Лекция 9 Схемы автоматизации периодических и дискретных процессов

Тема лекции предусматривает рассмотрение следующих вопросов: специфика периодических и дискретных процессов как объектов управления; управление процессом в реальном времени с использованием управляющего компьютера; управление последовательностью событий, бинарное управление; основные структуры аналоговых и цифровых регуляторов; мультиплексирование и аналого-цифровое преобразование измерительной информации

Специфика периодических и дискретных процессов как объектов управления.

В промышленности существует большое количество приложений, использующих переключательные схемы для комбинационного и последовательностного управления. Теория переключательных схем, составляющая основу бинарного управления, используется не только в технологии автоматизации, но и во многих других областях. Именно эта теория лежит в основе работы цифровых ЭВМ. В общем случае бинарное комбинационное и последовательностное управление проще, чем традиционное аналоговое или цифровое управление с обратной связью, потому что использует как для измеряемых величин, так и для управляющих сигналов бинарные значения. Однако бинарное управление имеет свои особенности, которые будут рассмотрены более подробно.

Логические схемы традиционно реализовывались на основе разных технологий — до середины 1970-х годов большинство схем строилось на базе электромеханических реле или пневматических элементов, в 1970-е годы получили широкое распространение программируемые логические контроллеры, и сегодня последовательностное управление реализуется почти исключительно программными средствами. Несмотря на изменения в технологии, символическое изображение операций переключения с помощью принципиальных схем, которое восходит к ранней релейной технике, до сих пор используется для описания и документирования операций последовательностного управления, в том числе и реализуемого программно. Другой важный тип языка, который можно использовать не только для описания, но и как инструмент документирования, - это функциональные карты.

Теория переключательных схем позволяет создавать модели работы бинарных устройств, т. е. таких, которые могут быть только в одном из двух возможных состояний. Устройства, используемые в логических цепях, — выключатели, реле и двухпозиционные клапаны - работают только в двух состояниях. Любой транзистор - линейный элемент, т.е. не бинарный, но он может работать и как бинарный элемент если рассматривать только состояния "открыт" и "заперт". Бинарные датчики и исполнительные механизмы уже были рассмотрены ранее.

Состояние бинарного элемента отражается двоичной переменной, которая, соответственно, может принимать только два значения, традиционно обозначаемые либо «0» либо «1». Для выключателя, реле или транзистора (в дальнейшем обозначаемых буквой X) состояние X = 0 означает, что элемент разомкнут (не проводит ток) и X = 1 замкнут (проводит ток). Для кнопочных контактов и концевых выключателей X=0 означает, что контакт не приведен в действие, а X = 1 означает срабатывание.

Двоичная переменная может также соответствовать какому-нибудь уровню напряжения в реальной цепи. В схемах так называемой "положительной логики" большее напряжение соответствует логической "1", а меньшее - логическому "0". В системах ТТЛ двоичный "0" обычно определяется уровнем напряжения от 0 до 0.8 В а двоичная "1" - уровнем напряжения выше 2 В. Аналогично в пневмосистемах X = 0 может означать, что магистраль находится под атмосферным давлением, а X = 1 — под более высоким.

Для изображения логических - комбинационных и/или последовательностных цепей используются стандартные символы, которые не зависят от их фактической реализации.

Управление последовательностью событий и бинарное управление. Простой химический реактор, представленный на рисунке 9.1, — пример системы управления последовательностью событий. В химическом реакторе реагенты перемешиваются с помощью смесителя. Входные потоки реагентов и выход продукта регулируются входными клапанами А и Б и выходным клапаном В. Соответственно давление в баке контролируется датчиком Д, а температура - датчиком Т. Температура регулируется горячей или холодной водой, подаваемой в окружающий бак кожух; потоки воды регулируются клапанами Г (горячо) и X (холодно).

Рисунок 9.1 -. Простой химический реактор с регулированием температуры

В этом примере в реакторе выполняются следующие операции:

1. Открыть клапан А и залить в бак реагент 1.

2. Если датчик давления Д показывает, что достигнут требуемый уровень, то закрыть клапан А.

3. Запустить смеситель.

4. Открыть клапан Б и залить в бак реагент 2.

5. Если датчик давления Д показывает, что достигнут новый требуемый уровень, то закрыть клапан Б.

6. Открыть клапан Г для нагрева бака.

7. Если датчик Т показывает, что достигнута требуемая температура, то надо закрыть клапан Г.

8. Установить таймер на время протекания химической реакции.

9. При срабатывании таймера - время реакции истекло — остановить смеситель.

10. Открыть клапан X для охлаждения бака.

11. Проверить температуру в баке. Если температура упала ниже заданного предела, то закрыть Клапан X и открыть клапан В для опорожнения бака.

12. Закрыть клапан В. Повторить все этапы с самого начала.

Многие системы предназначены для управления очередностью выполнения операций, которая зависит от некоторых логических условий, как в приведенном примере.

Входные и выходные данные системы являются бинарными в том смысле, что датчики контролируют два состояния или граничное значение, например клапан открыт или закрыт, индикатор сработал или нет, кнопочный выключатель нажат или отжат и т. д.; и команды управления имеют аналогичный формат — запустить/остановить двигатель, включить/отключить нагреватель и т. п.

Если задача управления основана только на бинарной логике, то очевидно, что решать ее удобнее и проще цифровыми средствами. Существуют так называемые программируемые логические контроллеры, специально созданные для решения таких задач.

