Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный аграрный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Электронное пособие по дискретной математике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.03.2016

Размер:

3.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Пересечением графов G1(V1, E1) и G2(V2, E2) называется граф G1

(V1, E1) G2 (V2, E2), множеством вершин которого является множество V1 V2, а множеством его ребер - множество E1 E 2.

Суммой по модулю два графов G1(V1, E1) и G2(V2, E2) при условии,

что V1 V2 = ; E1 E 2 = , называется граф G1(V1, E1) G2(V2,E2),

множеством вершин которого является множество V1 V2, а множеством его ребер - множество E1 E 2.. Этот граф состоит только из ребер, присутствующих либо в первом, либо во втором графе, но не в обоих одновременно.

Дополнением графа G1 (V1, E1) называется граф G1 (V1 , E1 )

множеством вершин которого является множество V1, а множеством его ребер является множество E1 = {e V1 x V1: e E1}

Примеры выполнения заданий

Пусть заданы два графа G1(V1, E1) и G2(V2, E2). Изобразите геометрически объединение, пересечение и сумму по модулю два.

1		a		2	1				2
1				2		a
						a			g
b			d	e	b

								f

3				4	3


							c	4

		c


Решение:
	G1(V1, E1) G2(V2, E2)				G1 (V1, E1) G2(V2, E2)

G1(V1, E1) G2(V2,E2)

Задания для самостоятельного выполнения

3.2.1. Пусть заданы два графа G1(V1, E1) и G2(V2, E2). Изобразите геометрически объединение, пересечение и сумму по модулю два.

	f	g
d		g
d

1		a
1
		2
	e	g
f	e	d
f		d
3		4
		c

5)		k
1	a
1
	2	e
		e
	e
b	d
	c
3	4	d
	d	d
	d

g	f

3.3. Представление графов в ПЭВМ

3.3.1. Неориентированные графы

Неориентированный граф G (V, E) – непустое конечное множество узлов (вершин) V и набор неупорядоченных пар вершин (ребер) E.

Способы задания графа:

1)аналитический (в виде алгебраической системы);

2)геометрический (в виде произвольного рисунка);

3)матричный (в виде матриц смежности и инцидентности).

Пусть v1, v2, ... vn - вершины графа G (V, E), а e1, e2, ... em - его ребра.

Матрицей смежности графа G называется матрица A(G) = ||aij||, i=1,...,n; j = 1, ..., n, у которой элемент aij равен числу ребер, соединяющих вершины vi и vj (соответственно, идущих из вершины vi в вершину vj).

Свойства матрицы смежности:

1)симметричная относительно главной диагонали,

2)значениями являются натуральные числа и ноль,

3)количество петель записывается на главной диагонали,

4)сумма значений по строке или в столбце равна валентности

вершины.

Матрицей инцидентности для неориентированного графа с n вершинами

иm ребрами называется матрица В(G) = [bij], i=1, 2,..., n, j = 1,2,..., m, строки которой соответствуют вершинам, а столбцы - ребрам. Элемент bij=1, если вершина vi инцидентна ребру ej и bij=0, если вершина vi не инцидентна ребру ej.

Свойства матрицы инцидентности:

1)несимметричная,

2)значениями являются ноль и единица,

3)сумма значений по строке или в столбце равна 2, если нет петель.

Примеры выполнения заданий

1. Граф G(V,E): V={a, b, c, d}, E={(a,b),(b,a),(b,c),(c,b),(a,c),(c,a),(c,d),(d,c)} задан как алгебраическая система.

а) Выясните, является ли заданное отношение эквивалентным. б) Для приведенного отношения задайте граф геометрически.

с) Постройте для графа матрицу смежности и матрицу инциденций.

Решение а):

нарушено условие рефлексивности – отсутствуют: (а,а), (b,b), (c,c), (d,d),

поэтому заданное отношение R не является эквивалентным.

Решение б):

a b

1			d		3

Решение с): матрица смежности	матрица инцидентности
А(G)=	В(G)=


	1	2	3	4

1	2	1	1	1

2	1	2	1	1

3	1	1	2	0

4	0	1	0	2


	a	b	c	d

1	1	0	0	1

2	1	1	1	0

3	0	1	0	1

4	0	0	1	0

2. Граф G(V,E): задан геометрически.

