3.3. Перевод чисел из десятичной системы в другую позиционную систему счисления и обратно

3.3.1. Перевод целого десятичного числа в другую позиционную систему счисления

Правило перевода целого десятичного числа  N  в систему счисления с основанием  q.НеобходимоNразделить с остатком ("нацело") наq, записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком наq, и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю.Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения [2].

Пример 3.2.Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ:75₁₀= 1001011₂=  113₈=  4B₁₆.

   

3.3.2. Перевод правильной десятичной дроби в другую позиционную систему счисления

Правило перевода правильной десятичной дpоби  F  в систему счисления с основанием  q.НеобходимоFумножить наq, записанное в той же десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить наq,и т. д., до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числаFвq-ичной системе.Представлением дробной части числа F в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных одной q-ичной цифрой [2].

Если требуемая точность перевода числа Fсоставляетkзнаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняетсяq ^-(k+1) / 2.

Пример 3.3.Переведем число 0,42 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

а)	0,	42 2	б)	0,	42 8	в)	0,	42 16
	0,	84 2		3,	36 8		6,	72 16
	1,	68 2		2,	88 8	(B16)	11,	52 16
	1,	36 2		7,	04		8,	32 16
	0,	72 2					5,	12
	1,	44

Ответ: а) 0,42₁₀= 0,01101₂с предельной абсолютной погрешностью 2^-6/2=2^-7;

б) 0,42₁₀=0,327₈с предельной абсолютной погрешностью 8^-4/2=2^-13;

в) 0,42₁₀=0,6B85₂с предельной абсолютной погрешностью 16^-5/2=2^-21.

Для чисел, имеющих целую и дробную части, перевод из десятичной системы счисления в другую осуществляется отдельно для каждой из частей, а затем складываются.

   

3.3.3. Перевод числа в десятичную систему счисления

Правило перевода в десятичную систему числа x, записанного в q-ичной системе счисления в виде X_q = (a_n a_n-1 ...a₀ , a_-1 a_-2... a_-m)_q производится путем вычисления значения многочлена:

X₁₀= a_nqⁿ +  a_n-1q^n-1+ ... +  a₀q⁰+  a_-1q^-1+  a_-2q^-2 +  ...  +  a_-mq^-m,

здесь n- это номер разряда (считается от запятой влево начиная с 0),m– номер разряда дробной части (считается вправо от запятой, начиная с 1)

Пример 3.4:

3.4. Арифметические операции в позиционных системах счисления

Рассмотрим арифметические операции: сложениеивычитание.

Правила сложения и вычитания в десятичной системе применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.