Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 13. Преобразования графиков

фика выполним в несколько этапов.

1. Произведем параллельный перенос системы координат, выбрав в качестве начала новой системы

фициентом 1/3 (т. е. растяжение с коэффициентом 3), получим график функции y¢ = sin(x¢/3).

4. Осуществим растяжение последнего графика от оси O¢x¢ с коэффициентом 2. Полученный гра-

(ðèñ. 70).n

Ðèñ. 70

181

Раздел IV

УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

§14. Уравнения с одной переменной

138.Определение уравнения. Корни уравнения.

Равенство с переменной f(x) = g(x) называется уравнением с одной переменной õ, если поставлена задача найти все такие значения переменной õ, ïðè êî-

торых выражения f(x) è g(x) принимают равные числовые значения. Говорят также, что f(x) = g(x) —

уравнение с одним неизвестным õ.

Всякое значение переменной, при котором выражения f(x) è g(x) принимают равные числовые зна- чения, называется корнем (èëè решением) уравнения. Решить уравнение — это значит найти все его корни или убедиться в том, что их нет.

Так, уравнение 3õ + 2 = 8 имеет единственный корень õ = 2, поскольку только при õ = 2 получается верное равенство 8 = 8. Уравнение (õ – 1) (õ – 3) = 0

имеет два корня: 1 и 3. Уравнение x2 + 1 = 0 не имеет действительных корней.

Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Например, уравнение x2 + 4 = 0 имеет два мнимых корня: x1 = 2i, x2 = -2i (см. п. 50). Всюду ниже речь идет только о действительных корнях.

139. Равносильность уравнений. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносиль-

182

АЛГЕБРА

§ 14. Уравнения с одной переменной

íûìè. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Например, уравнения õ + 2 = 7 è 2õ + 1 = 11 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 5. Равносильны и уравнения

x2 + 1 = 0 è 2x2 + 3 = 1 ни одно из них не имеет кор-

ней. Уравнения õ – 6 = 0 è x2 = 36 неравносильны, поскольку первое имеет только один корень 6, второе

имеет два корня: 6 и –6.

Ò.4.1. Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное дан-

íîìó.

Ò.4.2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же выражение, имеющее смысл при всех х и ни при каких х не обращающееся в нуль, то получится уравнение, равносильное дан-

íîìó.

Ò.4.3. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень или из обеих частей уравнения извлечь корень одной и той же нечетной степени, то получится уравнение, равносильное данному.

Ò.4.4. Если обе части уравнения неотрицательны при всех х, то после их возведения в одну и ту же четную степень получится уравнение, равносильное данному.

140. Линейные уравнения. Линейным уравнением с одной переменной õ называют уравнение

âèäà ax = b, ãäå à è b — действительные числа; à называют коэффициентом при переменной, b — свободным членом.

183

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

Для линейного уравнения ax = b возможны три случая:

1)a ¹ 0; корень уравнения равен b / a;

2)a = 0, b = 0; в этом случае уравнение прини-

ìàåò âèä 0 · õ = 0, что верно при любом õ, т. е. корень уравнения — любое действительное число;

3) a = 0, b ¹ 0; в этом случае уравнение принимает вид 0 · õ = b, оно не имеет корней.

П р и м е р. Решить уравнение

2 + x + 1 - x = 5x - 1. 3 4 6 12

q Это уравнение сводится к линейному. Умножив обе его части на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4, 6, 12), получим

4x = 22; x = 5,5. n

141. Квадратные уравнения. Уравнения вида

ãäå a,b,c — действительные числа, причем a ¹ 0,

называют квадратным. Åñëè a = 1, то квадратное уравнение называют приведенным; åñëè a ¹ 1 — òî неприведенным. Числа a,b,c носят следующие

значения: à — первый коэффициент, b — второй коэффициент, ñ — свободный член.

184

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

D > 0, то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле (2):

x = - b ± D = 5 ± 9 = 5 ± 3 .

õ2 = 0,5 — корни заданного уравнения.

б) Здесь à = 1, b = -6, c = 9. По формуле (3) нахо-

äèì x = 3 ± 9 - 9 × 1 = 3 ± 0 = 3, ò. å. õ = 3 — корень уравнения.

в) Здесь à = 2, b = -3, c = 5. Находим D = b2 -

- 4ac = (-3)2 - 4 × 2 × 5 = -31. Òàê êàê D < 0, то уравнение не имеет корней. n

142. Неполные квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член ñ равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным. Для отыскания его корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

П р и м е р. Решить уравнение:

à) 2x2 - 5x = 0; á) 4x2 - 81 = 0; â) 2x2 + 5 = 0. q а) Имеем õ (2õ – 5) = 0. Значит õ = 0, ëèáî 2õ –

– 5 = 0, ò. å. õ = 2,5. Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2,5.

