Пределы
.pdfПодготовка к экзамену
Тема 1
ПРЕДЕЛЫ
На экзамене в теме «Пределы» может попасться пример одного из следующих типов 1
— 4. Рассмотрим их в подробностях.
1. Первое, что нужно делать, когда мы видим предел, — это попробовать подставить
число, к которому стремится «икс», в функцию, от которой вычисляется предел. Если в результате такой подстановки получится число, то это число и будет результатом вычисления предела. Если же получится одна из этих неопределенностей:
∞∞ ; ∞−∞; 00 ;00 ;1∞ ;∞0 ;0 ∞, (*)
то с этими неопределенностями надо как-то «бороться». Их мы рассмотрим в пунктах 2-4. Сейчас же заметим, что
число |
=∞ и |
число |
=0. |
(1) |
||
0 |
|
∞ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Вычислить предел |
|
|
2 x2 −2 x−17 . |
|
||
|
lim |
|
||||
|
x→ 5 |
x2+ x−32 |
|
|
Решение. Мы видим, что у нас стремится к числу 5. Подставим это число 5 вместо «икса» в функцию, которая стоит под знаком предела. Пишем
lim 2 x2 −2 x−17 =2 52−2 5−17 = 2 25−10−17 = 50−10−17 = 23 =−23 . x→ 5 x2+ x−32 52 +5−32 25+5−32 −2 −2 2
Получили конечное число, равное −232 . Значит, это число и есть искомый предел.
Ответ: lim |
2 x2 −2 x−17 −23 . |
|
|
|
|
|
|
|
x→ 5 |
x2+ x−32 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Вычислить предел |
|
4 x2 −2 x+3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x→ 0 |
5 x2−x |
|
|
|
|
Решение. Мы видим, что у нас стремится к числу 0. Подставим это число 0 вместо |
||||||||
«икса» в функцию, которая стоит под знаком предела. Пишем |
|
|
||||||
|
lim 4 x2 −2 x+3 |
= 4 02−2 0+3 = |
0−0+3 |
=3 |
=∞ |
|||
|
x→ 0 |
5 x2−x |
|
5 02−0 |
0−0 |
0 |
|
(последнее равенство здесь — см. формуле (1)). Ни одной из неопределенностей (*) нет, работают формулы (1).
|
Ответ: lim |
4 x2 −2 x+3 |
=∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x→ 0 |
5 x2−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Вычислить предел |
|
|
|
x2−4 x+4 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→ 2 |
|
12 x−12 |
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. Мы видим, что у нас стремится к числу 2. Подставим это число 2 вместо |
||||||||||||||||
«икса» в функцию, которая стоит под знаком предела. Пишем |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
lim |
|
x2−4 x+4 |
= 22−4 2+4 = |
4−8+4 |
= |
0 |
=0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|||||||||||
|
|
|
x→ 2 |
|
12 x−12 |
12 2−12 |
|
24−12 |
|
|
|||||||
Ни одной неопределенности вида (*) нет, в результате получилось число 0. Значит, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
x2−4 x+4 |
=0. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x2−4 x+4 |
|
|
x→ 2 |
|
|
12 x−12 |
|
|
|
|
|
|||
|
Ответ: lim |
=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12 x−12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x→ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2. |
Рассмотрим случай неопределенности |
вида |
. |
Вообще, сущность любой |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неопределенности состоит в том, что в результате любой из них может получиться что угодно: бесконечность, ноль, положительное число, отрицательное число. Собственно, потому это и называется неопределенностью, т. е. сразу непонятно, что получится в результате. Для начала разберем случай вида
lim P (x) ,
x→ a Q(x )
где P(x) и Q(x) — многочлены, обращающиеся в ноль в точке а, т. е. есть неопределенность вида 00 , при этом под пределом стоит дробь, в числителе и знаменателе которой —
многочлены.
Идея раскрытия таких неопределенностей: разложить многочлены в числителе и знаменателе дроби на множители, сократить всё, что сокращается, и после сокращения подставить в полученное выражение вместо «икса» то число, к которому стремится «икс».