Управление процессом в реальном времени с использованием управляющего компьютера. Универсальность цифровых вычислительных машин как средства решения самых разнообразных задач, огромные объемы информации, перерабатываемые и хранимые в ЭВМ, мощные алгоритмические возможности сделали ЭВМ эффективным средством решения современных задач управления.

В современной теории и практике управления динамическими системами используются электронно-вычислительные машины (ЭВМ) или как их чаще теперь называют - промышленные персональные компьютеры (ППК) различных типов, отличающиеся принципом действия, составом элементной базы, возможностями использования в системах управления.

ППК общего назначения. Это такая архитектура вычислительных средств и программного обеспечения, которая позволяет единообразно решать большинство возникающих технических задач, включая задачи сопряжения с ЭВМ широкой номенклатуры внешних устройств и датчиков.

Использование ЭВМ общего назначения упрощает и ускоряет процесс разработки стандартного проекта в области автоматизации, однако конечное решение обычно не является оптимальным. ЭВМ общего назначения включает в себя стандартный набор компонентов.

• - Центральный процессор (один или несколько) и арифметический сопроцессор.

• - Быстродействующее запоминающее устройство.

• - Внешние накопительные устройства различной природы.

• - Мультимедийные (графическое и звуковое) устройства.

• - Терминал пользователя (дисплей, клавиатура, мышь и т.п.).

• - Средства сетевой поддержки.

• - Возможность подключения дополнительных интерфейсных устройств, в том числе, и в виде контроллеров, присоединяемых к шине ЭВМ.

• - Возможность установки разнообразного программного обеспечения.

Последние два свойства чрезвычайно важны, так как соответствуют открытости архитектуры такой ЭВМ. Именно открытость архитектуры PC совместимых компьютеров в 80-е годы 20 века сыграла решительную роль в повсеместном распространении этой техники. Свойство открытости архитектуры является непременным условием универсальности при широком применении.

Использование ЭВМ в контуре управления динамическими автоматическими системами связано с решением ряда проблем, вытекающих из особенностей ЭВМ как дискретной системы. В САУ с ЭВМ необходимо решать вопросы связи ЭВМ с объектом управления и работы ЭВМ в реальном масштабе времени, в ритме работы объекта управления. Связь ЭВМ с объектами управления усложняется при использовании цифровых машин для управления непрерывными автоматическими системами.

Укрупненная схема цифровой системы управления приведена на рисунке 9.2.

Рисунок 9.2 -. Укрупненная схема цифровой системы управления

Она содержит управляющую ЭВМ, объект управления ОУ, устройство ввода информации УВ и устройство, предназначенное для сопряжения ЭВМ с объектом, получившие название устройства сопряжения УС. Управляемый процесс (объект), как правило, имеет аналоговую природу, и связанные с ним сигналы у(t) и u(t) являются аналоговыми. Управляющая ЭВМ (а равно и любое другое цифровое устройство) имеет дело только с цифровой информацией, и сигналы на ее входах N_y и выходах N_u представлены цифровым кодом.

К современным измерительным устройствам относятся разнообразные датчики аналоговой природы, выходом которых являются электрические сигналы постоянного или переменного тока y(t), кодовые датчики, обеспечивающие получение параллельного цифрового кода N_y, а также импульсные измерительные устройства, на выходе которых получается импульсная последовательность n_у. Цифровые измерительные устройства совместимы с цифровыми процессами в управляющей ЭВМ, что упрощает устройства ввода УВ.

Центральным элементом системы является управляющая ЭВМ, которая по заданному алгоритму осуществляет обработку информации от измерительных устройств и выполняет функции устройства управления (цифрового регулятора).

Важнейшими модельными особенностями управляющей ЭВМ как цифрового регулятора являются ее дискретность, циклический характер обработки информации и наличие запаздывания в процессе обработки сигналов. Дискретность обусловлена квантованием по уровню и времени всех вычислительных процессов, а, следовательно, и дискретным характером сигналов на входе N_y(kT) и выходе ЭВМ N_u(kT). Интервал квантования по времени задается с помощью таймера, а приращение по уровню зависит от разрядности ЭВМ. Для ЭВМ с достаточно большой разрядной сеткой квантованием по уровню обычно пренебрегают. Тогда сигналы N_y(kT) и N_u(kT) рассматриваются как стандартные амплитудно-модулированные импульсные последовательности (решетчатые функции).

Запаздывание, вносимое управляющей ЭВМ, вызвано потерями времени на ввод-вывод информации и вычисление управления по заданному алгоритму. С учетом запаздывания выходом ЭВМ следует считать дискретный сигнал N_u(kT-), смещенный относительно идеального сигнала на величину . Для упрощения модели системы запаздыванием либо пренебрегают, либо полагают равным одному интервалу дискретизации с выходным сигналом N_u((k-1)T).

В дальнейшем будем полагать, что работа всех устройств цифровой системы синхронизирована и происходит с интервалом дискретности Т, а их разрядные сетки одинаковы.

В функции устройств сопряжения с объектом входит промежуточное хранение цифровой информации и (при необходимости) преобразование аналоговых сигналов в цифровые и обратно.