186

АЛГЕБРА

§ 14. Уравнения с одной переменной

б) Разделив обе части уравнения на 4, получим

x2 - 20,25 = 0, ò. å. (õ + 4,5)(õ – 4,5) = 0. Значит,

õ1 = – 4,5 è õ2 = 4,5 — корни уравнения.

в) Поскольку 2õ2 + 5 > 0 при любых õ, данное уравнение не имеет корней. n

143. Теорема Виета.

Ò.4.5. Если приведенное квадратное уравнение

ò. å. их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену (теорема Виета).

П р и м е р 1. Не решая уравнение x2 + px + q = 0,

найти: а) x21 + x12 ; á) x31 + x23.

q а) Используя формулы (1), получим

íèÿ x2 + px + q = 0.

187

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

П р и м е р 2. Решить уравнение x2 + 3x - 28 = 0.

q Попробуем найти такие два числа õ1 è õ2, чтобы выполнялись равенства õ1 + õ2 = –3, õ1õ2 = –28.

Нетрудно заметить, что такими числами являются –7 и 4. Согласно теореме 4.6, они и служат корнями заданного уравнения. n

144. Системы и совокупности уравнений. Пусть

даны два уравнения f1(x) = g1(x) è f2(x) = g2(x). В том случае, когда нужно найти значения переменной, удовлетворяющие обоим данным уравнениям, говорят, что задана система уравнений и используют для записи фигурную скобку:

q Корнями первого уравнения служат числа 1 и –1, а корнями второго — числа 1 и 2.

Общим корнем является число 1 — это и есть решение данной системы. n

В том случае, когда ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является корнем хотя бы одного из данных уравнений, говорят, что задана совокупность уравнений и используют для записи квадратную скобку:

éf1(x) = g1(x), êëf2(x) = g2(x).

188

АЛГЕБРА

§ 14. Уравнения с одной переменной

П р и м е р 2. Решить совокупность уравнений

éêx2 - 1 = 0,

êë(x - 1) (x + 2) = 0.

q Корнями первого уравнения являются числа 1 и –1, а корнями второго — числа 1 и –2. Значит, решением данной совокупности служат числа 1, –1

è–2. n

145.Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

П р и м е р. Решить уравнение: а) 2x - 7 = 3; á) 2x - 8 = 3x + 1.

q à) Åñëè a = 3, òî ëèáî à = 3, ëèáî à = –3. Ýòî

значит, что данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: 2õ – 7 = 3, 2õ – 7 = –3. Из первого уравнения находим õ1 = 5, из второго õ2 = 2.

б) Здесь надо рассмотреть два случая: 2x - 8 ³ 0, 2x - 8 < 0, поскольку в каждом из них знак модуля раскрывается по своему правилу.

Åñëè 2x - 8 ³ 0, òî 2x - 8 = 2x - 8 и данное урав-

нение примет вид 2x - 8 = 3x + 1. Отсюда находим

õ = –9. Однако при õ = –9 неравенство 2x - 8 ³ 0 не выполняется, значит, õ = – 9 не может быть корнем данного уравнения.

Åñëè 2x - 8 < 0, òî 2x - 8 = -(2x - 8) и данное

уравнение примет вид 8 – 2õ = 3õ + 1. Отсюда находим õ = 1,4. Неравенство 2 · 1,4 – 8 < 0 верно; зна- чит, õ = 1,4 — корень данного уравнения. n

189

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

Заметим, что уравнения вида x - a = b можно решaть и геометрически (см. п. 29).

146. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни. Пусть даны два уравнения

Если каждый корень уравнения (1) является одновременно и корнем уравнения (2), то уравнение (2) называется следствием уравнения (1). Заметим, что равносильность уравнений означает, что каждое из уравнений является следствием другого.

Âпроцессе решения уравнения часто приходится применять такие преобразования, которые приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. Уравнению-следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но, кроме них, уравнение-след- ствие может иметь и такие решения, которые не являются корнями исходного уравнения, это так называемые посторонние корни. Чтобы выявить и отсеять посторонние корни, обычно поступают так: все найденные корни уравнения-следствия проверяют подстановкой в исходное уравнение.

Âслучае, когда при решении уравнения оно было заменено его уравнением-следствием, указанная проверка является неотъемлемой частью решения. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в следствие.

Если обе части уравнения умножить на выражение, имеющее смысл при любых значениях х, то получится уравнение, являющееся следствием исходного.

190