Пример 4. Вычислить предел
|
|
|
lim |
x2+ x−2 |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x→ 1 |
x2−1 |
|
|
|
|
||||
Решение. У нас икс стремится к 1. Подставим 1 вместо икса в нашу дробь: |
|
|
||||||||||
|
x2 +x−2 |
= 12+1−2 |
=1+1−2= 0 . |
|
|
|||||||
|
x2−1 |
|
|
|||||||||
|
12−1 |
|
1−1 |
0 |
x2 +x−2 |
|
||||||
Получили неопределенность вида |
0 , |
и у нас в числителе и знаменателе дроби |
|
|||||||||
x2−1 |
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
стоят многочлены. Значит, это как раз наш случай. |
|
|
|
|
||||||||
Разложим эти многочлены на множители. Для этого решим уравнения: x2+x−2=0 и |
||||||||||||
x2−1=0. Первое уравнение даёт нам корни x1=1 и |
x1=−2. Следовательно, |
|
|
|||||||||
x2+x−2=( x−x1 ) ( x−x2)=(x−1) (x−(−2))=(x−1) (x +2). |
|
|
||||||||||
Второе уравнение даёт нам два корня |
x1=1 |
и x1=−1. Следовательно, |
|
|
||||||||
x2−1=(x−x1) (x−x2)=(x−1) (x−(−1))=(x−1) (x +1). |
|
|
||||||||||
Итак, подставляем полученные выражения в нашу дробь: |
|
|
|
|
||||||||
|
lim |
x2+ x−2 |
=lim |
(x −1)(x +2) |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→ 1 |
x2−1 |
x→ 1 |
(x −1)(x +1) |
|
|
||||||
Сократив на скобку (x-1), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x2+ x−2 |
=lim |
|
(x −1)(x +2) |
=lim |
|
x+2 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x −1)(x +1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x→ 1 |
x2−1 |
x→ 1 |
|
|
x→ 1 |
|
x+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Подставим теперь в полученную дробь |
|
x +2 |
|
число, к которому стремится «икс», т. е. 1: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
lim |
x2+ x−2 |
=lim |
(x −1)(x +2) |
=lim |
x+2 |
=1+2 = 3 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
(x −1)(x +1) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x→ 1 |
x2−1 |
x→ 1 |
|
x→ 1 |
x+1 1+1 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Ответ: lim |
x2+ x−2 |
=3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→ 1 |
x2−1 |
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 , что |
|
|||||
Смотрите: имели |
неопределенность |
, |
|
|
|
а |
предел |
получился |
равным |
весьма |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
интересно. Так что больше никакого бреда типа |
|
0 =0, ибо мы убедились, что в данном |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 превращается в ноль, но это |
|||||||
случае это не так. Бывают случаи, когда неопределенность |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 , в следующем примере |
|||||
далеко не всегда так. В нашем случае |
|
|
|
получилось равным |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
результат деления |
0 получится равным |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 5. Вычислить предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
x −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 5 |
|
|
x3−125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. У нас икс стремится к 5. Подставим 5 вместо икса в нашу дробь: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5−5 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
53−125 |
125−125 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Получили неопределенность вида |
0 , и у нас в числителе и знаменателе |
|
x−5 |
дроби |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x3−125 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стоят многочлены. Значит, вновь получаем обсуждаемый чуть выше случай.
Итак, разлагаем многочлены в числителе и знаменателе на дроби. Собственно, с числителем уже ничего делать не нужно: он и так разложен на множители. Разберемся со знаменателем. Для него надо вспомнить формулу сокращенного умножения:
a3 −b3=(a−b)(a2+ab+b2).
