1.5. Примеры решения задач

Предлагается несколько простых примеров решения задач. Следует помнить, что частота, интенсивность от­казов и параметр потока отказов, вычисленные по фор­мулам (1.35), (1.6) и (1.13), являются постоянными в диа­пазоне интервала времени ∆t, а функции ,, – ступенчатыми кривыми или гистограммами. Для удобства изложения в дальнейшем при решении задач на определение частоты, интенсивности и параметра потока отказов по статистическим данным об отказах изделий ответы относятся к середине интервала ∆t. При этом ре­зультаты вычислений графически представляются не в виде гистограмм, а в виде точек, отнесенных к середи­не интервалов ∆t_i и соединенных плавной кривой.

Пример 1

Допустим, что на испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп. За 3000 ч отказало 80 ламп, требуется определить вероятность безотказной работы P(t) и вероятность отказа Q(t) в течение 3000 ч

Дано: N = 1000 шт. ∆t = 3000 ч n = 80 шт.		Решение: ; ; или.
Найти: P(t) Q(t)

Пример 2

Допустим, что на испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп. За первые 3000 ч отказало 80 ламп, а за интервал времени 3000–4000 ч отказало еще 50 ламп. Требуется определить частоту f(∆t) и интенсивность λ(∆t) отказов электронных ламп в промежутке времени ∆t = 3000–4000 ч.

Дано: N = 1000 шт. ∆t1 = 3000 ч n1 = 80 шт. ∆t2 = [3000, 4000] n2 = 50 шт.		Решение: ; ч–1; , где ; шт.; шт.; шт.; ч–1.
Найти: a(∆t2) λ(∆t2)

Пример 3

На испытание поставлено N₀ = 400 изделий. За время t = 3000 ч отказало n(t) = 200 изделий, за интервал ∆t = 100 ч отказало n(∆t) = 100 изделий. Требуется определить вероятность безотказной работы за 3000 ч, вероятность безотказной работы за 3100 ч, вероятность безотказной работы за 3050 ч, частоту отказов f(3050), интенсивность отказов λ(3050).

t = 0 t = 3000 ч ∆t = 100 ч

Рис. 1.3. Временной график

Дано: N = 400 шт. t = 3000 ч n = 200 шт. ∆t = 100 ч n(∆t) = 100 шт.		Решение: Вероятность безотказной работы определяется по формуле . Для t = 3000 ч (начало интервала) . Для t = 3100 ч (конец интервала) . Среднее время исправно работающих изделий в интервале ∆t: . Число изделий, отказавших за время t = 3050 ч: , тогда
Найти: Р(3000) Р(3100) Р(3050) f(3050) f(3000) f(3100) λ(3000) λ(3050) λ(3100)

.

Определяется частота отказа:

; ч^–1.

Так же определяется частота отказов за интервалы 3000 и 3100 ч, причем началом интервалов является t = 0.

ч^–1;

ч^–1.

Определяется интенсивность отказов:

а) в интервале ∆t= 3050 ч,;

ч^–1;

б) в интервале ч,шт.;

ч^–1;

в) в интервале ч,шт.;

ч^–1.

Пример 4

В течение некоторого периода времени производилось наблюдение за работой одного объекта. За весь период зарегистрировано n = 15 отказов. До начала наблюдений объект проработал 258 ч, к концу наблюдения наработка составила 1233 ч. Определить среднюю наработку на отказ t_ср.

Дано: n= 15 t1= 258 ч t2= 1233 ч		Решение: Наработка за указанный период составила ∆t = t1– t2 = 1233 – 258 = 975 ч. Наработка на отказ по статистическим данным определяется по формуле ,
Найти: tср

где t_i – время исправной работы между(i – 1)иi отказами;n –число отказов за некоторое времяt.

Приняв = 975 ч, можно определить среднюю наработку на отказ

t_ср= = 65 ч.

Пример 5

Производилось наблюдение за работой трех однотипных объектов. За период наблюдения было зафиксировано по первому объекту 6 отказов, по второму – 11 отказов, третьему – 8 отказов. Наработка первого объекта t₁ = 6181 ч, второго t₂ = 329 ч, третьего t₃ = 245 ч. Определить наработку объектов на отказ.