а) Задайте граф G(V,E) как алгебраическую систему.

б) Выясните, является ли заданное отношение отношением эквивалентности

2	3

Решение:

а)V={1,2,3,4,}, E={(1,1),(1,2),(2.2),(2,1),(3,3),(3,4),(4,3),(1,4),(4,4),(4,1),(4,5),(5,4),(5,5)

б) Нарушено условие транзитивности.

Отсутствуют пары (2,4), (4,2), (2,3), (3,2), (3,5),(5,3), (2,5), (5,2), (1,5), (5,1),

поэтому отношение R не является эквивалентным.

3. Графы G1(V1,E1) и G2(V2,E2) заданы геометрически. Постройте:

а) для графа G1(V1,E1) матрицу смежности,

б) для графа G2(V2,E2) матрицу смежности и матрицу инцидентности.

		1					e4
		1

		e1		e2		3	e3


							3	6
								6
	2	e5	e3		e6
		e5	e3		e6
		4					5
		4		e7			5
				e7
Решение:	Решение:
Матрица смежности:		Матрицы смежности и инциденций:
			1 2 3 4 5 6					1 2 3 4 5 6

v1 v2 v3 v4

А(G) =

2 1 1			0

1 0		2	1
	1 2	0	1


	0 1 1		0

67
		110000
010000
			011000


102100			011000
021100

		В(G) =	001000
А(G) =
011010			010100
	000100

		001100
	000000
			000110

Задания для самостоятельного выполнения

3.3.1.1.Граф G(V,E): V={a, b, c, d, e}, задан как алгебраическая система. a) Для приведенного отношения задайте граф геометрически.

б) Выясните, является ли заданное отношение отношением эквивалентности.

0) R = {(a, a), (а, b), (b, а), (b, b), (b, с), (с, b), (с, а), (а, с), (d, e), (е, d), (d, d)}; 1) R = {(а, 6), (b, a), (b, b), (b, с), (с, b), (с, d), (d, с), (с, а), (а, с), (c, c), (d, d)}; 2) R = {(b, b), (b, а), (b, с), (с, b), (c, c), (с, d), (d, с), (d, e), (e, d), (a, a), (e, e)}; 3) R = {(a, b), (a, а), (b, с), (b, b), (c, c), (d, d), (d, с), (d, e), (e, e), (a, e), (e, a)}; 4) R = {(b, c), (b, а), (b, d), (с, b), (c, a), (с, d), (d, с), (d, a), (e, d), (a, b), (d, d)}; 5) R = {(b, b), (a, а), (c, с), (с, b), (b, c), (с, d), (d, с), (d, d), (e, d), (d, e), (e, e)}; 6) R = {(a, c), (b, c), (c, с), (с, b), (c, a), (с, d), (d, с), (d, e), (d, d), (a, a), (e, a)}; 7) R = {(b, b), (a, а), (c, с), (d, b), (b, d), (d, d), (d, с), (d, e), (d, a), (a, c), (e, c)}; 8) R = {(e, d), (d, а), (a, b), (с, b), (e, c), (с, e), (e, a), (b, e), (e, e), (a, e), (c, c)}; 9) R = {(c, b), (b, c), (b, a), (a, b), (c, c), (с, d), (e, с), (d, e), (e, d), (a, a), (e, e)}.

3.3.1.2.Постройте для графа G(V,E), заданного геометрически

а) матрицу смежности; б) матрицу инциденций.
0)	1	1)
	1	1
	2	1
	2
6
				2
5		6
4	3	5	4	3
4	3	5	4

2)		1
5			2
	4		3
			3
4)	6		1
5
		4	2
		4	3
6)			3
6)
	6		5

4 1

2 3

8)	2
	2
	1

	2
	3
1
	4
	5
5)
	2
1
3	4
	4

7)	5	6
7)
	6	5

2 1

4 3

1	2

3.3.1.3. Дана матрица смежности графа. Задайте граф геометрически. Укажите: 1) матрицу инцидентности; 2) валентность вершин.

