Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 6. Целые рациональные выражения

существует одна и только одна пара многочленов S (x) è R (x) таких, что справедливо тождество

êîì).

При делении многочленов, приведенных к стандартному виду, используют правило деления «углом», аналогичное правилу деления многозначных чисел (см. п. 3).

- 13x3 + 67x2 + 3x - 4

–- 13x3 - 65x2 - 13x

132x2 + 16x - 4

– 132x2 + 660x + 132

-644x - 136

Èòàê, S (x) = 3x2 - 13x + 132 — частное, R (x) = = - 644x - 1326 — остаток. При этом выполняется тождество

3x4 + 2x3 + 70x2 + 3x - 4 =

""""" """""!

P (x)

81

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

=(x2 + 5x + 1) (3x2 - 13x + 132) + (-644x - 136). n

"" ""! """ """! "" ""!

Q (x) S (x) R (x)

Рассмотрим процесс деления многочлена n -й степени, имеющего вид Pn (x) = a0xn + a1xn-1 +

+... + an, на линейный двучлен x - a. Тогда деле-

ние можно производить по специальной схеме, называемой схемой Горнера.

В этом случае тождество (1) примет вид

где частное имеет степень n - 1, а остаток — нулевую степень, т. е. является просто числом. Так как многочлены в левой и правой частях тождества (2) совпадают, то, раскрыв скобки, получим равенства, выражающие совпадение коэффициентов при одинаковых степенях õ:

82

АЛГЕБРА

§ 6. Целые рациональные выражения

Обычно вычисление коэффициентов частного и остатка располагают в следующей таблице:

Верхнюю строку таблицы заполняют сразу; нижнюю строку, где помещены коэффициенты частного и остаток, заполняют постепенно, двигаясь слева направо. В каждой клетке нижней строки записывают сумму коэффициента из верхней строки с умноженным на a числом, полученным в соседней слева

âåí 23. n

Заметим, что остаток от деления многочлена на

двучлен x - a можно найти, не выполняя деления. А именно, справедливо следующее свойство: îñòà-

ток от деления многочлена P (x) на двучлен x - a

равен значению многочлена при x = a (теорема Безу).

Так, в примере 2 имеем P (2) = 23 + 4 × 22 - 3 × 2 + +5 = 23.

83

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

Из теоремы Безу вытекает, что многочлен P (x)

делится на двучлен x - a тогда и только тогда, когда a — корень этого многочлена.

П р и м е р 3. При каком значении l многочлен P (x) = x4 + 6x2 + lx + 6 делится на двучлен õ + 2? q Для того чтобы выполнялось указанное требование, необходимо и достаточно, чтобы число –2 было корнем многочлена. Имеем P(–2) = 16 + 24 –

-2l + 6 = 46 - 2l, т. е. многочлен P (x) разделится на

õ+ 2 при условии l = 23. n

60.Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Åñëè õ1 è õ2 — корни квадрат-

ного трехчлена ax2 + bx + c (т. е. корни уравнения ax2 + bx + c = 0), òî

ax2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2).

Ýòî — формула разложения квадратного трех- члена на множители.

П р и м е р. Разложить на множители 6õ2 – õ – 2.

q Применив формулу корней квадратного уравнения (см. п. 141) к уравнению 6õ2 – õ – 2 = 0, íàõî-

= (2x + 1) (3x - 2). n

84

АЛГЕБРА

§6. Целые рациональные выражения

61.Разложение на множители двучлена xn – an.

Известно, что

Перемножив многочлены õ – à è x3 + x2a + xa2 +

+ a3, получим

x4 - a4 = (x - a) (x3 + x2a + xa2 + a3). (3)

Обобщением формул (1), (2), (3) является форму-

ла разложения на множители двучлена xn - an :

xn - an =

=(x - a) (xn-1 + xn-2a + xn-3a2 + ... + xan-2 + an-1).

Òàê, x7 - 1 = (x - 1) (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1).

62. Возведение двучлена в натуральную степень (формула бинома Ньютона). В этом пункте речь идет

îтом, как двучлен (или бином) a + b возвести в любую натуральную степень.

Åñëè n = 1, òî (a + b)1 = a + b.