По этой формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x3−125=x3−53=(x −5)( x2 +5 x +52)=(x−5)(x2 +5 x+25). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Подставим это выражение в наш предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x−5) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
x −5 |
=lim |
|
|
|
|
|
x −5 |
|
|
|
|
|
=lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3−125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→ 5 |
|
|
x →5 (x−5)(x2+5 x +25) |
|
|
x →5 (x−5)(x2+5 x +25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сократим в числителе и знаменателе на одинаковую скобку (x-5). Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
x −5 |
=lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
x −5 |
|
|
|
|
|
|
|
=lim |
|
|
|
|
|
(x−5) 1 |
|
|
|
|
|
=lim |
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2+5 x +25 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x→ 5 x |
3−125 |
|
x →5 (x−5)(x2+5 x +25) |
|
|
|
x →5 (x−5)(x2+5 x +25) |
|
|
x→ 5 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставим в последнее выражение вместо «икса» то число, к которому этот «икс» стремится, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т. е. 5: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x−5) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
x −5 |
=lim |
|
|
|
|
x −5 |
|
|
|
|
=lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=lim |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
1 |
= |
|
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x3−125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2+5 x +25 |
52 +5 5+25 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→ 5 |
|
x →5 (x−5)(x2+5 x |
|
|
x →5 (x−5)(x2+5 x +25) |
|
|
x→ 5 |
|
|
|
75 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
В этом примере мы получили, как и обещали выше, что изначальная неопределенность |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
превратилась в число |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ответ: lim |
|
|
x −5 |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x→ 5 x3−125 |
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Пример 6. Вычислить предел |
|
|
|
|
|
|
x2−18 x+81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 9 |
|
x2−6 x−27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Решение. У нас икс стремится к 5. Подставим 5 вместо икса в нашу дробь: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2−18 x +81 |
= |
92−18 9+81 |
= |
81−162+81 = |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2−6 x−27 92−6 9−27 |
|
|
|
81−54−27 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2−18 x +81 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Получили неопределенность вида |
|
0 , |
|
и у нас в числителе и знаменателе |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2−6 x−27 |
|
|
|
|
|
||
дроби стоят многочлены. Значит, вновь получаем требуемый случай. Посмотрим, как |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
раскроется неопределенность вида |
|
|
0 |
|
в данном примере, в какое число она превратится. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для этого опять же разлагаем многочлены в числителе и знаменателе на множители. Для |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
этого приравняем числитель и знаменатель к нулю и получим два уравнения |
x2−81=0 |
|
и |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2−6 x−27=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Что нам даёт первое уравнение? Дискриминант обращается в ноль, и получается два |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
корня: x1,2=9. Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2−18 x+81=(x −x1 ) (x −x2 )=(x−9) (x −9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решаем |
второе уравнение |
|
|
x2−6 x−27=0. Вычислив |
|
дискриминант, получим |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x1=9 ; x2=−3. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2−6 x−27=(x−x1 ) (x−x2 )=( x−9) (x−(−3))=(x−9) (x+3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставляем полученные разложения в исходный предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
x2−18 x+81 |
|
=lim |
(x−9)(x−9) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2−6 x−27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 9 |
|
|
x→ 9 |
|
(x−9)(x +3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Сократим на одинаковую скобку (х-9): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x−9)(x−9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
x2−18 x+81 |
|
=lim |
|
=lim |
|
x−9 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2−6 x−27 |
|
(x−9)(x +3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 9 |
|
x→ 9 |
|
x→ 9 |
|
x +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теперь подставим то число, к которому стремится «икс», т. е. 9, в получившуюся дробь |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вместо «икса» и получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x−9)(x−9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
x2−18 x+81 |
=lim |
=lim |
x−9 |
= |
9−9 |
= |
0 |
=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2−6 x−27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→ 9 |
|
|
|
x→ 9 |
(x−9)(x +3) |
|
x→ 9 |
x +3 9+3 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: lim |
x2−18 x+81 |
=0. |
|
|
x2−6 x−27 |
|
|
||
x→ 9 |
|
0 |
|
|
Итак, мы видим, что в одном примере неопределенность вида |
превратилась в |
|||
|
|
|
0 |
|
число 32 , в другом — в число 751 , в третьем — в 0. Потому это и есть «неопределенность», т. к. даёт разный результат в зависимости от примера.
3. Пусть у нас по-прежнему имеется неопределенность вида 00 . Отличие от
предыдущего случая состоит в том, что теперь у нас функция, от которой вычисляется предел, содержит корень (во втором пункте функцией являлась дробь, в числителе и знаменателе которой находились исключительно многочлены, без каких бы то ни было радикалов и прочего).
