Пример расчета

В табл. 23 представлены результаты экспериментальных исследований процесса получения гальванических покрытий. Необходимо выяснить каким образом влияют на внутренние напряжения получаемых покрытий (выраженные в условных единицах) условия электроосаждения.

Таблица 23

	В	C	D	E
2	Внутреннее напряжение	Концентрация сахарина в растворе, г/л	Плотность тока, А/дм2	Температура раствора, С
3	3,75	0,45	40	60
4	2,75	0,5	35	50
5	0,5	0,4	80	40
6	2,25	0,55	30	30
7	2,75	1,05	35	40
8	0,75	0,95	75	35
9	1	1,05	75	40
10	0,5	0,9	70	30

С этой целью определим параметры уравнения линейной регрессии и проведем его анализ, используя режим работы Регрессия.

Значения параметров, установленных в одноименном диалоговом окне, показаны на рис. 13, а рассчитанные в данном режиме показатели – в табл. 24-28.

Рис. 13

В табл. 24 сгенерированы результаты по регрессионной статистике.

Таблица 24

	В	C
12	ВЫВОД ИТОГОВ
13
14	Регрессионная статистика
15	Множественный R	0,986
16	R-квадрат	0,971
17	Нормированный R-квадрат	0,950
18	Стандартная ошибка	0,280
19	Наблюдения	8

Эти результаты соответствуют следующим статистическим показателям:

• Множественный R – коэффициенту корреляции R;

• R-квадрат – коэффициенту детерминации R²;

• Стандартная ошибка – остаточному стандартному отклонению ;

• Наблюдения – числу наблюдений n.

В табл. 25 сгенерированы результаты дисперсионного анализа, которые используются для проверки значимости коэффициента детерминации R².

Таблица 25

	B	C	D	E	F	G
21	Дисперсионный анализ
22		df	SS	MS	F	Значимость F
23	Регрессия	3	10,617	3,539	45,287	0,0015
24	Остаток	4	0,313	0,078
25	Итого	7	10,930
26

Столбцы табл. 25 имеют следующую интерпретацию:

• столбец df – число степеней свободы

для строки Регрессия число степеней свободы определяется количеством факторных признаков m в уравнении регрессии k_ф=m;

для строки Остаток число степеней свободы определяется числом наблюдений n и количеством переменных в уравнении регрессии m+1: k_о=n-(m+1);

для строки Итого число степеней свободы определяется суммой k_y= k_ф + k_о;

• столбец SS – сумма квадратов отклонений

для строки Регрессия – это сумма квадратов отклонений теоретических данных от среднего ;

для строки Остаток – это сумма квадратов отклонений эмпирических данных от теоретических ;

для строки Итого – это сумма квадратов отклонений эмпирических данных от среднего или;

• столбец MS – дисперсии, рассчитанные по формуле ,

для строки Регрессия – это факторная дисперсия ;

для строки Остаток – это остаточная дисперсия ;

• столбец F – расчетное значение F-критерия Фишера F_р, вычисляемое по формуле ;

• столбец Значимость F – значение уровня значимости, соответствующее вычисленному значению F_р. Определяется с помощью функции .

В табл. 26 сгенерированы значения коэффициентов регрессии a_i и их статистические оценки.

Таблица 26

	B	C	D	E	F	G	H	I	J
27		Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
28	Y-пересечение	1,795	0,687	2,614	0,0591	-0,111	3,701	-0,111	3,701
29	Концентрация сахарина в растворе, г/л	-0,030	0,412	-0,072	0,9458	-1,173	1,113	-1,173	1,113
30	Плотность тока, А/дм2	-0,042	0,005	-7,822	0,0014	-0,057	-0,027	-0,057	-0,027
31	Температура раствора, С	0,057	0,011	5,062	0,0072	0,026	0,088	0,026	0,088

Столбцы табл. 26 имеют следующую интерпретацию:

• столбец Коэффициенты – значения коэффициентов а_i;

• столбец Стандартная ошибка – стандартные ошибки коэффициентов а_i;

• столбец t-статистика – расчетные значения t-критерия, вычисляемые по формуле ;

• столбец P-Значение – значения уровней значимости, соответствующие вычисленным значениям t_р;

• столбцы Нижние 95 % и Верхние 95 % - соответственно нижние и верхние границы доверительных интервалов для коэффициентов регрессии а_i. Для нахождения границ доверительных интервалов с помощью функции =СТЬЮДРАСПОБР(; n-m-1) рассчитывается критическое значение t-критерия t_кр, а затем по формулам:

Нижние 95 % = Коэффициент – Стандартная ошибка  t_кр;

Верхние 95 % = Коэффициент + Стандартная ошибка  t_кр

вычисляются соответственно нижние и верхние границы доверительных интервалов.

В табл. 27 сгенерированы теоретические значения результативного признакаY и значения остатков. Последние вычисляются как разность между эмпирическими y и теоретическими значениями результативного признакаY.