Åñëè n = 2, òî (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Åñëè n = 3,òî (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Воспользовавшись тем, что (a + b)4 = (a + b)3 ´

´(a + b), можно вывести формулу

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.

85

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

Вообще, справедлива формула

(a + b)n = an + Cn1an-1b + Cn2an-2b2 + ...

... + Cnkan-kbk + ... + Cnn-1abn-1 + bn,

называемая формулой бинома Ньютона.

Здесь Cn0, Ccn1 = n, Cn2 = n (n - 1) ,..., 2

Cnn-1 = n,Ccnn = 1 — биномиальные коэффициенты (числа сочетаний из n элементов по нулю, одному, двум,..., k,...,n - 1, n элементам (см. пп.202,

203). Например,

=a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6.

§7. Дробные рациональные выражения

63.Рациональная дробь и ее основное свойство.

Любое дробное алгебраическое выражение (см. п. 51)

можно записать в виде P , ãäå Ð è Q — рациональ-

Q

ные выражения, причем Q обязательно содержит

86

АЛГЕБРА

§ 7. Дробные рациональные выражения

переменные. Такую дробь называют рациональной дробью.

Примеры рациональных дробей:

Основное свойство рациональной дроби âûðà-

жается тождеством P = PR , справедливым при

QQR

условиях R ¹ 0 è Q ¹ 0; здесь R — целое рациональное выражение. Это значит, что числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен. Так,

=4x3 - 6x2 + 12 . 3x2 + 2x + 6

Основное свойство дроби можно использовать для перемены знаков у членов дроби. Если числитель и

знаменатель дроби P умножить на — 1, то полу-

Q

P -P

÷èì Q = - Q . Таким образом, значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки чис-

87

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

лителя и знаменателя. Если же изменить знак только числителя или только знаменателя, то и дробь изменит свой знак:

-P = - P ; P = - P .

QQ - Q Q

64. Сокращение рациональных дробей. Сократить дробь — это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Возможность такого сокращения обусловлена основным свойством дроби.

Для того чтобы сократить рациональную дробь, нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если же общих множителей нет, то преобразование дроби с помощью сокращения невозможно.

П р и м е р. Сократить дробь x2 - 3xy . 9y2 - x2

qИмеем x2 - 3xy = x (x - 3y);

88

АЛГЕБРА

§ 7. Дробные рациональные выражения

Заметим, что сокращение дроби выполнено при условии x - 3y ¹ 0. n

65. Приведение рациональных дробей к общему знаменателю. Общим знаменателем нескольких рациональных дробей называется целое рациональное выражение, которое делится на знаменатель каждой дроби (см. п. 57). Обычно берут такой общий знаменатель, что любой другой общий знаменатель делится на выбранный. Так, общим знаменателем

Приведение данных дробей к общему знаменателю достигнуто умножением числителя и знаменателя первой дроби на õ – 2, а числителя и знаменателя второй дроби — на õ + 2. Многочлены õ – 2 è õ + 2 называются дополнительными множителями.

Чтобы привести несколько рациональных дробей

êобщему знаменателю, нужно:

1)разложить знаменатель каждой дроби на множители;

2)составить общий знаменатель, включив в него все множители полученных в п. 1 разложений; если некоторый множитель имеется в нескольких разложениях, то он берется с показателем степени, равным наибольшему из имеющихся;

3)найти дополнительные множители для каждой из дробей (для этого общий знаменатель делят на знаменатель дроби);

89

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

4) домножив числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель, привести дроби к общему знаменателю.

П р и м е р. Привести к общему знаменателю дроби

q Разложим знаменатели на множители:

12a2 - 12b2 = 12(a - b) (a + b);

18a3 + 18a2b = 18a2 (a + b); 24a2 - 24ab = 24a (a - b).

В общий знаменатель надо включить следующие множители: (a - b),(a + b), a2 и наименьшее общее кратное чисел 12, 18, 24, т. е. К (12, 18, 24) = 72. Итак, общий знаменатель равен 72a2 (a - b)(a + b).

Найдем дополнительные множители: для первой дроби 6à2, для второй 4(a - b), для третьей 3a (a + b). Значит,

66. Сложение и вычитание рациональных дробей. Сумма двух (и вообще любого конечного числа) рациональных дробей с одинаковыми знаменателя-

90