Пример 7. Вычислить предел |
|
|
|
|
x−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
√x+13−4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. У нас икс стремится к 3. Подставим 3 вместо икса в нашу дробь: |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x−3 |
|
3−3 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
= |
0 . |
|
|||||
|
|
|
√ |
|
−4 |
√ |
|
−4 |
√ |
|
−4 |
4−4 |
|
||||||||||
|
|
|
x +13 |
3+13 |
16 |
|
|||||||||||||||||
Получили (о ужас!) |
|
снова неопределенность |
вида |
0 |
. Что |
делать, если у |
нас есть |
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
неопределенность |
и функция, |
от которой |
|
|
вычисляется |
предел, содержит |
радикал? |
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запомните правило: надо избавиться от радикалов, дающих нолик, домножением числителя и |
|
знаменателя на сопряженное. В данном случае нам даёт нолик выражение |
√ x+13−4. |
Значит, домножаем числитель и знаменатель дроби на то же самое, |
только с |
противоположным знаком, т. е. на √x+13+4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
lim |
|
x−3 |
=lim |
|
|
(x−3) (√ |
x +13 |
+4 ) |
|
=lim |
|
|
|
|
(x−3) (√ |
x +13 |
+4 ) |
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
√ |
x+13−4 |
√ |
x +13−4 ) ( |
√ |
x +13+4 ) |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x→ 3 |
x →3 ( |
x → 3 |
( |
x+13) +4 |
x +13−4 x +13−4 4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Слагаемые 4 |
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
√ |
|
||||||||
x+13 |
и |
x +13 |
|
|
взаимно уничтожаются, остаётся только следующее: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
x−3 |
|
|
|
|
(x−3) (√x +13+4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
=lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)2−4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 3 |
√ x+13−4 |
x →3 |
|
(√ |
x +13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Четырежды четыре равно 16, а корень квадратный в степени 2 взаимно уничтожаются, давая в результате подкоренное выражение:
|
|
(x −3) (√x +13+4 ) |
|
|
(x−3) (√ |
|
+4) |
|
|
(x−3) (√ |
|
|
+4) |
|
|
||||||||
|
lim |
=lim |
x+13 |
=lim |
x +13 |
. |
|||||||||||||||||
|
(√ |
|
)2 −4 4 |
|
x +13−16 |
|
|
|
|
x−3 |
|||||||||||||
|
x→ 3 |
x+13 |
|
|
x → 3 |
|
|
x →3 |
|
|
|
|
|||||||||||
В числителе и знаменателе имеем одинаковые скобки вида (х-3). Их можно сократить: |
|||||||||||||||||||||||
|
(x −3) (√x +13+4 ) |
|
(x−3) (√ x+13+4) |
=lim √ |
|
+4 |
|
|
|
||||||||||||||
lim |
=lim |
x +13 |
=lim (√ |
|
+4). |
||||||||||||||||||
x+13 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
x→ 3 |
x−3 |
x → 3 |
( x−3) 1 |
|
x →3 |
1 |
|
x→ 3 |
|
|
В последнее выражение вместо «икса» подставим то число, к которому стремится «икс», т. е. Число 3:
lim (√x+13+4)=√3+13+4=√16+4=4+4=8.
