3 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТМ.3 «ОБРАБОТКА НЕРАВНОРАССЕЯННЫХ РЯДОВ НАБЛЮДЕНИЙ»

3.1 Цель работы

3.1.1Изучение метода и алгоритма обработки неравнорассеянных рядов наблюдений.

3.1.2Приобретение практических навыков работы на персональном компьютере при обработке неравнорассеянных рядов наблюдений.

3.2 Краткие сведения из теории В практике исследовательских работ часто встречаются ситуации, когда не-

обходимо найти наиболее достоверное значение величины и оценить его возможные отклонения от истинного значения на основании измерений, проводимых разными наблюдателями с применением разнообразных средств измерений

иметодов измерений в различных лабораториях или условиях внешней среды. Ряды получающихся при этом результатов наблюдений называются нерав-

норассеянными, если оценки их дисперсии значимо отличаются друг от друга, а средние арифметические являются оценками одного и того же значения измеряемой величины.

Если средние неравнорассеянных рядов наблюдения мало отличаются друг от друга, то говорят о высокой воспроизводимости измерений, которая количественно характеризуется рассеиванием результатов.

Рассмотрим некоторые случаи, приводящие к необходимости обработки результатов неравнорассеянных измерений:

1 Если при точных измерениях необходимо убедиться в отсутствии неисключенных систематических погрешностей, то измерения проводятся несколькими исследователями или группами исследователей. Если средние арифметические полученных рядов наблюдений незначимо отличаются друг от друга и ничто не указывает на наличие систематических погрешностей, то можно объединить все полученные результаты и на основе их математической обработки получить более достоверные сведения об измеряемой величине.

2 Аналогичные измерения были выполнены в разных лабораториях различными методами, и получены отличающиеся друг от друга результаты наблюдений. Естественно и в этом случае, используя все имеющиеся данные, попытаться получить более достоверные значения измеряемых величин.

3 Измерения при помощи образцовых мер и измерительных приборов через некоторые промежутки времени повторяют. В итоге накапливаются ряды наблюдений и возникает необходимость объединить их. Точность рядов наблюдений различна, с одной стороны, из-за того, что для впервые проводимых измерений характерно большее рассеивание результатов, а с другой стороны, изза того, что с течением времени средства измерения стареют или заменяются новыми.

Во всех описанных ситуациях приходится прибегать к методам обработки результатов неравнорассеянных рядов наблюдений, задача которых в общем

25

случае заключается в нахождении наиболее достоверного значения измеряемой величины.

Основой для расчетов служат следующие данные:

1 x1...xm – средние арифметические m рядов неравнорассеянных результатов наблюдений постоянной физической величины Qх;

2x m – оценки с.к.о. результатов наблюдений в отдельных рядах;

3n1,...,nm – количество наблюдений в каждом ряду;

4m – число рядов.σ~x1 ,...,σ~

Наиболее достоверное значение x , которое мы можем приписать измеряемой величине на основании имеющихся данных, должно представлять собой некоторую функцию исходных средних арифметических:

причем x = Qх + λ; x j = Qх + λj ; j=1,…, m, где λ и λj– случайные погрешности значения x и x j.

Для отыскивания вида этой функции возьмем производную от нее по истинному значению Qx измеряемой величины

Ни одна из стоящих в этом равенстве производных не может зависеть от значений средних арифметических исходных рядов наблюдений. В противном случае выражение (3.2) установило бы некоторую функциональную связь между отдельными средними арифметическими. Однако эти средние арифметические, будучи получены в различных условиях и, может быть, не одним исследователем с помощью различных средств измерений, являются независимыми величинами, которые объединяет лишь общность их математического ожидания. Поэтому производные выражения (3.2) могут быть только постоянными величинами и искомая функция должна иметь вид

m

х = ∑a jx j + C . j=1

Возьмем математическое ожидание обеих частей этого равенства:

26

Для того чтобы оценка х истинного значения была несмещенной, необходимо выполнение условия

М[x]= M[x j]= Qx .

