Электронное пособие по дискретной математике

21

7)

z ( y C(z, y) y t x Q(t, y, x)) ;z y U(z, y) x z m F(m, x, z) ;

x ( y t A(x, y, t) y z Q(y, z)) ;y m U(y, m) x y m K(m, x, y) ;

8)

z ( x A(x, z) y z Q(y, z)) ;y ( m U(y, m) m x F(y, x, m)) ;

x ( y z K(x, z, y) y Q(y, x)) ;x ( y t U(t, y, x) y t R(y, t)) ;

9)

t ( y z H(t, y, z) x y G(y, x)) ;x y U(y, x) x y z Q(y, z, x) ;

y x z A(y, x, z) x z B(z, x) ;x ( y K(y, x) y z L(y, x, z))) ;

1.3.2. Приведите формулы логики предикатов к приведенной нормальной форме, где x, y, z – вещественные переменны, применив отрицание к формуле:

0)

y ( x (y > x) t (y = t)) ;

x ( y (y < x) z t (z + x + y t)) ;

x y z ((x + y > z) (x + z > y ) (y + z > x)) ;x y ( t (y t) (y > x)) ;

1)

y ( x (y x) z ((y = x) (y = z))) ;x y ( (y – x > 0) z (y - z > 0)) ;

x z ( ( y (z y) (z x ))) (x + z < 0)) ;t x y ((y < x) (t > x)) ;

2)

y x ((y x) z (y + x >z)) ;

t ( ( y (y = t)) x (t > x) (y > t)) ;x z y ((y – x >0) t (y – x > t)) ;x y ( (y > x) z (y < z)) ;

3)

t ( ( x (x = t)) y (y + t > x)) ;

y z ((y > 0) (z > y) x (y >x)) ;

24

x ( y U(y, x) y Q(y, x)) ;x y T(y, x) y x H(y, x) ;y x U(y, x) y x Q(y, x);x y R(x, y) y x P(y, x);

7)

x y A(x, y) y z T(y, z) ;

y m z U(y, m, z) x y z Q(y, x, z) ;x ( ( y A(x, y) y P(y, x))) ;

y x U(y, x) x y Q(y, x) ;y x P(y, x) z y x Q(y, x, z);

8)

x y A(x, y) y x R(y, x);y z U(y, z) x y P(y, x);

y z A(y, z) y z P(y, z) ;

y x K(y, x) z y x Q(y, x, z);y ( x y T(y, x) s x K(y, x));

9)

y x z H(x, y, z) y x G(y, x);x y P(y, x) y x Q(y, x);

y ( x y G(y, x) s N(y, s)) ;y x U(y, x) x y Q(y, x);y x H(y, x) x y P(y, x);

1.4. Применение логики предикатов

Язык логики предикатов удобен для записи математических предложений и определений. Он дает возможность выражать логические связи между понятиями, записывать определения, теоремы, доказательства.

Примеры выполнения заданий

Запишите определение на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте его отрицание:

Функция f непрерывна в точке x0, если и только если для всякого положительного числа существует положительное число такое, что для всякого x из области определения D функции f, если |x - x0| < , то

|f(x) - f(x0)| < .

26

Какова бы ни была величина a A и натуральное число n, найдется такая величина b A, что n * b = a.

7) Возможность сравнения

Для любых двух величин a, b A имеет место одно из трех отношений: a = b, a < b, a > b.

8) Аксиома Архимеда или Евдокса

Каковы бы ни были величины a, b A, существует такое n, что n* b > a

9) Аксиома соизмеримости отрезков

Пусть последовательность величин ai A, i = 1…n обладает свойством a1 < a2 <… < an <…, а последовательность bi A, i = 1…n свойством b1 < b2 <… < bn <… , при этом ai < bi для любых i, j N.

Пусть для любого > 0 существует такое N( ), что при всех n > N разность |an – bn| < . Тогда существует единственный элемент c A, удовлетворяющий условиям ai < с, с < bj для любых i, j N.