x→ 3
Ответ: lim |
|
x−3 |
=8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
√ x+13−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 8. Вычислить предел |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
10+x |
−3 . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x →−1 |
|
|
x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. У нас икс стремится к -1. Подставим -1 вместо икса в нашу дробь: |
||||||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
−3 |
|
√ |
10+(−1) |
−3 |
|
|
√ |
|
−3 |
|
3−3 |
|
0 |
|
|||
|
|
10+x |
= |
= |
9 |
= |
= |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
+1 |
|
−1 |
+1 |
|
0 |
0 |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|||||||||||||
И вновь нас посетила неопределенность вида |
Как и в предыдущем примере, умножим |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к выражению с радикалом, т. е. на такое же выражение, только с противоположным знаком между корнем и тройкой:
|
|
|
|
|
( |
|
|
−3) ( |
|
|
|
+3) |
|
( |
|
|
)2 −3 |
|
|
+3 |
|
−3 3 |
|
||
|
|
|
|
|
√ |
10+x |
√ |
10+x |
|
√ |
10+x |
10+x |
10+x |
|
|||||||||||
lim |
√10+x−3 |
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
√ |
|
|
|
√ |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x+1 |
|
|
(x +1) (√10+x +3) |
|
|
|
(x+1) (√10+ x+3) |
|||||||||||||||||
x →−1 |
|
x →−1 |
|
|
x→−1 |
|
|
|
|
Мы раскрыли скобки в числителе. Второе и третье слагаемое числителя взаимно
уничтожаются. Трижды три равно девяти, а (√10+x)2=10+х . Принимая всё это во внимание, получим, что
|
(√ |
|
)2−3 √ |
|
|
+3 √ |
|
−3 3 |
|
10+x−9 |
|
х +1 |
|
|
|
||||
lim |
10+ x |
10+x |
10+x |
= lim |
= lim |
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x →−1 |
|
|
(x +1) (√10+x +3) |
x→−1 |
(x +1) (√10+x +3) |
x →−1 |
(x +1) (√10 |
+x +3) |
В последней дроби можно сократить одинаковые скобки (х+1) в числителе и знаменателе:
lim |
|
х +1 |
|
|
|
|
= lim |
(х +1) 1 |
|
|
= lim |
|
|
1 |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(x+1) (√10+ x+3) |
(x +1) (√10+x |
+3) |
√10 |
+x+3 |
|||||||||||||||||||||||||||
x →−1 |
|
|
x→−1 |
|
x →−1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
Как уже отмечалось, икс стремится к -1. Подставим это число вместо «икса» в |
|||||||||||||||||||||||||||||||
полученное выражение: |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 . |
|
|
|
||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
= |
= |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3+3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
√ |
x →−1 √10+x +3 |
|
|
√10+(−1)+3 |
|
|
√9+3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||||||||||||
Ответ: lim |
10+x |
−3 = |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x →−1 |
|
x+1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Пусть у нас x → ∞ и функция, от которой вычисляется предел, представляет собой
дробь, в числителе и знаменателе которой — многочлены. Таким образом, рассмотрим пределы вида
lim P(x ) ,
x →∞ Q(x)
где P(x) и Q(x) — многочлены. Здесь правило следующее:
1)Найти наибольшую степень числителя и знаменателя.
2)Найти наибольшее из этих двух чисел.
3)Разделить числитель и знаменатель дроби почленно на «икс» в той степени, которая получилась в пункте 2).
4)Сократить в числителе и знаменателе всё, что сокращается.
5)Принимая во внимание то, что
число |
x → ∞ для любого |
k >0, |
(2) |
|
xk →0 при |
||||
|
а также то, что число стремится к самому себе независимо от того, куда стремится переменная «икс», получаем ответ.
Пример 9. Вычислить предел
lim |
4 x2−5 x +8 |
. |
|
|
+2 x2−x−3 |
||
x →∞ 7 x3 |
|
Решение. Итак, действуем по алгоритму.
1)Наибольшая степень числителя равна 2. А наибольшая степень знаменателя равна 3.
2)Выбираем наибольшее из чисел 2 и 3. Это будет 3.