Эквивалентная схема цифровой системы управления (см. рисунок 9.3). Для построения математической модели цифровой системы введем в рассмотрение некоторые специальные блоки:

Рисунок 9.3 - Эквивалентная схема цифровой системы управления

• квантователь непрерывных сигналов (рисунок 9.3 а), имеющий характеристику:

x₁(kT) = x₂(t) при t = kT; (9.1)

• фиксатор, или экстраполятор нулевого порядка (рисунок 9.3 б), описываемый выражением:

x_l(t) = x₂(kT) при t ∈ [kT, (k+1)Т); (9.2)

• звено запаздывания (элемент задержки на время , (рисунок 9.3 в) с характеристикой:

x₁(t) = x₂(t-τ). (9.3)

Функциональная схема цифровой системы с объектом управления аналоговой природы и сигналы в различных ее точках приведены на рисунке 9.4 и 9.5. Схема представлена самим ОУ с аналоговыми измерительными и исполнительными устройствами, управляющей ЭВМ, таймером Т, обеспечивающим тактирование процессов с интервалом Т, и устройствами аналогового ввода-вывода. При рассмотрении пренебрежем эффектом квантования сигналов по уровню и различием между аналоговыми и цифровыми сигналами, принимая во внимание, что способ кодирования информации не влияет на информационное содержание сигналов. Работа цифровых систем управления аналоговыми процессами с цифровыми измерительными и исполнительными устройствами, инкриментными датчиками и иными типами цифровых устройств может рассматриваться по той же схеме и приводит к идентичной математической модели.

Рисунок 9.4 - Функциональная схема цифровой системы

Функциональная схема содержит АЦП, входным сигналом которого является непрерывный сигнал y(t) (точка А), а выходным кусочно-постоянный сигнал ỹ(t) = y(kT) (точка В), который поступает на вход следующего блока - входного регистра ВхР. Выходом последнего служит шина управляющей ЭВМ (точка С), на которой в моменты ввода информации t = kT появляется импульсный сигнал y(kT). Таким образом, первые два блока системы преобразуют непрерывный сигнал y(t) в квантованный по времени дискретный сигнал y(kT), т. е. представляют собой квантователь, при этом эффект квантования вызван периодическими обращениями ЭВМ к входному регистру.

Рисунок 9.5 - сигналы в различных точках цифровой системы

Дискретный сигнал y(kT) поступает в процессор ЭВМ, где производится расчет текущих значений управляющего воздействия. В идеальном случае на выходе ЭВМ (точка D) мгновенно формируется дискретный сигнал u'(kT). С учетом запаздывания - смещенная импульсная последовательность u'(kT-τ), где τ <Т, или, полагая для простоты τ =Т, сигнал u'((k-1)T).

В моменты времени t = kT- τ сигнал с выхода ЭВМ u'(kT- τ) поступает на выходной регистр ВыР, который обеспечивает его сохранение в течение интервала Т. Тем самым обеспечивается преобразование импульсной последовательности в кусочно-непрерывный сигнал ū'(kT- τ) (точка Е). Этот элемент схемы является фиксатором.

Цифроаналоговый преобразователь, как уже отмечалось, является пассивным элементом и поэтому сигнал на его выходе (точка F) по информационному содержанию совпадает с входным сигналом и является входным сигналом объекта управления.

Рисунок 9.6 - Эквивалентная схема цифровой системы управления

Эквивалентная схема цифровой системы управления, соответствующая ее математической модели для случая линейного объекта управления, линейного регулятора и запаздывания τ =Т приведена на рисунке 9.6. В состав схемы входит ОУ с передаточной функцией W_o(p), цифровой регулятор с передаточной функцией K(z), квантователь К, элемент задержки l/z и экстраполятор Э. В общем случае модель может включать каналы задающих воздействий и обратные связи по различным переменным системы.

Таким образом, ППК в системе автоматического управления осуществляет обработку информации о состоянии объекта, обеспечивает программное и оптимальное управление объектом. на рисунке 9.7 приведен пример схемы автоматического управления технологическим процессом на базе ППК.

Рисунок 9.7- Пример схемы автоматического управления технологическим процессом на базе ППК

Вся совокупность устройств, подсоединенная к интерфейсу Б, образует систему связи ЭВМ с объектом. Состояние объекта характеризует информация, поступающая от датчиков физических величин (ДФВ). Эта информация после преобразования в соответствующих звеньях системы связи с объектом поступает в ЭВМ и составляет поток измерительной информации. От ЭВМ на входы исполнительных устройств (ИУ), приводящих объект в требуемое состояние, поступает поток управляющей информации в виде цифровых или аналоговых сигналов. Управляющая информация с каналов ввода-вывода (КВВВ) поступает в коммутатор цифровых управляющих сигналов (КЦУС), с которого передается либо непосредственно на исполнительные устройства дискретного типа, либо в цифроаналоговый преобразователь (ЦАП) для преобразования и последующей передачи на входы аналоговых исполнительных устройств.

К интерфейсу А вместе с каналами ввода-вывода подключен блок внешних прерываний (ВВП) процессора (П) и устройство текущего времени (УТВ). ВВП по сигналам от датчиков прерывания (ДП), связанных с объектом управления, и сигналам от УТВ формирует различные циклы обработки информации и управления объектом.

Коммутатор аналоговых сигналов (КАС) и коммутатор цифровых сигналов (КЦС), связанный с устройством приема цифровой информации (УПЦИ), составляют входной коммутатор системы управления, который осуществляет раздельное во времени подключение датчиков. Коммутатор цифровых управляющих сигналов (КЦУС) является выходным коммутатором, осуществляющим раздельное во времени подключение входов исполнительных устройств.

Исполнительные устройства используют либо аналоговые сигналы, либо дискретные, причем длительность дискретных сигналов обычно значительно превышает длительность сигналов управляющей информации. В связи с этим система связи ЭВМ с объектом управления должна содержать технические средства, запоминающие управляющую дискретную информацию до замены ее новой информацией или формирующие управляющие воздействия, воспринимаемые входами исполнительных устройств.

Связь ЭВМ с объектом в системе автоматического управления может быть синхронной, асинхронной и комбинированной.

