Kon_lin_an3
.pdfЭтот вектор yM называется ортогональной проекцией вектора x на подпространство H.
Пусть M подпространство в H. Легко видеть, что множество
M? = fx 2 H: (x; y) = 0 для любого y 2 Mg
тоже является в подпространством в H.
Определение 1.3.4. Подпространство M? называется ортогональным дополнением к подпространству M.
Замечание 1.3.5. Если N подпространство H, такое, что N M?, то прямую сумму подпространств M и N обозначают
M+N = M N
и называют ортогональной суммой подпространств M и N.
Теорема 1.3.6. Если M подпространство в H, то
M?? = (M?)? = M
и H = M M?:
Доказательство. Пусть fe1; : : : ; emg ортонормированный базис в M и
z 2 H. Если x = Pmi=1(z; ei)ei, то x 2 M и, в силу утверждения 1.2.5, y = z x ? M. Следовательно, z = x + y, где x 2 M, y 2 M?.
Очевидно, M \ M? = f0g. Далее,
(z; x) = (x + y; x) = (x; x) = kxk2; (z; y) = (x + y; y) = (y; y) = kyk2:
Поэтому, если z 2 M??, то (z; y) = 0, откуда y = 0 и потому z = x + y = x 2 M. Так как, очевидно, M M??, то M?? = M.
Упражнение 1.3.7. Пусть M и N подпространства в H. Тогда
(i)(M + N)? = M? \ N?;
(ii)(M \ N)? = M? + N?;
(iii)dim M + dim M? = dim H.
Обозначим через H векторное пространство, сопряженное к H, т.е. пространство всех линейных функционалов на H.
21
Определение 1.3.8. Взаимно однозначное отображение
: H 7!H
называется сопряженным изоморфизмом, если
(i) (x + y) = (x) + (y), x, y 2 H;
(ii) ( x) = (x), x 2 H, 2 C.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1.3.9 (теорема Рисса). Отображение
H 3 y ! fy 2 H ;
определяемое равенством
(y)(x) = fy(x) = (x; y)
для любого x 2 H, является сопряженным изоморфизмом.
Доказательство. 1). Пусть y 2 H и fy(x) = (x; y). Тогда
fy(x1 + x2) = (x1 + x2; y) = (x1; y) + (x2; y) = fy(x1) + fy(x2); fy( x) = ( x; y) = (x; y) = fy(x):
Поэтому fy линейный функционал на H.
2). Пусть f 2 H . Покажем, что тогда существует такой вектор y 2 H, что f(x) = fy(x) = (x; y) для любого x 2 H.
Если f = 0, то достаточно положить y = 0.
Если f 6= 0, то рассмотрим линейное подпространство
M = Ker f = fx 2 H : f(x) = 0g:
Выберем некоторый вектор z 2 M?, kzk = 1, и положим
y = f(z)z:
Ясно, что y 2 M? и
(z; y) = (z; f(z)z) = f(z)(z; z) = f(z):
Если x 2 M, то
(x; y) = (x; f(z)z) = 0 = f(x):
22
Для любого x 2 H положим:
f(x) z0 = x f(z) z:
Так как
f(x)
f(z0) = f(x) f(z) f(z) = 0;
то z0 2 M. Тогда
f(x) x = z0 + f(z) z
и
|
f(x) |
|
f(x) |
|
f(x) |
||
(x; y) = (z0 + |
|
z; y) = (z0 |
; y) + |
|
(z; y) = 0 + |
|
f(z) = f(x): |
f(z) |
f(z) |
f(z) |
3). Покажем, что для любого f 2 H существует единственный y 2 H, что f(x) = (x; y) для любого x 2 H. Действительно, если y1, y2 такие элементы, что
f(x) = (x; y1) = (x; y2)
то (x; y1 y2) для любого x 2 H. Но тогда y1 = y2. 4). Осталось заметить, что
( y)(x) = (x; y) = (x; y) = (y)(x);
то есть f y = fy.
Замечание 1.3.10. В пространстве H можно ввести скалярное произведение
(fy1 ; fy2 ) = (y1; y2);
которое превращает H в гильбертово пространство.
1.4Системы векторов, матрицы Грама
1.4.1Определитель Грама и его основные свойства
Пусть fx1; : : : ; xmg система векторов n-мерного гильбертова пространства H.
23
Определение 1.4.1. Матрица |
|
|
[ (x1; : : : ; xm)] = |
0(x1;...x1) :.:.:. |
(x1;...xm) 1 |
|
B(xm; x1) : : : (xm; xm)C |
|
|
@ |
A |
называется матрицей Грама системы векторов fx1; : : : ; xmg, а ее определитель j (x1; : : : ; xm)j определителем Грама.
Теорема 1.4.2. Для того, чтобы система векторов fx1; : : : ; xmg n-мер- ного гильбертова пространства H была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы определитель Грама j (x1; : : : ; xm)j этой системы векторов был равен нулю.