3)Делим числитель и знаменатель дроби почленно на икс в полученной в пункте 2)
степени, т. е. на x3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x2 |
|
|
5 x |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
lim |
4 x2−5 x +8 |
|
|
=lim |
|
|
|
x3 |
x3 |
|
x3 |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
+2 x |
2 |
−x−3 |
|
7 x |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
− 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x →∞ |
7 x |
|
|
|
x→ ∞ |
+2 x |
− x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) Сокращая всё, что сокращается, получим: |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 x |
2 |
5 x |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
− |
|
|
3 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||
lim |
4 x −5 x +8 |
|
=lim |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
=lim |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
||||||||||
x →∞ 7 x3 +2 x2−x−3 |
|
x→ ∞ |
|
7 x3 |
+ |
2 x2 |
− |
x |
|
− |
3 |
|
|
x →∞ 7 + |
− |
|
− |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
x3 |
|
x3 |
x3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
5) Рассмотрим числитель: в нём все три слагаемые стремятся к нулю согласно (2): |
||||||
4 |
→0 |
при |
x→ ∞ (здесь число = 4 и k=1); |
5 |
→0 |
при x → ∞ (здесь число = 5 и k=2); |
||
x |
|
|||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|||
8 |
|
→0 |
при |
x → ∞ (здесь число = 8 и k=3). |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|||||
Рассмотрим знаменатель: семёрка стремится к |
самой себе (помните: число всегда |
|||||||
|
|
стремится к самому себе, куда бы ни стремился «икс»). Остальные же слагаемые по (2) стремятся к нулю («вырубаем» их таким же образом, как мы «вырубили» аналогичного вида
слагаемые, находящиеся в числителе). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теперь вместо всех слагаемых в предел |
lim |
x2 |
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
подставляем те числа куда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x →∞ 7+ |
− |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
эти слагаемые стремятся: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x2 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 x |
5 x |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
− |
|
|
3 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
4 x −5 x +8 |
=lim |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
=lim |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
= |
0−0+0 |
= 0 |
=0. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||
x →∞ 7 x3 +2 x2−x−3 |
x→ ∞ 7 x3 |
|
+ |
2 x2 |
− |
x |
− |
3 |
|
x →∞ |
7 + |
2 − |
− |
|
|
7+0−0−0 |
7 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
x3 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||
Ответ: lim |
4 x2−5 x +8 |
=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x →∞ 7 x3 +2 x2−x−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 10. Вычислить предел
lim 2 x3−2 x2+5 x−1 . x →∞ 7 x3 +x2−15 x−3
Решение. Да, снова действуем по алгоритму.
1)Наибольшая степень числителя равна 3, так же как и знаменателя.
2)Наибольшее число из 3 и 3 есть, конечно же, 3.
3) Значит, числитель и знаменатель дроби |
2 x3−2 x2+5 x−1 |
надо делить почленно на |
|||||||||||||||||||||
x3 . Делаем это: |
|
|
|
|
|
|
|
7 x3+ x2 −15 x−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 x33 − 2 x32 + 5 3x − |
1 |
|
|
2− 2 |
|
5 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||
3 |
2 |
|
|
|
+ |
− |
|
|
|
||||||||||||||
3 |
2 |
3 |
|||||||||||||||||||||
lim 2 x −2 x +5 x−1 |
= lim |
x |
|
x |
|
x |
x |
|
= lim |
|
x |
|
x |
x |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 152 − |
3 |
|
|||||||||||
x →∞ 7 x3 +x2−15 x−3 |
x →∞ 7 x3 |
+ |
x2 |
|
− |
15 x − |
3 |
|
x →∞ 7+ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x3 |
x3 |
x3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
x |
|
x |
x |
4)Уже сократили всё, что можно было бы сократить.
5)Итак, разбираемся с числителем. Так как 2 — это просто число, то оно стремится к
самому себе: |
2→2 при |
x→ ∞. Далее, по формуле (2) |
2 →0 при |
x → ∞ (здесь число = |
||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 и k=1); |
→0 при x → ∞ (здесь число = 5 и k=2); |
→0 |
при |
x → ∞ (здесь число = 1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
x3 |
|||||||||||||||||||||||||||
и k=3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
Аналогично со знаменателем: |
7→7 |
при |
|
|
x → ∞. Далее, по формуле (2) |
→0 |
при |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x → ∞ (здесь число = 1 и k=1); 15 |
→0 |
при |
x → ∞ (здесь число = 15 и k=2); |
3 |
→0 |
при |
||||||||||||||||||||||||
x3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x → ∞ (здесь число = 3 и k=3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Теперь заменяем в пределе все слагаемые в числителе и знаменателе теми числами, к |
||||||||||||||||||||||||||||||
каким эти слагаемые стремятся: |
2 x33 − 2 x32 + 5 3x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2− 2 + |
5 |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
2 x −2 x +5 x−1 |
= lim |
|
x |
x |
x |
|
x |
|
|
= lim |
|
|
|
x |
x |
x |
= 2−0+0−0 = 2 . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||
x →∞ |
7 x3 +x2−15 x−3 |
x →∞ |
7 x3 + |
x2 |
−15 x − |
3 |
|
|
x →∞ |
7+ |
− |
152 − |
|
7+0−0−0 7 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
x3 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
x |
|
|
|
|
Ответ: lim 2 x3−2 x2+5x−1 = 2 . x →∞ 7 x3 +x2−15 x−3 7
Пример 11. Вычислить предел
lim x4−2 x2+5 x +7 . x →∞ x3 +3 x2−4 x+3
Решение. Не будем отклоняться от алгоритма.