При синхронной связи процесс управления с помощью тактовых сигналов устройства текущего времени (УТВ) разбивается на циклы одинаковой продолжительности. Каждый цикл начинается с появлением тактового сигнала на входе блока прерывания. Вначале цикла осуществляется последовательный опрос датчиков, контролирующих состояние объекта управления. Сигналы датчиков преобразуются в форму, необходимую для ввода этих сигналов в ЭВМ. Поступившая в ЭВМ информация обрабатывается, и формируются управляющие воздействия на объект, которые после соответствующего преобразования в системе связи ЭВМ с объектом передаются на исполнительные устройства. Затем ЭВМ либо останавливается, либо выполняет другие программы, не связанные с системой автоматического управления. Выполнение этих программ прерывается следующим тактовым сигналом УТВ. Управляющие воздействия, сформированные в начале цикла, остаются неизменными в течение всего цикла.

При асинхронной связи с объектом ЭВМ реагирует на сигналы прерывания, поступающие от датчиков прерывания, непосредственно связанных с объектом. Каждому сигналу прерывания соответствует переход ЭВМ к выполнению соответствующей программы, определяемой характером прерывания. Сигналы прерывания отрабатываются ЭВМ с учетом уровня приоритета.

При комбинированной связи ЭВМ с объектом управление осуществляется как по тактовым сигналам УТВ, так и по сигналам прерывания, например по сигналам аварийного режима объекта управления.

В ряде случаев целесообразно использовать прямое цифровое управление объектом на базе ЭВМ. В этих случаях ЭВМ выполняет функции регулятора контура управления. Датчик заданных значений величин, сложение задающих сигналов, сигналов обратных связей и регулятора реализуются в виде программных алгоритмов, а устройство сбора и регистрации переменных состояния и выдачи управляющих воздействий - в виде программируемого функционального устройства. Алгоритмы прямого цифрового управления могут быть построены подобно алгоритмам аналогового регулирования.

Существенно расширяются возможности управления в системах, функционирующих на базе микро-ЭВМ. Здесь становится возможным использовать все преимущества микропрограммирования, позволяющего реализовать набор машинных команд стандартных ЭВМ, а также специальные наборы команд для определенных областей управления. Кроме того, можно реализовать конструкции языка программирования высокого уровня, ядро операционной системы реального времени, диагностические функции для быстрого обнаружения ошибок и сбоев. Возможность распараллеливания на микропрограммном уровне отдельных элементарных операций позволяет значительно повысить быстродействие исполнения алгоритмов.

Основные структуры аналоговых и цифровых регуляторов.

Ввод аналоговых сигналов в компьютер. Функциональные компоненты входного и выходного интерфейсов компьютера показаны на рисунке 9.8.

Сигнал, выработанный датчиком, должен быть отфильтрован от всех посторон­них частот до того, как он будет обработан компьютером. В частности, необходимо устранить высокочастотный шум, который обычно наводится в кабеле при передаче сигнала. Отфильтрованные измерительные сигналы собираются в мультиплексоре. Это устройство, которое имеет несколько входов и один выход. Основное назначение мультиплексора — уменьшить общую стоимость системы за счет применения только одного устройства обработки (в данном случае — управляющего компьютера), которые обычно существенно дороже мультиплексора для всех входных сигналов. Преобразование аналогового сигнала в цифровой происходит в аналого-цифровом преобразователе (АЦП). Схема выборки и хранения запоминает мгновенные значения одного сигнала в заранее установленные моменты времени и удерживает его постоянным на выходе в течение интервала дискретизации. Перед дальнейшей обработкой в компьютере значение сигнала измерительной информации необходимо дополнительно проверить, чтобы удостовериться в том, что оно приемлемо и имеет смысл в контексте физического процесса.

Рисунок 9.8 - Основа структуры аналоговых и цифровых регуляторов

Цифровая обработка сигналов. Теорема Котельникова (Шеннона). Ниже будет сформулирована и доказана теорема Котельникова (теорема отсчётов) - основополагающая теорема для систем цифровой обработки сигналов, телекоммуникаций, а также теории связи. Теорема была сформулирована и доказана советским академиком В. А. Котельниковом в 30-х годах 20 века. Суть теоремы состоит в том, что вместо передачи непрерывного аналогового сигнала можно передавать соответствующий ему дискретный сигнал.

Формулировка теоремы: непрерывный сигнал, спектр которого не содержит частот больших fm может быть однозначно представлен своими мгновенными значениями (выборками), разделёнными одинаковыми интервалами времени, длина которых не должна превышать 1/2fm.

Другими словами период дискретизации должен хотя бы в два раза меньше периода наивысшей частотной составляющей спектра непрерывного сигнала, т.е. на каждый период наивысшей частотной составляющей должно приходиться по крайней мере два отсчёта (выборки). Таким образом, частота следования отсчётов должна, по крайней мере, в два раза превышать наивысшую частоту в спектре непрерывного сигнала. Полученный дискретный сигнал может быть передан по каким-либо линиям связи и из него фильтром нижних частот на стороне приёмника может быть однозначно восстановлен исходный аналоговый сигнал.

С другой стороны, непрерывный сигнал может иметь бесконечный спектр частот, но так как гармоники этого сигнала могут монотонно уменьшаться по амплитуде при увеличении номера гармоники, то с некоторой степенью точности можно считать спектр такого сигнала ограниченным.