Доказательство. Пусть векторы fx1; : : : ; xmg линейно зависимы. Тогда существую такие не равные одновременно нулю числа f 1; : : : ; mg, что
1x1 + + mxm = 0:
Умножая последовательно обе части этого равенства слева скалярно, соответственно на x1, . . . , xm, получим:
8 |
(x1; x1) 1 + + (x1; xm) m = 0; |
(1.4) |
||
<(xm; x1) 1 + + (xm; xm) m = 0: |
|
|||
: |
|
|
|
|
Рассматривая числа f 1 |
; : : : ; mg как ненулевое решение системы однород- |
ных линейных уравнений с определителем
(x1; x1)
j (x1; : : : ; xm)j = ...
(xm; x1)
: : : (x1; xm)
... ... ;
: : : (xm; xm)
получаем, что определитель Грама j (x1; : : : ; xm)j = 0.
Обратно, пусть определитель Грама j (x1; : : : ; xm)j = 0. Тогда систе-
|
|
|
|
ма уравнений (1.4) имеет ненулевое решение f 1; : : : ; mg. Систему (1.4) |
|||
можно переписать в виде |
|
|
|
8 |
(x1; 1x1 + + mxm) = 0; |
(1.5) |
|
<(xm; |
1x1 + + mxm) = 0: |
|
|
: |
|
|
|
24
Умножая почленно эти равенства соответственно на 1, . . . , m и складывая, получим:
( 1x1 + + mxm; 1x1 + + mxm) = 0:
Значит,
k 1x1 + + mxmk = 0;
откуда 1x1 + + mxm = 0. Следовательно, векторы fx1, . . . , xmg линейно зависимы.
Утверждение 1.4.3. Любая матрица Грама обладает следующими свойствами.
(i)Матрица Грама [ ] = [ (x1; : : : ; xm)] = ( ij)mi;j=1 эрмитово симметрична, т.е. ji = ij, i, j = 1, . . . , m.
(ii)Матрица Грама [ (x1; : : : ; xm)] = ( ij)mi;j=1 неотрицательно опреде-
лена, т.е.
mm
XX
ij i j > 0
i=1 j=1
для любого вектора y = f 1; : : : ; mg 2 Cm.
(iii)Если некоторый главный минор определителя Грама j (x1; : : : ; xm)j равен нулю, то равен нулю и сам определитель Грама.
Доказательство. (i). Так как ij = (xi; xj), то
ji = (xj; xi) = (xi; xj) = ij:
(ii). Рассмотрим вектор
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
x = |
ixi: |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
m |
m |
|
m m |
|
|
m m |
|
|
X |
|
|
XX |
|
||
Xi |
XX |
|
|
||||
0 (x; x) = |
ixi; |
jxj = |
|
i j(xi; xj) = |
|
|
i j ij: |
=1 |
j=1 |
i=1 j=1 |
|
i=1 j=1 |
|
||
Следовательно, матрица Грама [ (x1 |
; : : : ; xm)] = ( ij)m |
|
неотрицательно |
||||
|
|
|
|
i;j=1 |
|
|
определена.
(iii). Главный минор определителя Грама является определителем Грама для части векторов системы fx1; : : : ; xmg. Поэтому если он равен нулю, то эта подсистема векторов линейно зависима. Но тогда линейно зависима и вся система fx1; : : : ; xmg. Следовательно, j (x1; x : : : ; xm)j = 0:
25
Замечание 1.4.4. Если система векторов fx1; : : : ; xmg ортонормированная, то определитель Грама j (x1; : : : ; xm)j = 1.
1.4.2Ортогональное проектирование на подпространство
Рассмотрим в n-мерном гильбертовом пространстве H m-мерное подпространство M и вектор x, не принадлежащий M. Как следует из утверждения 1.2.5, вектор x можно представить в виде суммы
x = xM + xN;
где вектор xM 2 M, а вектор xN 2 M?. Так как H = M M? (см. теорему 1.3.6), то такое разложение единственное. Построим векторы xM и xN с помощью определителя Грама.
Пусть fx1; : : : ; xmg базис подпространства M. Тогда определитель Грама j (x1; : : : ; xm)j =6 0. Будем искать вектор xM 2 M в виде:
xM = 1x1 + + mxm;
где f 1; : : : ; mg некоторые комплексные числа. Для определения этих чисел будем исходить из соотношений:
(xN; xi) = (x xM; xi) = 0; i = 1; : : : ; m:
Получим систему уравнений:
8
> (x1; x1) 1 + + (xm; x1) m + (x; x1)( 1) = 0;
>
< : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
>(x1; xm) 1 + + (xm; xm) m + (x; xm)( 1) = 0;
>
:x1 1 + + xm m + xM( 1) = 0:
Рассматривая эту систему равенств как систему линейных однородных уравнений, имеющую ненулевое решение
f 1; : : : ; m; 1g;
получим, что определитель матрицы коэффициентов этой системы равен нулю, т.е.
