![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Математическая логика
- •Раздел I. Алгебра высказываний
- •1. Высказывания и операции над ними. Формулы
- •2. Следование, эквивалентность и преобразование формул
- •3. Использование законов логики в доказательстве теорем и построении схем
- •Преобразуем эту формулу, используя соответствующие эквивалентности u
- •4. Булевы функции
- •5. Нормальные формы
- •5. Полные системы операций. Алгебра Жегалкина
- •6. Выводимость
- •Раздел II. Алгебра предикатов
- •1. Предикат. Операции над предикатами.
- •2. Модель. Формула алгебры предикатов сигнатуры .
- •3. Формулы алгебры предикатов
- •Основные общезначимости алгебры предикатов
- •Раздел 3. Логические исчисления
- •1. Определение формального исчисления
- •2. Исчисление высказываний ив.
- •3. Отношение эквивалентности в ив
- •4. Исчисление секвенций ис.
- •Исчисления предикатов ип (ипс).
- •Прикладные исчисления предикатов.
- •Автоматическое доказательство теорем
- •Теория алгоритмов
- •Машины Тьюринга
- •2. Рекурсивные функции
- •3. Временная сложность алгоритма. Классы p и np.
- •4. Полиномиальная сводимость. Np-полные языки и задачи.
Основные общезначимости алгебры предикатов
Докажем
формулу
.
Так
как единственная переменная в обеих
частях эквиваленции связана, то обе они
являются высказываниями. Поэтому для
доказательства общезначимости формулы,
покажем, что истинностные значения
левой и правой части совпадают для любых
одноместных предикатов
,
определённых на произвольном множестве M.
Пусть
,
тогда по определению операции утверждения
существования
для некоторогоa
из M.
Следовательно,
,
где
M.
Воспользовавшись снова определением
операции утверждения существования,
получим, что
или
,
а, следовательно, истинна и их дизъюнкция
.
Пусть
теперь
,
тогда
или
.
В первом случае получим, что
M,
,
во втором –
M,
.
Однако в обоих случаях существует такой
элемент
M,
что
,
в первом случае
,
во втором –
.
А это означает, что
.
На множестве формул алгебры предикатов можно ввести отношение эквиваленции.
Определение. Формула алгебры предикатов U называется эквивалентной формуле V (обозначается UV), если их эквиваленция общезначима.
Множество формул алгебры предикатов можно разбить на классы эквивалентности, включив в один класс эквивалентные между собой формулы. Каждой формуле U соответствует класс эквивалентности, который обозначается [U].
Определение. Формула алгебры предикатов называется приведенной, если она содержит операции утверждения всеобщности, существования, конъюнкции, дизъюнкции и операцию отрицания, относящуюся к атомарным формулам.
Теорема 3.1. Каждый класс эквивалентности [U] может быть представлен приведенной формулой, т.е. для любой формулы U существует эквивалентная ей приведенная формула V.
Для формул алгебры предикатов существуют предваренные нормальные формы.
Определение. Предваренной нормальной формой (ПНФ) формулы алгебры предикатов называется формула, имеющая вид
,
где
– некоторые кванторы, аU
– бескванторная приведенная формула.
Выражение
называется префиксом, аU
– матрицей нормальной формы.
Будем говорить, что бескванторная формула U находится в ДНФ (КНФ), если U получается из формулы алгебры высказываний, находящейся в ДНФ (КНФ), подстановкой вместо пропозициональных переменных некоторых атомарных формул.
ПНФ называется пренексной нормальной формой (ПННФ), если её матрица имеет вид ДНФ, и предклазуальной (пкнф), если – КНФ.
Построим ПН-форму для формулы
.
Преобразуем формулу к приведенному виду
.
Так как для квантора и операции нет соответствующей эквивалентности, то переименуем связанную переменную y второго операнда дизъюнкции и вынесем кванторы по переменным, от которых не зависит другой операнд вперёд
.
В первом операнде конъюнкции последней формулы переменные x и y – связанные, а z – свободная, а во втором – наоборот. Переобозначив снова связанные переменные, получим
.
Полученная предваренная нормальная форма является предклазуальной.
Использование формул алгебры предикатов в информационных технологиях породило необходимость преобразования формул в бескванторные, так как работать с такими формулами значительно легче, чем с формулами, содержащими кванторы. Основой такого преобразования являются аксиомы Сколема:
;
.
Возможность
удаления кванторов всеобщности
непосредственно следует из определения
операции, так как
для произвольногоx.
Формула U находится в клазуальной нормальной форме, если она получена из формулы, находящейся в предклазуальной нормальной форме, удалением кванторов существования в соответствии с аксиомами Сколема и последующим удалением всех кванторов всеобщности. Процесс такого преобразования называется сколемизацией.
Так клазуальная нормальная форма для формулы предыдущего примера имеет вид
.