- •Математическая логика
- •Раздел I. Алгебра высказываний
- •1. Высказывания и операции над ними. Формулы
- •2. Следование, эквивалентность и преобразование формул
- •3. Использование законов логики в доказательстве теорем и построении схем
- •Преобразуем эту формулу, используя соответствующие эквивалентности u
- •4. Булевы функции
- •5. Нормальные формы
- •5. Полные системы операций. Алгебра Жегалкина
- •6. Выводимость
- •Раздел II. Алгебра предикатов
- •1. Предикат. Операции над предикатами.
- •2. Модель. Формула алгебры предикатов сигнатуры .
- •3. Формулы алгебры предикатов
- •Основные общезначимости алгебры предикатов
- •Раздел 3. Логические исчисления
- •1. Определение формального исчисления
- •2. Исчисление высказываний ив.
- •3. Отношение эквивалентности в ив
- •4. Исчисление секвенций ис.
- •Исчисления предикатов ип (ипс).
- •Прикладные исчисления предикатов.
- •Автоматическое доказательство теорем
- •Теория алгоритмов
- •Машины Тьюринга
- •2. Рекурсивные функции
- •3. Временная сложность алгоритма. Классы p и np.
- •4. Полиномиальная сводимость. Np-полные языки и задачи.
Исчисления предикатов ип (ипс).
Определим исчисление предикатов гильбертовского типа ИП. Это исчисление является расширением исчисления высказываний ИВ.
В алфавит ИВ добавим строчные латинские буквы для обозначения предметных переменных и символы кванторов и . Язык исчисления составляют формулы, определяемые также, как в алгебре предикатов.
Аксиоматика исчисления дополняется двумя схемами аксиом:
,
где - произвольная формула, содержащая свободные вхождения переменнойx, причем ни одно из них не находится в области действия квантора по переменной y, а получена иззаменой свободных вхожденийx на y.
К правилу заключения ИВ добавляются два правила, связанные с кванторами. Пусть и– формулы, которые содержат и не содержат свободные вхождения переменнойx соответственно.
Правило обобщения (введения )
.
Правило введения
.
Правила естественного вывода дополняются 4-мя правилами. Пусть
Правило введения квантора .
Если T |- U(x), то T |- xU(x).
Правило удаления квантора .
Если T |- xU(x), то T |- U(y).
Правило введения квантора .
Если T |- U(y), то T |- xU(x).
Правило удаления квантора .
Если T, U(x) |- V, то T, xU(x) |- V.
Рассмотрим пример вывода в ИП.
Доказать, что в ИП |-
1. |- |
1 |
2. |- |
15 (1) |
3. |- |
14 (2) |
Исчисление предикатов генценовского типа ИПС строится расширением исчисления ИП.
Прикладные исчисления предикатов.
Прикладные исчисления предикатов строятся добавлением к исчислению предикатов своих собственных аксиом. Причем, в прикладных исчислениях предикатов вводится понятие терма. Термами являются:
предметные переменные и константы;
предметные функции.
В аксиомах прикладных исчислений предикатов наряду с предметными переменными могут использоваться произвольные термы, так аксиомы 11, 12 в них имеют вид:
,
где t – произвольный терм.
Всюду далее будут рассматриваться прикладные исчисления предикатов первого порядка, т. е. исчисления, в которых кванторами связываются только предметные переменные, а не предикаты и функции.
Исчисление с равенством.
В данном исчислении вводится предикат =, а к аксиомам ИП добавляются аксиомы равенства.
E1.
E2.
Здесь Е1 является аксиомой, а Е2 – схемой аксиомы, где – произвольная формула, а– формула, полученная иззаменой некоторых вхожденийx на y.
Теорема 6.1. В любой теории с равенством:
|- для любого термаt;
|-;
|-.
Доказательство. 1) Данное утверждение непосредственно следует из аксиом 11’ и Е1, где .
Для свойств 2), 3) построим формальные выводы формул.
2)
1. |- |
Е2 |
2. |- |
6 (1) |
3. |- |
Е1 |
4. |- |
3 (2, 3) |
5. |- |
5 (4) |
3)
1. |- |
Е2 |
2. |- |
1, где , |
3. |- |
6 (2) |
4. |- |
Теорема исчисления с равенством |
5. |- |
4 (4, 3) |
6. |- |
5 (5) |
Строгий частичный порядок.
Предикатом строгого частичного порядка является предикат <, а дополнительными – следующие аксиомы.
NE1.
NE2.
Формальная арифметика.
Формальная арифметика определяется как исчисление с равенством на предметном множестве , в котором вводятся предметная константа 0 и предметные функции + , , , задаваемые аксиомами.
A1.
A2.
A3.
A4.
A5.
A6.
A7.
A8.
Здесь А1-А7 – аксиомы, а А8 – схема аксиомы, определяющая доказательство по индукции.