Точность воспроизведения непрерывного сигнала во многом определяется характеристиками фильтра нижних частот и не оказывает влияния на корректность теоремы Котельникова в данном случае. Также, точность воспроизведения непрерывного сигнала определяется количеством уровней квантования в процессе получения отсчётов. Однако, если выбрать количество уровней квантования в соответствии с динамическим диапазоном и чувствительностью конкретной системы, то точность воспроизведения непрерывного сигнала не будет ухудшаться процессом получения отсчётов. Это утверждение, в частности, может быть до определённой степени справедливым, когда уровень шумов, присутствующий в исходном сигнале больше шага квантования. В этом случае не имеет смысла увеличивать количество уровней квантования, так как к повышению точности получения отсчётов это не приведёт.

Теорема Котельникова определяет также, что в непрерывном сигнале и соответствующем ему дискретном сигнале, полученном по приведённым выше правилам, содержится одинаковая информация, поэтому представление одного из этих двух сигналов другим является взаимно-однозначным.

Доказательство теоремы начнём с рассмотрения абстрактного вспомогательного непрерывного сигнала, представленного бесконечной последовательностью импульсов с некоторым периодом повторения (рисунок 9.9). Исследуемый непрерывный сигнал и его спектр показан на рисунке 9.10. Цель введения вспомогательного сигнала: показать, что и в нём после некоторых преобразований и в дискретном сигнале, полученном в соответствии с теоремой Котельникова, содержится одинаковая информация.

Рисунок 9.9 – Вспомогательный сигнал

Рисунок 9.10 – Спектр вспомогательного сигнала

Рисунок 9.11 – Вспомогательный сигнал

Вспомогательный сигнал имеет следующие характеристики:

1) ширина каждого импульса бесконечно мала;

2) импульсы имеют единичную амплитуду;

3) спектр сигнала подобен самому сигналу (рисунок 9.9).

Рисунок 9.12 – Преобразованный сигнал

Рисунок 2.13 – Спектр преобразованного сигнала

Теперь умножим такой непрерывный сигнал на исследуемый непрерывный сигнал. Результат подобного преобразования показан на рисунке 9.13. Рассмотрим спектр получившегося сигнала. Из теории операционного исчисления известно, что изображение произведения двух оригиналов функций равно свёртке их изображений и наоборот. Данное утверждение можно доказать, используя формулу свёртки и преобразование Лапласа, применённое к двум данным функциям. Пусть исследуемый сигнал имеет спектр, вид которого показан на рисунке 2. Видно, что в этом спектре наивысшей частотной составляющей является 0.3 fd, где fd - период дискретизации получаемого дискретного сигнала и, соответственно, период следования импульсов во вспомогательном сигнале. Таким образом, спектр получаемого непрерывного сигнала представляет собой свёртку спектров исследуемого непрерывного сигнала и вспомогательного сигнала. Часть спектра полученного сигнала, находящаяся справа от момента появления импульса в спектре вспомогательного сигнала соответствует положительным частотам спектра исследуемого сигнала, а часть спектра полученного сигнала, находящаяся слева - отрицательным частотам. На полученном графике видно, что происходит дублирование спектров исследуемого сигнала в тех местах, где присутствуют импульсы на спектре вспомогательного сигнала. Причем, если ширина ненулевой области спектра исследуемого сигнала не превышает половины периода следования импульсов на спектре вспомогательного сигнала, то каждая продублированная часть спектра исследуемого сигнала располагается «отдельно» на спектре полученного сигнала. Если бы это было не так, т. е. ширина спектра исследуемого сигнала превышала бы половину периода следования импульсов, то в спектре полученного сигнала продублированные части спектра исследуемого сигнала «налезали» бы друг на друга. В таком случае происходит искажение частот спектра и дальнейшее восстановление непрерывного сигнала из дискретного становится невозможным. Характер искажений частот спектра в общем случае показан на рисунке 9.14.

Рисунок 9.14 – Искажение спектра

Так как доказана теорема отсчётов для вспомогательного сигнала, а вспомогательный сигнал содержит абсолютно такую же информацию, как и получаемый дискретный, то теорема также справедлива и для дискретного сигнала. Что и требовалось доказать.

Далее, для восстановления исходного непрерывного сигнала из сигнала, полученного перемножением исходного и вспомогательного сигналов требуется пропустить полученный сигнал через фильтр нижних частот, который подавит все частоты, выше fm. Однако такой подход требует пояснения для дискретного сигнала. Дело в том, что на выходе ЦАП формируется не последовательность импульсов бесконечно малой ширины, а ступенчатый сигнал. Это объясняется самим принципом работы ЦАП. Если исследовать спектр полученного на выходе ЦАП сигнала, то окажется, что он довольно сильно искажён по сравнению со спектром полученного сигнала в доказательстве теоремы. Это можно объяснить тем, что сигнал на выходе ЦАП представляет собой свёртку полученного в доказательстве теоремы сигнала и сигнала в виде прямоугольного импульса длительностью, соответствующей длительности периода дискретизации. Опять же, по теории операционного исчисления, изображение свёртки оригиналов двух функций равно произведению их изображений.

Получаемый на выходе ЦАП сигнал и его спектр показаны на рисунках 9.15 и 9.16.

Рисунок 9.15 – Спектр преобразованного сигнала

Рисунок 9.16 –Сигнал на выходе ЦАП

Пунктиром отмечен спектр прямоугольного импульса (см. рисунок 9.16). Дублированные части спектра показаны не перемноженными на функцию вида sin(x)/x. Спектр любого прямоугольного импульса задаётся функцией, подобной sin(x)/x. Для восстановления непрерывного исходного сигнала в таком случае нужно рассчитать импульсную характеристику фильтра нижних частот таким образом, чтобы после применения этого фильтра в спектре полученного сигнала производилась ещё и операция деления на соответствующим образом подобранную функцию вида sin(x)/x.

