Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 14. Уравнения с одной переменной

Если обе части уравнения возвести в квадрат (и вообще в любую четную степень), то получится уравнение, являющееся следствием исходного. Вместе с тем, возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень приводит к уравнению, равносильному исходному.

147. Уравнения с переменной в знаменателе. Рассмотрим уравнение вида

Решение уравнения вида (1) основано на следующем утверждении: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля (на нуль делить нельзя).

Поэтому решение уравнения (1) проводится в два этапа: сначала решают уравнение ð (õ) = 0, а затем для каждого корня выясняют, обращается ли при най-

денном значении переменной õ знаменатель q(x) â

íóëü. Åñëè q(x) ¹ 0, то корень уравнения ð (õ) = 0

является и корнем уравнения (1); если же q(x) = 0, то корень уравнения ð (õ) = 0 не является корнем уравнения (1).

Таким образом, уравнение ð (õ) = 0 является следствием уравнения (1) (см. п. 146). При переходе от уравнения (1) к уравнению ð (õ) = 0 (этот переход называется освобождением от знаменателя) могут появиться посторонние корни. Их можно отсеять с

помощью условия q(x) ¹ 0 или непосредственной под-

становкой каждого корня уравнения ð (õ) = 0 в уравнение (1).

191

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

3x - 6

П р и м е р. Решить уравнение = 0. x2 - x - 2

q Из уравнения 3õ – 6 = 0 находим õ = 2. Òàê êàê ïðè õ = 2 знаменатель õ2 – õ – 2 обращается в нуль, то заданное уравнение не имеет корней. n

148. Область определения уравнения. Областью определения уравнения f(x) = g(x) называют множество всех тех значений переменной õ, при которых

и выражение f(x), и выражение g(x) имеют смысл. Область определения уравнения называют иногда

областью допустимых значений.

q а) Выражения x2 - 5x è 1 + 2x определены при всех õ. Значит, область определения уравнения — вся числовая прямая.

ветственно при õ = 1 è õ = 2. Поэтому область определения уравнения можно задать условиями: x ¹ 1,

x ¹ 2.

в) Корень четной степени имеет смысл лишь при неотрицательных значениях подкоренного выраже-

192

АЛГЕБРА

§ 14. Уравнения с одной переменной

ния. Следовательно, одновременно должны выполняться условия: x ³ 0, x - 1 ³ 0 è x - 2 ³ 0. Âñå ýòè

неравенства справедливы при x ³ 2, ò. å. [2, + ¥) —

область определения уравнения.

г) Логарифм имеет смысл лишь в случае положительного числа под знаком логарифма. Значит, должны одновременно выполняться два неравенства:

x - 3 > 0, откуда x > 3, è 5 - x > 0, откуда x < 5.

Итак, (3, 5) — область определения уравнения. n Если в процессе преобразований уравнения его

область определения расширилась, то могут появиться посторонние корни. Поэтому все найденные зна- чения переменной надо проверить подстановкой в исходное уравнение или с помощью области определения исходного уравнения.

П р и м е р 2. Решить уравнение

q Òàê êàê lg a = lg b, то в силу монотонности логарифмической функции имеем à = b (åñëè a ¹ b, íà-

пример a < b, òî è lg a ¹ lg b, а именно lg a < lg b ). Значит, от заданного уравнения можно перейти к уравнению

откуда õ = 4. При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) область определения расширилась: в урав-

нении (1) она задается неравенством x > 5, а для уравнения (2) ею служит вся числовая прямая. Поэтому значение õ = 4, являющееся корнем уравнения (2), может оказаться посторонним корнем для уравнения (1). В данном случае именно это и происходит, поскольку õ = 4 не удовлетворяет неравен-

193

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

ñòâó x > 5. Èòàê , õ = 4 — посторонний корень, т. е. заданное уравнение не имеет корней. n

149.Рациональные уравнения. Уравнение f(x) =

=g(x) называется рациональным, åñëè f(x) è

g(x) — рациональные выражения. При этом если

f(x) è g(x) — целые выражения, то уравнение называется целым; если же хотя бы одно из выражений

f(x), g(x) является дробным, то рациональное урав-

нение f(x) = g(x) называется дробным.

Например, целыми являются линейные и квадратные уравнения (см. пп. 140 и 141).

П р и м е р. Решить уравнение

q Общим знаменателем дробей является 2õ (2 –

– õ). Найдем дополнительные множители для каждой дроби и освободимся от знаменателей:

Из уравнения õ2 – 6õ + 8=0 получим õ1 = 2, õ2 = = 4. Остается проверить, обращают ли найденные корни в нуль выражение 2õ (2 – õ), т. е. проверить выполнение условия 2x(2 - x) ¹ 0. Заметим, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет. Итак, õ = 4 — единственный корень уравнения. n

194

АЛГЕБРА

§ 14. Уравнения с одной переменной

150. Решение уравнения p (x) = 0 методом разложения его левой части на множители. Ñóòü метода разложения на множители состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение p(x) = 0, ãäå ð (õ) — многочлен степени n. Предположим, что нам удалось разложить многочлен на множители:

p(x) = p1(x) × p2(x) × p3(x), ãäå p1(x), p2(x), p3(x) —

многочлены более низкой степени, чем n. Тогда вместо уравнения p(x) = 0, нужно решить совокупность

уравнений p1(x) = 0, p2(x) = 0, p3(x) = 0. Все найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения p(x) = 0.

