной сферы c=1/r.

6. Радиус и кривизна являются положительными для выпуклого участка полусферы и отрицательными - для вогнутого участка.

7. Выбираем направление орта нормали к поверхности таким, чтобы его составляющая вдоль оси 0z всегда была положительной (для выпуклой поверхности с - направлена к центру, для вогнутой поверхности с- направлена от центра).

8. Расстояния вдоль 0x является положительным, если отсчет происходит от оптической оси (ось 0z) вверх.

9. Углы отсчитываются от положительного направления оси 0z. Если отсчет происходит против часовой стрелки, то угол - положительный.