1.4.2. Запишите некоторые аксиомы действительных чисел на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы:

0)x + x’ = 0 (для любого x R существует x’ R, противоположный x)

1)x y x > y или y > x (для любых x, y R)

2)(x * y) * z = x * (y * z) (для любых x, y, z R)

3)x > x ( для любого x R)

4)(x + y) * z = x * z + y * z (для любых x, y, z R)

5)(x > y, y > z) (x > z) (для любых x, y, z R)

6)x 0 x* x’ = 1 (для любого x R. и x 0 существует x’ R, x’ – обратный элемент для x)

7)(x > y) (x + z > y +z) (для любых x, y, z R)

8)x * 1 = x, 1 R (для любого x R)

9)(x > y, z > 0) (x* z > y * z) (для любых x, y, z R)

1.4.3. Подберите элементарные предикаты и запишите следующие высказывания:

0)a) каждое положительное действительное число является квадратом другого;

b)натуральное число, которое делится на 6, разделится и на 2;

1)a) для каждого натурального числа существует одно и только одно число, непосредственно следующее за ним;

b)каждое действительное число является кубом другого;

27

2)a) натуральное число, которое делится на 6, разделится и на 3;

b)произведение двух натуральных чисел, одно из которых четное, другое нечетное, есть число четное;

3)a) от перемены мест сомножителей произведение не меняется;

b)натуральное число, которое делится на 2 и 3, разделится на 6;

4)a) натуральное число, которое делится на 9, разделится на 3;

b)от перемены мест слагаемых сумма не меняется;

5)a) частное от деления двух натуральных четных чисел, если оно существует, есть число четное или нечетное;

b)если произведение двух натуральных чисел делится на 5, то хотя бы один из сомножителей делится на 5;

6)a) для чисел отличных от нуля существует наибольший общий делитель;

b)если произведение двух натуральных чисел делится на 12, то среди них есть четное число, делящееся на 3;

7)a) если произведение двух натуральных чисел делится на 18, то хотя бы один сомножитель делится на 6 или хотя бы один из сомножителей нечетный; б) сумма двух натуральных чисел, имеющих различную четность, нечетна;

8)a) для чисел отличных от нуля существует наименьшее общее кратное; б) если ни одно из двух натуральных чисел не делится на 11, то их

произведение не делится на 11;

9)а) если произведение двух натуральных чисел делится на 12, то хотя бы один из сомножителей делится на 3 или хотя бы один из сомножителей четный; б) сумма двух натуральных четных чисел, есть число четное.

1.4.4.Запишите определения на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте их отрицания:

0) Функция f (x) называется возрастающей в промежутке X из области

определения, если для любых x1, x2 X, из условия x1< x2 следует неравенство f(x1) < f(х2).

1) Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если при удалении точки M в бесконечность по графику, расстояние от M до этой прямой стремится к нулю

28

2) Функция (x) называется бесконечно малой при x a, если для любого>0 вблизи точки a выполняется неравенство | (x)|< (это значит, что существует проколотая окрестность точки a, в которой выполняется указанное неравенство)

3) Функция f непрерывна в точке a, если она определена в этой точке и разность f(x)-f(a) бесконечно мала при x a, т.е. функция f непрерывна в

бесконечно мала при x a.

5)Функция называется периодической, если существует такое число T, что для любого аргумента x число x T принадлежит области определения и f(x T)=f(x).

6)Число А называется пределом бесконечной числовой последовательности {an} = a1, a2, a3, … , ai, … , an, …, если для всякого >0

существует такое натуральное n , что для всякого номера n, если n> n ,

то |an - A|< .

7)Функция f (x) называется убывающей в промежутке X из области определения, если для любых x1, x2 X, из условия x1 < x2 следует неравенство f(x1) > f(х2).

8)Функция называется четной, если для любого аргумента x из области определения число -x также входит в область определения и f(-x)=f(x).

9)Функция f (x) называется убывающей в промежутке X из области определения, если для любых x1, x2 X, из условия x1 < x2 следует неравенство f(x1) > f(х2).

1.4.5. Запишите определения на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте их отрицания:

0) Действительная функция f(x) действительного переменного x

есть функция ограниченной вариации на интервале [a, b], если существует такое положительное число M, что для всех разбиений a = x0 < x1 < … < xn = b интервала [a, b] выполняется равенство