Таблица 27

	B	C	D	E
35	ВЫВОД ОСТАТКА
36
37	Наблюдение	Предсказанное Внутреннее напряжение	Остатки	Стандартные остатки
38	1	3,524	0,226	1,068
39	2	3,162	-0,412	-1,952
40	3	0,687	-0,187	-0,883
41	4	2,230	0,020	0,094
42	5	2,576	0,174	0,825
43	6	0,631	0,119	0,564
44	7	0,900	0,100	0,476
45	8	0,541	-0,041	-0,192

Перейдем к анализу сгенерированных таблиц.

Рассчитанные в табл. 26 (ячейки С28:С31) коэффициенты регрессии а_i позволяют построить уравнение, выражающее зависимость внутреннего напряжения покрытия от концентрации сахарина в растворе X₁, плотности тока X₂ и температуры раствора X₃:

.

Значение множественного коэффициента детерминации R² = 0,971 (ячейка С16 в табл. 24) показывает, что 97,1 % общей вариации результативного признака объясняется вариацией факторных признаков X₁, X₂ и X₃, что подтверждает правильность их включения в построенную модель.

Рассчитанный уровень значимости (показатель Значимость F табл. 25) _р = 0,0015 меньше  = 0,05, что подтверждает значимость R².

Другой подход к проверке значимости R² основан на проверке попадания F_р (показатель F в табл. 25) в критическую область (F^пр_{кр, }; +). Для рассматриваемого примера F^пр_{кр, } рассчитывается по формуле =FРАСПОБР(0,05; С23; С24) (ячейка Н23 табл. 28),

Таблица 28

	Н
22	Fпркр
23	6,591392321

где в ячейке С23 рассчитывается значение k_ф=m; в ячейке С24 – значение k_о=n-(m+1).

Т.к. F_р = 45,287 попадает в критический интервал (6,591; +), то гипотеза Н₀ : R² = 0 отвергается, т.е. коэффициент детерминации R² является значимым.

Показатель средней ошибки аппроксимации может быть рассчитан следующим образом (табл. 29):

=СУММ(АВS(D38:D45)/(B3:B10))/СЧЕТ(B3:B10)*100.

Таблица 29

	G
38	, %
39	12,46

Следующим этапом является проверка значимости коэффициентов регрессии: а₀, а₁, а₂ и а₃. Сравнивая попарно элементы массивов C28:C31 и D28:D31 (табл. 26) видим, что абсолютное значение коэффициента а₁ меньше, чем его стандартная ошибка. О значимости коэффициентов можно судить по значениям показателя P-Значение в табл. 26. Для коэффициента а₁ это значение, равное 0,9458, существенно больше принятого уровня значимости =0,05, следовательно данный коэффициент незначимый и его следует исключить из уравнения.

Другой распространенный способ проверки значимости коэффициентов регрессии основан на проверке попадания t_р (показатель t-статистика в табл. 26) в критическую область

(-; t^кр_{лев,  /2})  (t^кр_{пр,  /2}; +). В генерируемых таблицах режима не приводится значение t_кр, но его можно вычислить с помощью функции СТЬДРАСПОБР. Для рассматриваемого примера значение t_кр рассчитано в ячейке Е34 (табл. 30) по формуле

=СТЬДРАСПОБР(0,05; 8-3-1),

где 0,05 – заданный уровень значимости; 8 – число наблюдений; 3 – число факторов в уравнении регрессии; 1 – число свободных членов в уравнении регрессии.

Таблица 30

	Е
33	tкр
34	2,776450856

В критический интервал (-; -2,776)  (2,776; +) попадают значения t_кр^а2 = -7,822 и t_кр^а3 = 5,062, следовательно, коэффициенты регрессии а₂ и а₃ являются значимыми.

Подводя итог предварительному анализу уравнения регрессии, можно сделать вывод, что коэффициент регрессии а₁ не является статистически значимым и целесообразно сделать пересчет без учета фактора x₁ – Концентрация сахарина в растворе.

После пересчета уравнения на рабочем листе генерируются таблицы, аналогичные табл. 24-27.

Таблица 31

	В	C
49	ВЫВОД ИТОГОВ
50
51	Регрессионная статистика
52	Множественный R	0,986
53	R-квадрат	0,971
54	Нормированный R-квадрат	0,960
55	Стандартная ошибка	0,250
56	Наблюдения	8

Таблица 32

	B	C	D	E	F	G
58	Дисперсионный анализ
59		df	SS	MS	F	Значимость F
60	Регрессия	2	10,617	5,308	84,799	0,000139
61	Остаток	5	0,313	0,063
62	Итого	7	10,930

Таблица 33

	B	C	D	E	F	G	H	I	J
64		Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
65	Y-пересечение	1,772	0,545	3,249	0,023	0,370	3,174	0,370	3,174

Окончание табл. 33

	B	C	D	E	F	G	H	I	J
66	Плотность тока, А/дм2	-0,042	0,005	-9,143	0,0003	-0,054	-0,030	-0,054	-0,030
67	Температура раствора, С	0,057	0,010	5,812	0,002	0,032	0,083	0,032	0,083

Таким образом, получено новое уравнение регрессии:

.

Проверка значимости коэффициента детерминации R² (_р = 0,000139  0,05) и коэффициентов регрессии а₂ и а₃ (t_кр =2,5706) подтверждают адекватность полученного уравнения.