Так как в практических случаях не удаётся достичь точной рассчитанной импульсной характеристики фильтра, может возникнуть скат спектра импульсной характеристики в области частоты среза фильтра. Ширина ската зависит от типа используемого аналогового фильтра. Например, при использовании фильтра Бесселя, ширина ската довольно значительна, а при использовании фильтра Чебышева ширина ската гораздо меньше, но фильтр Чебышева имеет ряд других недостатков, которые обсуждаются в главе «Применение цифровых фильтров». Из-за ската в области частоты среза, некоторая часть спектра в окрестностях частоты среза является неиспользуемой и тогда используют фильтр с частотой среза, превышающей fm на ширину ската.

В заключение следует отметить, что рассмотренный при доказательстве теоремы Котельникова вспомогательный сигнал является чисто абстрактным и в природе существовать не может, так как невозможно получить бесконечно малую ширину импульса. Однако, можно сделать некоторое упрощение, основанное на следующем факте. Любая линейная система имеет конечное быстродействие, т. е. работает в конечном временном интервале. Если это электрическая схема, то быстродействие, как правило, определяется величинами ёмкостей, входящих в состав схемы. Если на вход такой системы подать импульс, имеющий единичную амплитуду и длина которого будет намного меньше нижней границы временного интервала работы схемы, то этот импульс будет воспринят так же как и идеальный (т. е. имеющий бесконечно малую ширину и единичную площадь). Таким образом, в практических случаях существует приближение вспомогательного сигнала, использованного при доказательстве теоремы.

Мультиплексирование и аналого-цифровое преобразование измерительной информации. Для компьютерной обработки дискретные аналоговые значения измерительного сигнала необходимо представить в цифровой форме, т. е. выполнить аналого-циф­ровое (АЦ, Analog-Digital — A/D) преобразование. Соответствующее устройство на­зывается аналого-цифровым преобразователем (АЦП, Analog-Digital Converter, A/D converter — ADC). АЦП генерирует двоичное слово — цифровой выход — на основе аналогового сигнала. Существуют аппаратные АЦП, выполненные, например, в виде платы рас­ширения компьютера. Такие АЦП могут работать в соответствии с различными принципами; два широко рас­пространенных метода — параллельное сравнение и пошаговое приближение (апп­роксимация).

Алгоритмы АЦП и ЦАП. Информация от датчиков с унифицированными выходными сигналами (токовым, частотным и др.) поступает на вход аналого-цифрового преобразователя контроллера, где преобразуется из аналоговой формы в цифровую (аналого-цифровой), точнее, в двоичный код с разрядностью, определяемой разрядностью АЦП. Происходящее при этом преобразование называется квантованием входного сигнала по уровню и выражается в математическом виде так

, (9.4)

где Х_ц – значение сигнала, выраженное в кодах АЦП; X_а – значение аналогового сигнала, поступающего на вход АЦП на каждом такте опроса измерительного канала; q – шаг аналого-цифрового преобразователя; E(entier) – целая часть числа, заключенного в скобки.

Заметим, что погрешность от квантования аналогового сигнала по уровню не превышает 0,5 от его текущего значения.

Выходной сигнал в цифро-аналоговом преобразователе контроллера преобразуется в аналоговую (цифро-аналоговую) или импульсную (цифро-импульсную) форму. Аналоговые сигналы (0-5, 4-20 mA и др.) обычно поступают для регистрации на вторичные приборы или электропневмопреобразователи, на пневматические исполнительные механизмы регулирующих органов. Импульсные сигналы используются для управления электрическими исполнительными механизмами постоянной скорости. У них в качестве привода применяются электродвигатели, а интенсивность управляющих воздействий (при постоянной скорости вращения вала электродвигателя) определяется изменяющейся скважностью импульсов в блоках выдачи управляющих сигналов контроллеров.

Алгоритмическое обеспечение управления процессом в реальном времени с использованием управляющего компьютера.

Алгоритмическое обеспечение – совокупность взаимосвязанных алгоритмов. Часть вопросов, близких к данной теме рассмотрены в лекции №2. Множество алгоритмов АСУТП делятся на 6 групп:

1. алгоритмы первичной обработки информации (фильтрация, учет нелинейности характеристики);

2. алгоритмы определения показателей процесса (алгоритмы вторичной обработки информации), определение интегральных и средних значений, скорости, прогнозирования и т.д.;

3. алгоритмы контроля;

4. алгоритмы цифрового регулирования и оптимального управления;

5. алгоритмы логического управления;

6. алгоритмы расчета технико-экономических показателей.

Рассмотрим алгоритмы проверки достоверности информации, применяемые в цифровых системах управления. Недостоверность информации появляется при отказах информационно-измерительных каналов. Отказы бывают двух видов: полные и частичные. Полный отказ наступает при выходе из строя измерительного преобразователя, или при повреждении линии связи. При частичном отказе технические средства сохраняют работоспособность, однако погрешность измерения превышает допустимое значение.

Алгоритмы, позволяющие обнаруживать полные отказы:

1) алгоритм допускового контроля параметра: проверка условия - X_i^min ≤ X_i ≤ X_i^max

X_i^min – минимально возможное значение i-го параметра;

X_i^max – максимально возможное значение i-го параметра.

Если условие не выполняется, то информация недостоверная. В этом случае используют достоверную информацию, полученную в предшествующий момент времени, либо используют среднее значение i-го параметра.