1)Наибольшая степень числителя равна 4, наибольшая степень знаменателя равна 3.
2)Наибольшее число из 4 и 3 есть 4.
3) Значит, числитель и знаменатель дробина |
|
x4−2 x2+5 x +7 |
|
|
до делить почленно на |
|||||||||||||||||||||
|
x3 +3 x2−4 x+3 |
|||||||||||||||||||||||||
x4 . Проделаем сию процедуру: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x 4 |
−2 x2 + |
5 x |
|
|
7 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
+ |
|
|
1− |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
||||||||||
|
x4−2 x2+5x +7 |
|
|
x 4 |
x4 |
x4 |
|
|
x2 |
|
|
x3 |
|
x4 |
|
|||||||||||
lim |
=lim |
|
x4 |
|
|
|
=lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|||||||
x →∞ x3 +3 x2−4 x+3 |
x →∞ |
x3 |
+3 x2 − |
4 x |
+ |
3 |
|
x →∞ |
|
− |
+ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x4 |
x4 |
x4 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
x x |
4)Собственно, уже сократили всё, что сокращается.
5)Итак, разбираемся с числителем. Так как 1 — это просто число, то оно стремится к
самому себе: |
1→1 при |
x → ∞. Далее, по формуле (2) |
2 |
|
|
→0 |
при x→ ∞ (здесь число = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 и k=2); |
|
|
→0 при x → ∞ |
(здесь число = 5 и k=3); |
|
|
|
|
|
→0 |
при |
x → ∞ (здесь число = 7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
и k=4). |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Аналогично со знаменателем: по формуле (2) |
→0 |
при |
x→ ∞ (здесь число = 1 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1); |
3 |
|
→0 |
при |
x → ∞ (здесь число = 3 и k=2); |
4 |
|
→0 |
|
|
при |
x → ∞ (здесь число = 4 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
x3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k=3); |
3 |
|
→0 |
при |
x → ∞ (здесь число = 3 и k=4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Заменяем в числителе и знаменателе все функции на их пределы: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
−2 x2 + |
5 x |
+ |
7 |
|
|
1− |
2 |
|
+ |
5 |
|
+ |
|
7 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x4−2 x2+5 x +7 |
|
|
|
x 4 |
x4 |
x4 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
x4 |
|
|
|||||||||||||||||||||
lim |
|
=lim |
|
|
|
x4 |
|
|
=lim |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
=1−0+0+0 |
= 1 =∞. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||
x →∞ |
x3 +3 x2−4 x+3 |
x →∞ |
x3 |
+ |
3 x2 − |
4 x |
+ |
3 |
|
x →∞ |
1 + |
|
|
− |
+ |
|
0+0−0+0 0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
x4 |
x4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
x |
x |
|
|
|||||||||||||
Последнее равенство вытекает из формул (1) (см. самое начало). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: |
lim |
x4−2 x2+5 x +7 |
|
=∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x3 +3 x2−4 x+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Итак, здесь тоже возникает неопределенность, ибо в первом примере мы получили |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
число 0, во втором — число |
|
2 |
|
, в третьем — бесконечность. Так получается, ибо здесь |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неопределенность вида |
∞ . |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
В самом деле, ведь в каждом из трех примеров каждый из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
многочленов — в числителе и в знаменателе — стремится к бесконечности при |
x → ∞. |