П р и м е р 1. Решить уравнение

x3 + 2x2 + 3x + 6 = 0.

q Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем x2(x + 2) + 3(x + 2) = 0 откуда (x + +2) (x2 + 2) = 0. Значит, либо õ + 2 = 0, ëèáî õ2 + + 3 = 0. Из первого уравнения находим õ = –2, второе уравнение не имеет корней. n

Метод разложения на множители применXим к любым уравнениям вида p(x) = 0, ãäå ð(õ) — необязательно многочлен.

П р и м е р 2. Решить уравнение

x2 x - 9 x = 0.

q Имеем x (x2 - 9) = 0, значит, либо x = 0,

195

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

ëèáî õ2 – 9 = 0. Из уравнения x = 0 находим õ = 0,

из уравнения õ2 – 9 = 0 находим x = ±3. Íî õ = –3 не удовлетворяет исходному уравнению, так как при

этом значении не определено выражение x. Это — посторонний корень.

Итак, уравнение имеет два корня: 3; 0. n

151. Решение уравнений методом введения новой переменной. Ñóòü метода введения новой пе-

ременной поясним на примере.

П р и м е р. Решить уравнение: а) (x2 - 3x)2 + 3(x2 - 3x) –= 28 = 0;

x2 - 3x = -7; x2 - 3x = 4, ò. å. x2 - 3x + 7 = 0; x2 -

-3x - 4 = 0. Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен. Из второго квадратного уравнения нахо-

196

АЛГЕБРА

§ 14. Уравнения с одной переменной

èëè x2 + 2x - 15,5 = 0 è x2 + 2x = 0. Из первого находим, что x1 = 0,5( 66 - 2), x2 = -0,5( 66 + 2), а из второго — что x3 = 0, x4 = -2. n

152. Биквадратные уравнения. Биквадратным

называется уравнение вида ax4 + bx2 + c = 0, ãäå a ¹ 0. Биквадратное уравнение решают методом введения новой переменной: полагая õ2 = ó, ïðè-

ходят к квадратному уравнению ay2 + by + c = 0.

П р и м е р. Решить уравнение x4 + 4x2 - 21 = 0.

q Пусть x2 = y; тогда получим квадратное урав-

нение y2 + 4y - 21 = 0, откуда y1 = -7, y2 = 3. Теперь задача сводится к решению уравнений x2 = -7,

x2 = 3. Первое уравнение не имеет корней, из второ-

го находим x1 = 3, x2 = - 3, которые являются корнями заданного биквадратного уравнения. n

153. Уравнения высших степеней. Кратко остановимся на решении уравнений вида P(x) = 0, ãäå

— многочлен, степень которого выше второй.

197

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

При решении таких уравнений используют метод разложения на множители è метод введения но-

вой переменной.

Разложение многочлена n-й степени на множители основано на следующем утверждении:

Пусть дан многочлен

P(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an,

все коэффициенты которого — целые числа (a0 ¹ 0). Тогда если целое число х = b является корнем много- члена P(x), то оно служит делителем свободного

члена an.

П р и м е р 1. Решить уравнение

q Попробуем найти целый корень уравнения (1). Для этого выпишем делители его свободного члена:

±1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 12; ± 24. Подставив в уравне-

ние (1) значение õ = 1, получим 13 + 4 × 12 - 24 ¹ 0, ò. å. õ = 1 не является корнем. Далее, при õ = –1

è õ = 2 имеем: (-1)3 + 4(-1)2 - 24 ¹ 0, 23 + 4 × 22 -

-24 = 0. Значит, õ1 = 2 — корень уравнения (1). Теперь разделим многочлен x3 + 4x2 - 24 íà äâó-

÷ëåí õ – 2; в частном получим x2 + 6x + 12. Таким образом, x3 + 4x2 - 24 = (x +–2) (x2 + 6x + 12), где квадратный трехчлен x2 + 6x + 12 не имеет корней.

Èòàê, õ = 2 — единственный корень уравнения.n

198

АЛГЕБРА

§ 14. Уравнения с одной переменной

П р и м е р 2. Решить уравнение 21õ3 + õ2 – 5õ – 1 = 0.

q Разделив все члены уравнения на õ3, имеем

Как и в примере 1, найдем целый корень урав-

нения (2): ó1 = – 3. Затем, разделив многочлен y3 + 5y2 - y - 21 íà ó + 3, получим квадратный трехчлен y2 + 2y - 7. Его корнями являются числа

154. Решение задач с помощью уравнений. С помощью уравнений решаются многочисленные зада-

199

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

чи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и других наук. Общая схема решения таких задач состоит в следующем:

1.Вводят переменные, т. е. буквами x, y, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.

2.Используя введенные переменные и данные в задаче числа и соотношения, составляют систему уравнений(или одно уравнение).

3.Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

4). Если буквами x,y, z обозначены не искомые величины, то, используя полученные решения, находят ответ на вопрос задачи.

П р и м е р 1. Два мастера, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?

q Прежде чем решать задачу заметим следующее: производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени (обозначим ее через À), и время, необходимое для выполнения всей работы (обозначим его через t), — взаимно обратные величи-

íû, ò. å. At = 1. Поэтому если обозначить через õ ч время, необходимое для выполнения всей работы первому мастеру, а через (õ +5) ч — второму, то часть работы, выполняемая первым мастером за 1 ч, равна

1 , а часть работы, выполняемая вторым мастером x

200