|
(x1;...x1) :.:.:. |
(xm...; x1) (x;...x1) |
|
= 0; |
||
|
|
|
|
|
|
|
(x1; xm) : : : |
(xm; xm) (x; xm) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
: : : |
xm |
xM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
а значит и определитель транспонированной матрицы равен нулю:
|
|
(x1;...x1) |
:.:.:. |
(x1;...xm) |
x...1 |
|
= 0: |
|
|
|
: : : |
(xm; xm) xm |
|
||
|
(xm; x1) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x; x1) |
: : : |
(x; xm) |
xM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x1;...x1) :.:.:. |
(x1;...xm) x...1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xm; x1) : : : |
(xm; xm) xm |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x; x1) : : : (x; xm) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xM = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x1; x1) : : : |
(x1; xm) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
... |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(xm; x1) : : : |
(xm; xm) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xm |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x; x1) : : : |
(x; xm) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xM |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(x1 |
; : : : ; xm) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Наконец, находим вектор xN: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x...1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xm |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x; x1) : : : |
(x; xm) |
x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xN = x |
|
|
|
xM |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
j |
(x1; : : : ; xm) |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислим длину вектора xN = x xM: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
kxN k2 = (xN ; xN ) = (xN ; x xM) = (xN ; x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x1...; x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xm; x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x; x1) : : : |
|
|
(x; xm) |
|
(x; x) |
|
|
|
(x1 |
; : : : ; xm; x) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
: |
|
|
|
|
j |
(x1 |
; : : : ; xm) |
j |
|
|
|
|
j |
(x1; : : : ; xm) |
j |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
Определение 1.4.5. Вектор xM называется ортогональной проекцией
вектора x на подпространство M, а вектор xN проектирующим вектором.
Замечание 1.4.6. Длина вектора xN имеет следующую геометрическую интерпретацию. Если на векторах fx1; : : : ; xm; xg построить (m + 1)-мерный параллелепипед, то kxN k будет равна длине высоты этого параллелепипеда, опущенной из конца вектора x на m-мерное основание M.
Утверждение 1.4.7. Если y произвольный вектор подпространства M, отличный от xM, то
kx yk > kx xMk
Доказательство. Так как y, xM 2 M, то xM y 2 M, и следовательно,
(xM y; xN ) = (xM y; x xM) = 0:
Поэтому
kx yk2 = k[x xM] + [xM y]k2 =
=([x xM] + [xM y]; [x xM] + [xM y]) =
=(x xM; x xM) + (xM y; xM y) =
=kx xMk2 + kxM yk2 > kx xMk2;
так как xM 6= y. Следовательно,
kx yk > kx xMk:
Замечание 1.4.8. В приведенных выше рассуждениях не требовалось ортонормированности базиса fx1; : : : ; xmg подпространства M. В случае ортонормированного базиса результаты сравнимы с с теоремой 1.3.2.
28
Глава 2
Линейные операторы в H и их матрицы
2.1Линейные операторы в H
2.1.1Линейные операторы в H
Пусть H гильбертово пространство.
Определение 2.1.1. Отображение A: H ! H называется линейным оператором, если
A( x + y) = Ax + Ay:
для любых x, y 2 H, , 2 C.
Обозначим через B(H) множество всех линейных операторов в гильбертовом пространстве H. В B(H) определены следующие алгебраические операции:
(A + B)x = Ax + Bx; A; B 2 B(H); x 2 H; ( A)x = Ax; A 2 B(H); 2 C; x 2 H; (AB)x = A(Bx); A; B 2 B(H); x 2 H:
Относительно введенных операций B(H) является алгеброй с единицей. Роль единицы в B(H) играет тождественный оператор I:
Ix = x; |
x 2 H; |
а роль нуля нулевой оператор: |
|
0x = 0; |
x 2 H: |
29
Заметим, что если dim H > 1, то алгебра B(H) некоммутативная, так как в общем случае AB 6= BA. Операторы A и B из B(H) называются
коммутирующими, если AB = BA. Оператор
[A; B] = AB BA
называется коммутатором операторов A и B.
Степень оператора A 2 B(H) определяется обычным образом:
A0 = I; A1 = A; A2 = AA; : : : ; Ak+1 = AkA:
Легко видеть, что для любых натуральных m, n
Am+n = AmAn:
Если A 2 B(H), то для любого многочлена
p(z) = 0 + 1z + 2z2 + + kzk 2 P[C]
определен оператор
p(A) = 0I + 1A + 2A2 + + kAk 2 B(H):
Упражнение 2.1.2. Пусть A; B 2 B(H). Если [A; B] = 0, то для любых многочленов p(z), q(z) 2 P[C] имеет место:
[p(A); q(B)] = 0:
Утверждение 2.1.3 (Поляризационное тождество). Для любого оператора A 2 B(H) и для любых x, y 2 H имеет место тождество:
(Ax; y) = 14 [(A(x + y); x + y) (A(x y); x y)]+
+ i[(A(x + iy); x + iy) (A(x iy); x iy)] :
Доказательство.
(A(x + y); x + y) = (Ax; x) + (Ay; x) + (Ax; y) + (Ay; y);
(A(x y); x y) = (Ax; x) (Ay; x) (Ax; y) + (Ay; y);
(A(x + iy); x + iy) = (Ax; x) + i(Ay; x) i(Ax; y) + (Ay; y);
(A(x iy); x iy) = (Ax; x) i(Ay; x) + i(Ax; y) + (Ay; y):
30