- •Квантовая механика Введение
- •Темы курса
- •Контрольные мероприятия
- •Коллоквиум
- •Экзамен
- •Рейтинговая аттестация дисциплины с экзаменом
- •Основная Литература
- •Полуклассическая квантовая механика
- •Волновые свойства света
- •Корпускулярные свойства света
- •Соотношения неопределенностей
- •Средняя концентрация фотонов
- •Волна де Бройля
- •Квантование Бора–Зоммерфельда
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Условия применимости классической физики
Пример 2
Частица массой m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной с абсолютно непроницаемыми стенками. Получимдопустимые значения энергии и импульса частицы.
Классическая частица может иметь любую энергию в ящике с непроницаемыми стенками. Энергия квантовой частицы имеет дискретный спектр, зависящий от размеров потенциальной ямы.
Частица с полной энергией внутри ямы приимеет импульс
.
Из условия квантования (1.17) для одномерного движения получаем
.
С учетом перемещения вправо и влево, находим
, ,
,
. (П.1.3)
Чем уже яма и меньше масса частицы, тем больше интервал между соседними уровнями энергии.
Для основного состояния с минимальной энергией из (П.1.3) получаем
, . (П.1.4)
Для электрона при L = 1 мм
.
Тепловая энергия kT такой величины соответствует температуре . Следовательно, для частицы в макроскопическом объеме квантование энергии поступательного движения несущественно при достаточно высокой температуре.
Для микрообъема L = 1 нм получаем , что превышает тепловую энергиюпри нормальной температуре. Следовательно,для частицы в микроскопическом объеме квантование энергии поступательного движения существенно при любой температуре. В результате микро- и наносистемы квантуются и требуют квантовомеханического описания.
Условия применимости классической физики
Учитываем, что в квантовой теории:
Частица в ограниченном пространстве имеет дискретный спектр энергии;
Состояние частицы характеризуется длиной волны де Бройля;
При одномерном движении частица занимает в фазовом пространстве объем, не меньший h.
Следовательно, классическая физика применима, если можно пренебречь:
1) Дискретностью спектра энергии по сравнению с тепловой энергией;
2) Длиной волны де Бройля по сравнению с расстоянием между частицами;
3) Объемом h по сравнению с фазовым объемом, занимаемым частицей.
При нарушении этих условий необходимо использовать квантовую теорию. Если у частицы существует понятие траектории, то применима полуклассическая теория. Если длина волны де Бройля сравнима с размерами области, доступной для частицы, то понятия траектории не существует и используется квантовая механика.