	01111

0)	10100

		11010


	10100

	10000

					69
		01010			01100

1)	10110		2)	10000
1)			2)
		01001			10011
		01001			10011

	11000			00100
		00100			00100
		00100			00100

	01111

3)	10011

		10001


	11001

	11110

		01110

4)	10001
4)
		10010
		10010

	10101
		01010
		01010

	01101

5)	10110

		10010


	10111

	10001

	01100

6)	10111

		11010


	11100

	10111

01011

12101 7) 11011

1010110012

	10011
		00101
8)		00101
8)
		11110
		11110

		00100
		00101
		00101

	01100

9)	11100

		01011


	11101

	10110

3.3.1.4. Постройте для графа G(V,E), заданного геометрически

1)Матрицу смежности и матрицу инцидентности.

2)Задайте граф как алгебраическую систему.

3)Подсчитайте валентность вершин.

4) Определите тип графа.

3.3.2. Ориентированные графы

Ориентированный граф (или орграф) G1 (V, E) – непустое конечное множество узлов (вершин) V и набор упорядоченных пар вершин (дуг) E.

Пусть v1, v2, ... vn - вершины графа G1(V, E), а e1, e2, ... em - его дуги. Матрицей смежности графа G1 называется матрица A(G1) = ||aij||, i=1,...,n; j = 1, ..., n, у которой элемент aij равен числу дуг, соединяющих вершины vi и vj (соответственно, идущих из вершины vi в вершину vj).

Свойства матрицы смежности:

1)несимметричная, в общем случае, относительно главной диагонали,

2)значениями являются натуральные числа и ноль,

3)количество петель записывается на главной диагонали,

4)сумма значений по строке (столбце) равна валентности вершины.

Матрицей инцидентности для ориентированного графа с n

вершинами и m дугами называется матрица В(G1) = [bij], i=1, 2,..., n, j = 1,2,..., m, строки которой соответствуют вершинам, а столбцы - дугам. Ее элемент: bij=1, если дуга еi выходит из вершины vj; bij= -1, если дуга ei входит в вершины vj; bij=0, если вершина vj не инцидентна дуге еi.

Свойства матрицы инцидентности:

1) несимметричная, 2) значениями являются -1, ноль и 1.

Примеры выполнения заданий

1. Орграф G1(V,E) задан геометрически. Постройте для орграфа: а) матрицу смежности; б) матрицу инцидентности.

Решение а): матрица смежности А(G1)=


1											1	2		3		4		5
							a
		b					a		1		0	0		1		0		0
									1		0	0		1		0		0
						3
									2		1	0		1		0		0

				f
				f
									3		0	0		0		1		0
									3		0	0		0		1		0

				c				e	4		0	1		0		0		1
	2
	2								5		0	0		1		0		1
									5		0	0		1		0		1

									Решение б):				матрица инцидентности В(G1)=
			d						Решение б):				матрица инцидентности В(G1)=
											a	b			c			d	e	g	f	k

								4

					g				1	1		-1			0		0		0	0	0	0



									2	0		1			-1		0		0	0	1	0
5
5									3	-1		0			0		-1		1	0	-1	0
k									3	-1		0			0		-1		1	0	-1	0
k
									4	0		0			1		0		-1	1	0	0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.05.201530.36 Кб16Экономика ОС.docx
#
21.05.20152.24 Mб131Экономика отраслей АПК.doc
#
16.08.20192.42 Mб6электричество лабы.doc
#
20.09.2019271.56 Кб5электроника.docx
#
28.09.2019146.43 Кб4Электронная тетрадь БИ 2012 год.doc
#
20.03.20163.37 Mб58Электронное пособие по дискретной математике.pdf
#
16.11.201956.17 Кб3Электронный учебник Практикум по МЛОИ часть 2.docx
#
20.11.2019303.94 Кб12Электронный учебник Практикум по МЛОИ часть3.docx
#
21.05.201531.22 Кб13ЭНЕРГИИ СОХРАНЕНИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ ЗАКОН.docx
#
21.05.2015286.21 Кб14эпизоотология.doc
#
20.03.20161.15 Mб18ЭТНМ - Лабораторная работа №2.pdf