Электронное пособие по дискретной математике

71

2. Решите следующую задачу по обходу графов:

В некоторой стране есть столица и еще 100 городов. Некоторые города (в том числе и столица) соединены дорогами с односторонним движением. Из каждого нестоличного города выходит 20 дорог, и в каждый такой город входит 21 дорога. Докажите, что в столицу нельзя проехать ни из одного города.

Решение:

Пусть в столицу входит a дорог. Тогда общее число "входящих" дорог равно 21 · 100 + a, а общее количество "выходящих" дорог не больше

20 · 100 + (100-a). Поэтому 21 100 + а 20 100 + (100 – а), то есть 2а 0.

Таким образом, a = 0.

Задания для самостоятельного выполнения

3.3.2.1. Орграф G1(V,E): V={a, b, c, d, e, f}, задан как алгебраическая система.

a) Для приведенного отношения задайте орграф геометрически. б) Постройте матрицу смежности орграфа.

0)R = {(а, b), (b, а), (b, с), (с, b), (с, а), (а, с), (d, e), (е, d)};

1)R = {(а, b), (b, a), (b, с), (с, b), (с, d), (d, с), (с, а), (а, с)};

2)R = {(a, b), (b, а), (b, с), (с, b), (с, d), (d, с), (d, e), (e, d)};

3)R = {(а, b), (b, с), (а, с), (b, е), (с, f), (с, d), (d, f), (f, е)};

4)R = {(b, c), (a, d), (b, a), (d, c), (b, d), (с, a), (f, d), (f ,c)};

5)R = {(b, а), (а, а), (b, с), (с, d), (d, с), (d, b), (d, а), (d, e)};

6)R = {(a, b), (а, с), (а, d), (с, а), (d, e), (e, d), (c, c), (d, b)};

7)R={(b, a), (c, с), (а, d), (с, а), (d, e), (e, c), (d, b), (e, f)};

8)R = {(a, b), (а, с), (а, d), (e, а), (d, e), (e, d), (c, b), (d, d)};

9)R = {(a, e), (а, a), (а, d), (с, а), (d, e), (d, d), (c, c), (b, d)}.

75

7)Жук ползет по ребрам куба. Сможет ли он последовательно обойти все ребра, проходя по каждому ребру ровно один раз? Указание: задумайтесь над вопросом: сколько раз жук может побывать в каждой вершине?

8)Художник нарисовал картину "Контур квадрата и его диагонали". Мог ли он нарисовать свою картину, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну линию дважды? Указание: из каждой точки, за исключением начала и конца пути карандаша, должно исходить четное число линий.

9)Аркадий, Борис. Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько всего рукопожатий было сделано?

3.3.2.6. Решите следующие задачи по обходу графов:

0)Метро города Урюпинска состоит из трёх линий и имеет, по крайней мере, две конечные станции и, по крайней мере, два пересадочных узла, причём ни одна из конечных станций не является пересадочной. С каждой линии на каждую можно перейти, по крайней мере, в двух местах. Нарисуйте пример такой схемы метро, если известно, что это можно сделать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза один и тот же отрезок. Указание: не забудьте, что бывают кольцевые линии.

1)Как, не отрывая карандаша от бумаги, провести шесть отрезков таким образом, чтобы оказались зачёркнутыми 16 точек, расположенных в вершинах квадратной сетки 4 на 4?

2)Можно ли провести в каждом квадратике на поверхности кубика Рубика диагональ так, чтобы получился несамопересекающийся путь?

3)Доска имеет форму креста, который получается, если из квадратной доски 4 × 4 выкинуть угловые клетки. Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на исходное поле, побывав на всех полях ровно по разу?

4)Пешеход обошёл шесть улиц одного города, пройдя каждую ровно два раза, но не смог обойти их, пройдя каждую лишь раз. Могло ли это быть?

5)В центре куба 3 3 3 сидит жук. Доказать, что он, переползая через ребра, не сможет обойти все кубики 1 1 1по одному разу.

6)В квадрате 6×6 отмечают несколько клеток так, что из любой отмеченной можно пройти в любую другую отмеченную, переходя только через общие стороны отмеченных клеток. Отмеченную клетку называют концевой, если она граничит по стороне ровно с одной отмеченной. Отметьте несколько клеток так, чтобы получилось а) 10, б) 11, в) 12 клеток.

7)В одной из вершин а) октаэдра б) куба сидит муха. Может ли она проползти по всем его ребрам ровно по одному разу и возвратиться в

78

Решение:

Понятно, что длина маршрута асфальтоукладчика не меньше 24, так как он должен проехать по каждой улице хотя бы один раз. Докажем, что по крайней мере по четырём улицам ему придётся проехать по два раза. Ровно на восьми перекрёстках пересекается нечётное число улиц.

Следовательно, любой кольцевой маршрут асфальтоукладчика должен проходить по два раза по крайней мере по 8/2 = 4 улицам.Минимальная длина маршрута асфальтоукладчика равна 28; один из возможных маршрутов приведён на рисунке 6.

3. Задайте граф геометрически и решите задачу:

Выбежав после уроков на двор, каждый школьник кинул снежком ровно в одного другого школьника. Докажите, что всех учащихся можно разбить на три команды так, что члены одной команды друг в друга снежками не кидали.

Решение:

Отметим школьников на плоскости точками и соединим стрелочкой, если один кидал во второго. Получившаяся картинка будет выглядеть как несколько циклов с "рожками" (путями, ведущими от точки в цикл). Каждую такую фигуру легко разбить на три группы: разрывая цикл, одного школьника относим в первую группу, а получившиеся деревья разбиваем на четные и нечетные вершины.

Задания для самостоятельного выполнения

3.4.1. Запишите: 1) любой путь, не являющийся цепью; 2) цепь и простую цепь; 3) цикл, простой цикл, если таковые имеются.

79

3.4.2. Орграф задан геометрически. Постройте матрицу расстояний. Вычислите центр орграфа.

80

3.4.3.Определите кратчайший путь от вершины графа, отмеченной номером варианта до вершины А.