2) Алгоритм основан на определении скорости изменения i-го параметра и проверки условия:

A ≤ Xi ≤ B

Х_i=dX_i(t)/dt

dX_i(t)/dt=(X_i(k)-X_i(k-1))/T₀, где T – период опроса, T=dt

3) Алгоритм аппаратного резервирования – алгоритм контроля информации, с помощью которого выявляются частичные отказы, основанные на использовании информационной избыточности. Избыточность может быть получена путем резервирования информационно – измерительных каналов (аппаратная избыточность), или путем определения некоторых параметров с помощью прямого измерения, так и путем расчетов через другие параметры.

Аппаратная избыточность – признак отказа, нарушение условия - | X_i - Xср| < C , где

Хср­ – это среднее значение по всем измерительным преобразованием;

X_i – значение, полученное от i измерительного преобразования;

С – наибольшее допустимое значение модуля разности (2-3 от средне квадратичной погрешности изменения преобразования).

4) Уравнение материального баланса имеет вид: f(x₁, x₂, ….x_n)=0. Уравнение выполняется лишь в том случае, если значения параметров x₁, x₂, ….x_n соответствуют истинным значениям. Если параметры изменяются с погрешностью , имеем. При подстановке значений, получим:

. (9.5)

Если , то информация считается недостоверной.

Алгоритмы учёта динамических связей между параметрами. Наличие инерционного датчика может существенно исказить частотный состав измеряемого сигнала, например, при измерении температуры в печах применяют массивные чехлы для защиты термопар от механических повреждений, что вызывает значительную динамическую погрешность.

Если принять статический коэффициент передачи инерционного датчика равный единице, то есть при, то необходимо учитывать следующую связь:, т.е. в текущий момент времени на выходе датчика формируется сигнал несущий информацию о значении параметра в предшествующий момент времени, т.е. в момент времени.

Алгоритмы вторичной обработки информации. К основным операциям вторичной обработки относят:

• определение интегральных и средних значений величин и показателей;

• определение скорости изменения величины и показателей;

• определение величин и показателей, неизмеряемых прямым методом (косвенное измерение);

• прогнозирование значений величин;

• определение статических характеристик, величин и показателей.

Применяются для управления и анализа работы. Большое значение имеет определение суммарных количеств вещества или энергии, получаемых в производстве за определенный интервал времени. Примерами являются расходы электроэнергии, топлива за час, смену, сутки и так далее. Этим же целям служит определение средних значений измеряемых величин, являющихся режимными показателями (среднее время, среднее давление и т.д.)

Рассмотрим методы дискретного интегрирования, непрерывно изменяющейся во времени измеряемой величины. Далее приведены численные методы интегрирования.

Метод прямоугольников (см. рисунок 9.17). Суть метода состоит в замене реализации x(t) её ступенчатой экстраполяцией за время t.

, (9.6)

, где - период опроса датчика.

Рисунок 9.17 - Метод прямоугольников

В представленном виде алгоритм интегрирования используется редко, для его реализации требуется запоминать все значения . На практике используется рекуррентная формула:

, . (9.7)

Метод трапеций (см. рисунок 9.18). Более точным является метод трапеции. Рекуррентная формула:

. (9.8)

Погрешность метода трапеции меньше погрешности метода прямоугольников на величину:

.

Рисунок 9.18 - Метод трапеций

Как показывают расчеты приблизительно на 10% уменьшается погрешность дискретного интегрирования при переходе от метода прямоугольника к методу трапеции при n>10, когда существеннее влияние на результат расчета оказывают кратные числа, следовательно, на практике в большинстве случаев используют метод прямоугольников, как более простой и экономичный.

Среднее значение определяется через интегральное:

, где

- время интегрирования.

Дифференцирование дискретно – измеряемых величин. Для анализа хода технологического процесса весьма важным является определение не только численных значений параметров, но и тенденция их применения в текущий момент времени (увеличивается параметр или уменьшается). В этом случаи необходимо определять скорость изменения параметра, то есть осуществлять дифференцирование.

Производная от ошибки необходимо определять и при реализации регулятора, например с ПД, ПИД звеньями.

Наиболее простой алгоритм дискретного дифференцирования основан на использовании следующей функции: , где Т₀ – период опроса датчика.

Алгоритмы прогнозирования значений величин и показателей. Для расчета прогнозируемых значения необходимо построить математическую модель временного ряда. В практике краткосрочного прогнозирования наибольшее распространение получили модель авторегрессии и полиномиальная модель. Модель авторегрессии имеет вид:

, (9.9)

где а – коэффициенты, р – порядок. Расчет прогнозируемых значений проводится по формуле:

, (9.10)

где - измеренные или прогнозируемые значения временного ряда в моменты времени t=(n-k+l)To.

Данный алгоритм прост в реализации, но его недостатком является низкая точность, так как результаты а(к) не уточняются по результатам прогноза. Этого недостатка лишен метод полиномиальной модели:

, (9.11)

где n - номер текущего шага, l - число шагов прогноза.

Оценка параметров этой модели а уточняется по мере поступления каждого нового значения временного ряда. Для этих целей используется экспоненциальные средние различного порядка.

1 порядка: Z₁(j)=γy(j)+(1-γ)Z₁(j-1)

2 порядка: Z₂(j)=γZ₁(j)+(1-γ)Z₂(j-2)

… …

r порядка : Z_N(j)=γZ_r-1(j)+(1-γ)Z_r(j-1), где - параметр настройки прогнозирования.

Выбор данного параметра основывается на следующих свойствах: если желательно чтобы прогноз базировался на последних значениях временного ряда, то следует выбирать значение , близкое к 1. Если необходимо учитывать и предыдущие значения временного ряда, тонеобходимо уменьшать.

