integral

Естественно попробовать взаимоуничтожить интегралы в правой части равенства (6). Сделать это без обоснований, однако, не совсем корректно,

динтегральной функции, а вся их совокупность. Чтобы преодолеть это затруднение, обозначим через I1(x) и I2(x) некоторые первообразные (вообще

лы заменить этими конкретными первообразными, то функции полученные в результате такой замены в правой и левой частях (6) будут отличаться на

~

постоянную, то есть существует постоянная C; такая что

В правой части (7) второе и третье слагаемые (конкретные функции) можно взаимоуничтожить, тогда

функция I(x) = ex ln2 x; отличающаяся постоянным слагаемым от I1(x);

также является первообразной для (2 ln x+x ln2 x)ex : Следовательно,

x

где C- произвольная постоянная.

Другой (возможно, более простой) вариант преобразований в правой части (6) даёт формула

на основании которой

что так же приводит к уже полученному выше ответу.

31

Интегралы в правой части отличаются знаками и таким образом с помощью рассуждений аналогичных приведённым в решении примера 3.4, получаем отсюда

32

Пример. 3.6

R p

1 + x2 dx:

Решение.

p

Воспользуемся формулой (5) полагая u = 1 + x2 (тогда du = p1+x x2 dx), dv = dx; v = x:

Второй из интегралов справа приведём к виду

p R

Замечание. 3.1 Отметим, что интеграл 1 + x2 dx может быть так же легко вычислен с помощью гиперболической подстановки x = sh t: В

33

= 12t + 12 sh tp1 + sh2 t + C = 12 ln x + p1 + x2 + 12xp1 + x2 + C

(Мы использовали выше известные соотношения ch2 t sh2 t = 1; ch2 t =

1+ch2 2t; sh 2t = 2 sh t ch t).

Пример. 3.7

R

p

x2 1 + x2 dx:

Решение.

Преобразуем интеграл следующим образом:

3

Интегрируя по частям первый из полученных интегралов, считая u = 1 + x2 2

34

p R

откуда окончательно получаем (интеграл 1 + x2 dx уже вычислен в преды-

Отметим, что наш выбор функции u оправдан тем, что дифференциал du

R и, как мы увидим далее, всё подинтегральное выражение в интеграле v du;

уже не содержат логарифма. Далее, так как dv = x dx; то в качестве v можно

35

(используя пример 3.6 )

R p

x ln x + 1 + x2 dx =

вычислить, разбив на сумму интегралов

Тогда du = p1+dxx2 (смотрите решение примера 3.8) и, так как

36

p

возьмём v = 1 + x2: Интегрируя по частям, получим

pp

= 1 + x2 ln x + 1 + x2 x + C:

Пример. 3.10

Решение.

Положим u = x (следовательно du = dx) и dv = cos xdx: Далее поскольку

sin2 x

По формуле (5) получаем

Отметим, что наш выбор u = x и dv = cos xdx приводит к тому, что после

sin2 x

применения формулы (5) под знаком интеграла в праиой части (8) остаётся лишь тригонометрическая функция. Но

37

что после деления на cos2 x2 числителя и знаменателя подинтегральной функции даёт

Отсюда и из (8) получаем окончательно

то можно взять, например, v = 14 cos14 x: По формуле (5)

и, как и в предыдущем примере, под знаком интеграла справа остаётся лишь тригонометрическая функция. Далее

38

что даёт окончательно

Вычислить следующие интегралы:

39

40