Дано: N = 3 шт. n1 = 6 шт. n2 = 11 шт. n3 = 8 шт. t1 = 181 ч t2 = 329 ч t3 = 245 ч	Решение: 1-й вариант решения: ; ; ч;
Найти: tср
2-й вариант решения:

,,;

_ч;ч;ч;

_ч.

Как видно, у задачи есть два варианта решения. Первый основан на использовании общей формулы вычисления средней наработки; второй – более детальный: сначала находится средняя наработка для каждого элемента, а среднее значение этих чисел и есть то, что определяется.

Пример 6

Система состоит из 5 приборов, причем отказ любого одного из них ведет к отказу системы. Известно, что первый отказал 34 раза в течение 952 ч работы, второй – 24 раза в течение 960 ч работы, а остальные приборы в течение 210 ч работы отказали 4, 6 и 5 раз соответственно. Требуется определить наработку на отказ системы в целом, если справедлив экспоненциальный закон надежности для каждого из пяти приборов.

Дано: N= 5 шт. n1= 34 шт. n2= 24 шт. n3= 4 шт. n4= 6 шт. n5= 5 шт. t1 = 952 ч t2 = 960 ч t3–5= 210 ч		Решение: Используются следующие соотношения: ;. Определяется интенсивность отказов для каждого прибора (N= 1): , где Nср – среднее число исправно работающих изделий в интервале ∆t. ч–1;ч–1; ч–1;
Найти: tср

_ч ^–1_{; ч}^–1_;

или

_ч^–1_;

тогда интенсивность отказов системы будет

_ч^–1_.

Средняя наработка на отказ системы равна

_ч.

Пример 7

За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зафиксировано 8 отказов. Время восстановления составило: t₁ = 12 мин, t₂ = 23 мин, t₃ = 15 мин, t₄ = 9 мин, t₅ = 17 мин, t₆ = 28 мин, t₇ = 25 мин, t₈ = 31 мин.

Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры.

Дано: n = 8 отказов t1 = 12 мин t2 = 23 мин t3 = 15 мин t4 = 9 мин t5 = 17 мин t6 = 28 мин t7 = 25 мин t8 = 31 мин	Решение: ; мин.
Найти: tср.в

Пример 8

Аппаратура имела среднюю наработку на отказ t_cp = 65 ч и среднее время восстановления t_в = 1,25 ч. Требуется определить коэффициент готовности К_г.

Дано: tcp = 65 ч tв = 1,25 ч	Решение: ; .
Найти: Кг

Пример 9

Пусть время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону λ = 2,5 · 10^–5 ч^–1. Требуется определить вероятность безотказной работы P(t), частоту отказов f(t) и среднюю наработку на отказ t_ср, если t = 500, 1000, 2000 ч.

Дано: λ =2,5·10–5 ч–1 t1 = 500 ч t2 = 1000 ч t3 = 2000 ч	Решение: ; ; ; ; ;
Найти: P(t) f(t) tср

ч^–1;

ч^–1;

ч^–1;

t_ср =;

_ч.

Пример 10

Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения Рэлея. Требуется определить количественные характеристики: P(t), f(t), λ(t), t_ср при t₁ = 500 ч, t₂ = 1000 ч, t₃ = 2000 ч, если параметр распределения σ = 1000 ч.

Дано: t1 = 500 ч t2 = 1000 ч t3 = 2000 ч σ = 1000 ч	Решение: Необходимо воспользоваться формулами, соответствующими закону распределения Рэлея ([8], табл. 1.1) ; ч–1; ч–1;
Найти: P(t) f(t) λ(t) tср

_ч^–1_;

;

;

;

;

;

_ч^–1_;

_ч^–1_;

_ч^–1_;

;

_ч;

_ч;

_ч.

Пример 11

Время безотказной работы гироскопического устройства с шарикоподшипниками в осях ротора гироскопа подчиняется закону Вейбулла – Гнеденко с параметрами k = 1,5, λ_о = 10^–4 ч^–1, а время его работы t = 100 ч. Требуется вычислить количественные характеристики надежности такого устройства.

Дано: k = 1,5 λо = 10–4 ч–1 t = 100 ч	Решение: Используются формулы закона Вейбулла – Гнеденко для определения количественных характеристик. Определяется вероятность безотказной работы: ; Частота отказов определяется по формуле .
Найти: P(t) f(t) λ(t) tср

Тогда

ч^–1

Интенсивность отказов определяется по формуле

;

ч^–1.

