5Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная проекции на эту ось векторного момента силы относительно любой точки на оси.

Векторный момент силы зависит от выбора точки на оси, а его проекция, то есть осевой момент силы, будет одной и той же при любом выборе этой точки.

Из этого определения следует, что аналитическое вычисление моментов силы относительно координатных осей Ox, Oy, Oz можно выполнять по формулам расчета проекций векторного момента зтой силы относительно начала координат О (Аналитический метод вычисления векторного момента силы относительно точки).

Момент силы относительно оси может определяться также геометрическим методом.

6 Рассмотрим однородную (то есть имеющую одинаковую плотность во всех точках) тонкую фигуру (пластину), расположенную в координатной плоскости Oxy.

При определении координат x_C, y_C центра тяжести С плоской однородной фигуры применяют следующие методы:

Для фигуры произвольной формы координаты ее центра тяжести определяются интегрированием по площади фигуры S согласно следующим формулам:

x_C = ( x dx ) / S; y_C = ( y dy ) / S.

Если плоская однородная фигура обладает свойством симметрии, то есть имеет ось или центр симметрии, то ее центр тяжести лежит соответственно или на оси симметрии, или в центре симметрии.  Отсюда следует, что центры тяжести кольца и круглой пластины, имеющих центр симметрии, лежат в их геометрических центрах.

Метод разбиения: если плоскую фигуру можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всей фигуры опредляются по формулам:

x_C = ( s_k x_k ) / S; y_C = ( s_k y_k ) / S,

где x_k, y_k - координаты центров тяжести частей фигуры; s_k - их площади; S = s_k - площадь всей фигуры.

Метод дополнения, являющийся частным случаем метода разбиения.  Этот метод применяется к фигурам, имеющим вырезы, если ценры тяжести фигуры без вырезов и вырезанных частей известны.  Координаты центра тяжести такой фигуры определяются по приведенным в предыдущем пункте формулам, в которых s₁, x₁, y₁ - площадь и координаты центра тяжести фигуры без вырезов; s_k, x_k, y_k (k=2, 3, ...) - площади и координаты центов тяжести вырезанных частей, причем эти площади s_k подставляются в формулы со знаком минус.

Примерырасположения центров тяжести плоских фигур

7 Момент силы относительно точки

Моментом силы F относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на вектор силы F:

MO = r F.

Вектор MO считается приложенным к точке О и перпендикулярен плоскости треугольника ОАВ, в которой лежат векторы r и F. При этом он направлен в сторону, с которой кратчайший поворот (на угол, меньший 180°) вектора r к вектору F (если его мысленно приложить к точке О; см. рис.) виден происходящим против хода часовой стрелки, то есть по правилу правого винта.

Модуль момента M_O равен произведению модуля силы F на ее плечо h, равное расстоянию от моментной точки О до линии действия силы:

M_O = F · h.

Момент силы измеряется в системе единиц СИ в ньютон-метрах (Н · м).

Момент силы относительно точки не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия.

Момент силы относительно точки О равен нулю (M_O = 0), если:

• сила равна нулю (F = 0);

• линия действия силы проходит через точку О (плечо h = 0).

Аалитический способ

Если сила F задана своими проекциями Fx, Fy, Fz на оси координат и даны координаты x,y,z точки А приложения этой силы то ее векторный момент относительно начала координат О определяется аналитически следующим образом:

MO = r F = MOx i + MOy j + MOz k,

где i, j, k - орты координатных осей Ox, Oy, Oz, а проекции момента MO вычисляются по следующим формулам:

MOx = y Fz - z Fy;

MOy = z Fx - x Fz;

MOz = x Fy - y Fx;