Расчет коэффициентов осуществляется по формуле для модели 1 порядка:

(9.12)

Расчет коэффициентов осуществляется по формуле для модели 2 порядка:

(9.13)

Коэффициенты в полиномиальном законе рассчитываются через модели 1 и 2 порядка; модели высшего порядка применяются редко, т.к. качество прогноза растет незначительно.

Определение статистических показателей измеряемых величин. Знание статистических характеристик необходимо для оценки качества выпускаемой продукции и определения момента нарушения хода ТП. В этом случае меняются значения статистических характеристик измеряемых величин. Особенностью определения lfyys[ характеристик является использование рекуррентных формул.

Математическое ожидание (1 – не рекуррентная формула, 2 – рекуррентная формула)

(9.14 – 9.15)

Дисперсия (1 – не рекуррентная формула, 2 – рекуррентная формула)

(9.16 – 9.17)

Определение периода опроса датчиков измеряемых величин. Период опроса существенно влияет на точность контроля. Рассмотрим способ определения периода опроса, основанный на определении автокорреляционной функции.

Пусть задана среднеквадратичная погрешность . Определение величины x(t). Требуется найти интервал времени T₀ между замерами, при которых погрешность определение величины не превышало бы заданного значения. Методика основана на зависимости ошибки и автокорреляционной функции:

, (9.18)

где

- автокорреляционная функция.

, (9.19)

где

n - объем выборки, по которой определяется автокорреляционная функция.

, .

Сущность методики состоит в следующем:

1. Осуществляется съем данных с произвольным периодом опроса T₀ (как можно меньше). Число точек опроса: 30-50. Полученные данные заносятся в таблицу:

№	Время	Значение x	Отклонение за время
			T0		2T0		3T0
0	0	x0	-	-	-	-	-	-
1	T0	x1			-	-	-	-
2	2T0	x2					-	-
3	3T0	x3
…	…	…	…	…	…	…	…	…
n	n T0	xn
Значение ошибки

; ,,

где i – номер строки таблицы, k – номер столбца.

.

2. Строится график зависимости ошибки от периода опроса.

3. По значению по графику определяется значение.

Значение периодов опроса датчиков, используемых на практике.

• Расход: 0.1 – 2с.

• Уровень: ≈5с.

• Давление: 0.5 – 10с.

• Температура: 5 – 30с.

• Концентрация: ≈20с.

Выбор такта управления (периода опроса- Т₀) в цифровых системах. Выбор такта управления является весьма важным этапом синтеза цифровой системы управления, т.к. от его значения существенно зависит качество системы управления. Чем меньше такт управления, тем выше качество САУ. Однако при очень малых тактах дальнейшее улучшение качества достигается лишь при существенном возрастании вычисленных затрат при управлении.

Выбор такта производится не только исходя из условий достижения требуемого качества. При этом учитываются следующие факторы:

• динамика объекта управления (ОУ);

• спектр возмущающих воздействий;

• динамика исполнительного устройства (ИУ);

• вычислительные затраты.

Динамика ОУ характеризуется постоянной времени объекта (ОУ). Для обеспечения эффективности управляющих воздействий принимают:

А) Т0=(0.11)Т, где Т – доминирующая постоянная времени ОУ, либо

Б) Т0=(615)tnn, где tnn – время переходного процесса;

В) Если выбор Т₀ осуществляется с учетом частотных свойств ОУ, то

Т₀<,

где - граничная частота пропускания сигнала ОУ. Эта частота выбирается из условия: F(ωT)=0.10.01

Рассматривается зависимость T₀ от спектра возмущающих воздействий. Если возмущающее воздействие вплоть до частоты ω MAX необходимо отработать, то такт управления выбирается из условия Т₀< , что соответствует приведенной выше теореме Котельникова- Шеннона.

3) Необходимость учета динамики ИУ обусловлена следующим обстоятельством: если исполнительное устройство обладает значительной инерционностью, то не следует выбирать слишком маленький Т₀, т.к. может оказаться, что предыдущий сигнал управления может оказаться неотработанным к моменту прихода следующего сигнала.

4) Для минимизации вычислительных затрат или стоимости каждого контура управления, такт управления следует выбирать как можно больше, но не стоит забывать что от него зависит качество системы управления.

Основная литература

1. Изерман Р. Цифровые системы управления. -М.: Мир, 1984.-541с

2. Автоматическое управление в химической промышленности: Учебник ВУЗов./Под ред. Е.Г.Дудникова. - ML: Химия, 1987. 168 с, ил.

3. Голубятников В.А., Шувалов В.В. Автоматизация производственных процессов в химической промышленности. - 2-е изд. перераб. и доп. -М.: Химия, 1985. -352с. .Шувалов В.В .и др. Автоматизация производственных процессов в химической промышленности.-3-е изд. перераб. и доп. -М.: Химия, 1991, -478с.

4. Г.Олсон, Д.Пиани, Цифровые системы автоматизации и управления.- СПб.: Невский диалект, 2001. -557с.

Дополнительная литература

5. Автоматизация технологически процессов пищевых производств». Под редакцией профессора Е.Б. Карпина. – М. «Пищевая промышленность» 1997г

6. Плютто В.П. Практикум по теории автоматического управления химико - технологическими процессами. Цифровые системы. -М.: Химия, 1989, -168с.

7. An Introduction to Intelligent and Autonomous Control. Edited by Panos J. Antsaklis and Kevin M. Passino. Kluwer Academic Publishers, 1999, 427 pages