Вычисляется средняя наработка до первого отказа

.

Сначала вычисляют значение гамма-функции, воспользовавшись справочными данными ([8], табл. П.7.18):

.

Значения гамма-функции

х	Г (х)
1,67	0,90330

Полученные значения подставляют в формулу [8, с. 38]:

ч.

Пример 12

Известно, что интенсивность отказов λ = 0,02 ч^–1, а среднее время восстановления t_В = 10 ч. Требуется вычислить коэффициент готовности и функцию готовности изделия.

Дано: tВ= 10 ч λ= 0,02 ч–1	Решение: Коэффициент готовности изделия определяется по формуле Средняя наработка до первого отказа равна . Тогда
Найти: КГ РГ

Функция готовности изделия определяется по формуле

,

где t – любой момент времени, при t = 0 система находится в исправном состоянии.

.

Пример 13

Система состоит из 12 600 элементов, средняя интенсивность отказов которых λ_ср = 0,32·10^–6 ч^–1.

Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t = 50 ч.

Дано: N = 12 600 λср= 0,32·10–6 ч–1 t = 50 ч	Решение: Интенсивность отказов системы определяется по формуле ч–1. Вероятность безотказной работы по экспоненциальному закону равна: .
Найти: P(t)

Пример 14

Система состоит из N = 5 блоков. Надежность блоков характеризует- ся вероятностью безотказной работы в течение времени t, которая равна: p₁(t) = 0,98; p₂(t) = 0,99; p₃(t) = 0,97; p₄(t) = 0,985; p₅(t) = 0,975.

Требуется определить вероятность безотказной работы системы.

Дано: N = 5 p1(t) = 0,98 p2(t) = 0,99 p3(t) = 0,97 p4(t) = 0,985 p5(t) = 0,975	Решение: Необходимо воспользоваться формулой для определения безотказной работы системы: Вероятности p1(t), p2(t), p3(t), p4(t), p5(t) близки к единице, поэто­му вычислить Рс(t) удобно, пользуясь приближенной формулой. В данном случае q1 = 0,02; q2 = 0,01; q3 = 0,03; q4 = 0,015; q5 = 0,025. Тогда
Найти: Рс(t)

Пример 15

Система состоит из трех устройств. Интенсивность отказов электронного устройства равна λ₁ = 0,16·10^–3 ч^–1 = const. Интенсивности отказов двух электромеханических устройств линейно зависят от времени и определяются следующими формулами: λ₂ = 0,23·10 ^–4t ч^–1, λ₃ = 0,06·10^–6t^2,6 ч^–1.

Нужно рассчитать вероятность безотказной работы изделия в течение 100 ч.

Дано: N= 3 λ1= 0,16 ·10–3 ч–1 λ2= 0,23 ·10–4t ч–1 λ3= 0,06 ·10–6t2,6 ч –1 t = 100 ч	Решение: Так как λ ≠const, то на основании формулы можно написать
Найти: Р(t)

при t = 100 ч

Пример 16

Система состоит из трех блоков, средняя наработка до первого отказа которых равна Т₁ =160 ч, Т₂ = 320 ч, Т₃ = 600 ч. Для блоков справедлив экспоненциальный закон надежности.

Требуется определить среднюю наработку до первого отказа системы.

Дано: N= 3 Т1 = 160 ч Т2 = 320 ч Т3 = 600 ч	Решение: Согласно экспоненциальному закону . Интенсивность отказов системы: . Средняя наработка до первого отказа системы: ,
Найти: tср.с

следовательно,

Пример 17

Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из них в течение времени t = 100 ч равны: р₁(100) = 0,95; р₂ (100) = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти среднюю наработку до первого отказа системы t_ср.с.

Дано: N = 2 t = 100 ч р1(100) = 0,95 р2 (100) = 0,97	Решение: Определяется вероятность безотказной работы изделия: . Определяется интенсивность отказов изделия по формуле ; ч–1,
Найти: tcp.c

ч.

П

ример 18

Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t равна p(t) = 0,9997. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из N = 100 таких же элементов.

Дано: p(t)= 0,9997 N = 100	Решение: 1-й вариант решения: Если у всех элементов системы одинаковая надежность, то . 2-й вариант решения:
Найти: Pc

Так как вероятность близка к единице, то можно воспользоваться следующей формулой:

.