Поэтому

m

Qx = Qx ∑a j + C . j=1

Полученное соотношение выполняется только в том случае, когда

m

С=0; ∑a j =1. j=1

Таким образом, окончательно получаем

Величина х, определенная в соответствии с выражением (3.3), называется средним взвешенным, а коэффициенты аj называются весовыми коэффициентами исходных средних арифметических. Именно они и характеризуют степень доверия соответствующему ряду наблюдений.

Желательно так выбрать весовые коэффициенты, чтобы они обращали в минимум дисперсию среднего взвешенного. Последняя составляет

где σ2хj - дисперсия j-го среднего арифметического, которая в nj раз меньше дисперсии σ2хj j-го ряда наблюдения.

Для ясности обособим в равенстве (3.4) для дисперсии среднего взвешенного последний член суммы:

и выразим из условия (3.3) m-й весовой коэффициент через все остальные:

Найдем производную от дисперсии по k-му весовому коэффициенту, где k=1,…, m−1, и приравняем ее к нулю:

Теперь можно записать систему из m уравнений с m неизвестными коэффициентами:

27

Подставляя значения m–1 первых весовых коэффициентов из первых уравнений в последнее уравнение, получим выражение для последнего коэффициента

Аналогично из m–1 первых уравнений системы находят и остальные весовые коэффициенты

называется весом j–го среднего арифметического, причем коэффициент k может быть любым числом, как размерным, так и безразмерным. В выражениях для весовых коэффициентов (3.5) этот коэффициент пропадает, поэтому он не сказывается на вычислениях среднего взвешенного и его дисперсии. Действительно, подставив выражение (3.6) в формулу (3.5), имеем

и в формуле (3.6) можно принять k=1.

Веса средних арифметических вычислить по формуле (3.6) значительно проще, чем весовые коэффициенты по формуле (3.5), поэтому имеет смысл записать выражение для среднего взвешенного через отдельные веса:

Подставив далее значения весовых коэффициентов (3.5) в формулу (3.4), получим значение дисперсии и соответственно с.к.о. среднего взвешенного:

28

из которого, в частности, следует, что дисперсия среднего взвешенного меньше дисперсии всех средних арифметических, если веса выбраны прямо пропорционально числам измерений в отдельных рядах и обратно пропорционально их дисперсиям, или (что то же самое) обратно пропорционально квадратам с.к.о. средних арифметических исходных рядов наблюдений.

Если теоретические дисперсии σ2x j неизвестны, то пользуются их оценками

~ 2 , с помощью которых определяют веса или весовые коэффициенты.

σx j

Доверительные границы случайной погрешности для результата измерения x , полученного при обработке неравнорассеянных рядов наблюдений, находятся по формуле

m

Если n0 > 30 ( n0 = ∑n j ), значение tp прямо выбирается из таблицы Ж.1 j=1

учебного пособия [2]. Если же n0≤30, предварительно определяется уточненное значение числа степеней свободы

В случае, если n′0 −1 не является целым числом, можно применить линейную интерполяцию при определении коэффициента tp:

где (n1 −1) , (n2 −1) - ближайшее меньшее и большее значение по отношению к (n′0 −1) числа степеней свободы из таблицы Ж.1 учебного пособия [2];

t1, t2 - соответствующие (n1 −1), (n2 −1) значения коэффициента Стьюдента.

В заключение отметим, что полученные результаты справедливы не только тогда, когда данными для расчета являются ряды прямых неравнорассеянных наблюдений, но и в том случае, если исходные величины являются, в свою очередь, результатами неравнорассеянных косвенных, совокупных или совместных измерений. Операции определения средних взвешенных во всех этих случаях не меняются, а точность результата повышается.

Алгоритм обработки неравнорассеянных рядов наблюдений приведен на рисунке 3.1.

3.3 Оборудование, используемое при выполнении работы При выполнении работы используется персональный компьютер IBM PC AT.

29