Для одного элемента системы:

т. е.

.

Из следует.

Получается, что первый вариант решения более точен.

Пример 19

Вероятность безотказной работы системы в течение времени t равна Р_с(t) = 0,95. Система состоит из N = 120 равнонадежных элементов. Требуется определить вероятность безотказной работы элемента р_i(t).

Дано: Рс(t)= 0,95 N = 120	Решение: Очевидно, что вероятность безотказной работы элемента будет . Так как близка к единице, то вычисления удобно выполнять по формуле .
Найти: Рi(t)

Тогда

.

Пример 20

В системе N_с = 2500 элементов, вероятность безотказной работы ее в течение одного часа Р_с(1) = 98 %. Предполагается, что все элементы равнонадежны и интенсивность отказов элементов λ = 8,4·10^–6 ч^–1. Требуется определить среднюю наработку до первого отказа системы t_ср.с.

Дано: Nс = 2500 Рс(1) = 98 % λ= 8,4·10–6ч–1	Решение: Интенсивность отказов системы определим по формуле λс = N ·λ = 8,4 · 10–6 · 2500 = 0,021 ч–1, средняя наработка до первого отказа системы равна: tср.с = 1/λс= 1/0,021 = 47,6 ч.
Найти: tср.с

Пример 21

Система состоит из пяти приборов, вероятности исправной работы которых в течение времени t = 100 ч равны: p₁(100) = 0,9996; p₂(100) = 0,9998; p₃(100) = 0,9996; p₄(100) = 0,999; p₅(100) = 0,9998. Требуется определить частоту отказов системы в момент времени t = 100 ч.

Предполагается, что отказы приборов независимы и для них справедлив экспоненциальный закон надежности.

Дано: t = 100 ч p1(100) = 0,9996 p2(100) = 0,9998 p3(100) = 0,9996 p4(100) = 0,999 p5(100) = 0,9998	Решение: По условиям задачи отказы приборов независимы, поэтому вероятность безотказной работы системы равна произведению вероятностей безотказной работы приборов. Тогда для случая высоконадежных систем (при значенях рi, близких к единице) имеем: ,
Найти: fс

Так как вероятность безотказной работы системы близка к единице, то в соответствии с формулой

интенсивность отказов можно вычислить следующим образом:

^ч–1,

тогда частоту отказов определим в соответствии с формулой:

а_с(t) λ_с(1 – λ_сt)= 2,2·10^–5(1 – 2,2·10^–5·100) = 2,195·10^–5ч^–1.

Пример 22

Изделие состоит из 12 маломощных низкочастотных германиевых транзисторов, 4 плоскостных кремниевых выпрямителей, 50 керамических конденсаторов, 168 резисторов типа МЛТ, 1 силового трансформатора, 2 накальных трансформаторов, 5 дросселей и 4 катушек индуктивности. Необходимо найти вероятность безотказной работы изделия в течение t = 200 ч и среднюю наработку до первого отказа.

Дано: N1 = 12 N2 = 4 N3 = 50 N4 = 168 N5= 1 N6= 2 N7 = 5 N8 = 4 t= 200 ч	Решение: Для решения данной задачи вычисляются величины ин­тенсивности отказов изделия, затем составляется и заполняется таблица 1.2. Значения интенсивности отказов элементов выбираются из [8] (табл. П.3.1, П.3.5, П.3.7).
Найти: Рс(200) tср.с

Таблица 1.2

Наименование и тип элемента	Количество элементов Ni	Интенсивность отказов, ч–1
		λi · 10 –5	Ni λi · 10 –5
Транзистор маломощный низкочастотный германиевый	12	0,3	3,6
Выпрямитель плоскостной кремниевый	4	0,5	2
Конденсатор керамический	50	0,14	7
Резистор типа МЛТ	168	0,05	8,4
Трансформатор силовой	1	0,3	0,3
Трансформатор накальный	2	0,2	0,4
Дроссель	5	0,1	0,5
Катушка индуктивности	4	0,05	0,2

Интенсивность отказов элементов

ч^–1.

По данным табл. 1.2 и по формуле для экспоненциального закона находится вероятность безотказной работы изделия в течение t = 200 ч и средняя наработка до первого отказа: