Kon_lin_an3

коммутативно.

Покажем сначала, что каждое из семейств fPkg1k=1 и fQkg1k=1, k = 1, 2, . . . коммутативно. Для этого достаточно, в силу утверждения 3.2.5(iii), показать, что

PkPl = Pl; QkQl = Ql для k < l:

Действительно, пусть k < l. Тогда

PkPl = PkV l(V )l = PkV kV l k(V )l:

Поскольку Pk проектор на образ V k, т.е. Pk = V k(V )k и V k частичная изометрия, то PkV k = V k(V )V k = V k. Поэтому,

PkPl = V kV l k(V )l = Pl:

Следовательно, PkPl = PlPk для любых k; l = 1, 2, . . . . Для ортопроекторов fQkg1k=1 коммутативность доказывается аналогично.

Покажем теперь, что

PkQl = QlPk; k; l = 1; 2; : : : :

Имеем:

Qk+l = (V )k+lV k+l = (V )kQlV k:

Так как Qk+l ортопроектор, то Qk+l = Q2k+l, поэтому

(V )kQlV k = (V )kQlV k(V )kQlV k = (V )kQlPkQlV k:

Умножая это равенство на V k слева и на (V )k справа, получим:

PkQlPk = PkQlPkQlPk = (PkQlPk)2;

что согласно утверждению 3.5.5 возможно тогда и только тогда, когда ортопроекторы Pk и Ql коммутируют.

6.3.3Критерий центрированности

Класс центрированных операторов может быть определен в других терминах. А именно, пусть степени оператора B имеют полярные разложения

Bk = VkCk; k = 1; 2; : : : ;

141

где Vk частично изометрические, а Ck неотрицательные операторы. Ниже мы покажем, что оператор B является центрированным тогда и только тогда, когда изометрические компоненты Vk в полярном разложе-

нии Bk = VkCk образуют полугруппу:

VkVl = Vk+l k; l = 1; 2 : : : ;

т.е. имеем Vk = V k, где V1 = V .

В следующей теореме приведен критерий центрированности оператора.

Теорема 6.3.7. Пусть B = V C полярное разложение оператора B. Оператор B является центрированным тогда и только тогда, когда для любого k = 1; 2; : : : полярное разложение оператора Bk имеет вид

Bk = V kCk;

где Ck неотрицательные операторы.

Доказательство. Пусть оператор B = V C центрирован. Так как оператор C неотрицателен и

(V CV )2 = (V CV )(V CV ) = (V C)(CV ) = BB ;

то оператор V CV является (однозначно определенным) неотрицательным квадратным корнем из оператора BB . Поскольку оператор B центрирован, то BBp коммутирует с B B, и следовательно, операторы V CV и C = jBj = B B коммутируют как функции от коммутирующих операторов (см. упражнение 3.7.14). Кроме того, согласно свойствам полярного разложения (замечание 6.2.4)

C = V V C = CV V:

Поэтому

B2 = V CV C = (V CV )C = (V CV )(CV V ) = V (C)(V CV )V = = V (V CV )CV = V 2(CV CV ):

Покажем, что оператор CV CV является модулем оператора B2. Действительно, этот оператор самосопряжен:

CV CV = (V V )CV CV = V (V CV )(C)V = V C(V CV )V = = V CV C = (CV CV ) :

142

Более того, поскольку операторы V CV и C являются коммутирующими неотрицательными операторами, то их произведение также является неотрицательным оператором (теорема 3.7.11(iii)), а следовательно

V C(V CV )V = CV CV

также неотрицателен. Снова пользуясь равенствами C = V V C = CV V и коммутацией V CV и C, находим, что квадрат этого оператора равен

(CV CV )(CV CV ) = CV C(V CV )(C)V = CV C2(V CV )V = = CV C2V C = CV CV V CV C = (B )2B2:

Следовательно, C2 = CV CV . Покажем, что Ker B2 = Ker V 2 = Ker C2. То, что Ker B2 = Ker C2 следует из только что установленного равенства (B )2B2 = C22. Покажем, что Ker B2 = Ker V 2. Для произвольного вектора f имеем: f 2 Ker B2 тогда и только тогда, когда Bf 2 Ker B, или CBf = 0, поскольку Ker B = Ker C. Последнее условие эквивалентно

0 = CV Cf = CV CV V f = V CV CV f = BV CV f;

которое, в силу равенства Ker B = Ker V = Ker C в свою в свою очередь эквивалентно 0 = V V CV f = CV f или V 2f = 0.

Таким образом, мы показали, что полярное разложение оператора B2 имеет вид B2 = V 2C2.

Аналогично по индукции получим

Bn = BBn 1 = V CV n 1Cn 1 = V nCn 1(V )n 1CV n 1;

где

Cn = Cn 1(V )n 1CV n 1 = (V )n 1CV n 1Cn 1

неотрицательный самосопряженный оператор, квадрат которого равен

(B )nBn, и Ker Bn = Ker Cn = Ker V n.

Обратно, пусть для всех n = 1, 2, . . . полярное разложение Bn имеет вид Bn = V nCn. Тогда V n частичные изометрии. Как было показано в лемме 6.3.6, порожденная ими полугруппа автоматически является центрированной. Из соотношения BlBk = Bl+k имеем

143

Поскольку оператор Ck+l самосопряжен, переходя в последнем равенстве к сопряженным операторам, получим

т.е. операторы Vl CkVl та Cl коммутируют. Тогда для k > l согласно (6.2) и (6.3) имеем

Переходя к сопряженным операторам, поскольку правая часть самосопряжена, получим, что операторы Ck и V lCl(V )l коммутируют, или

[(B )kBk; Bl(B )l] = 0:

Наконец, применяя (6.4), для k > l имеем

VlCl(V )lV kCk(V )k = V lClV k lCk(V )k =

=V lCl(V k lC(k l)+l(V )k l)(V )l =

=V lCl(V k lCk l(V )k lCl)(V )l =

=V l(ClV k lCk l(V )k l)Cl(V )l =

=V lV k lCk(V )k lCl(V )l = V kCk(V )kV lCl(V )l;

что приводит к [Bl(B )l; Bk(B )k] = 0. Таким образом, оператор B центрирован.

Следствие 6.3.8. Оператор V в полярном разложении B = V C центрированного оператора B является центрированной частичной изометрией.

Доказательство. По предыдущей лемме (V )nV n является проектором на

коядро оператора Bn, а V n(V )n является проектором на коядро оператора

(B )n.

Замечание 6.3.9. Если Ck также полугруппа, Ck = Ck то Ck коммутирует с Vk, и Bk является полугруппой нормальных операторов. Наоборот, если T k полугруппа нормальных операторов, то Bk центрирована, причем Vk и Ck являются полугруппами.

144

6.4Треугольные представления линейного оператора

Теорема 6.4.1 (Теорема Шура). Пусть A 2 B(H), [A] 2 Mn(C) матрица оператора A в некотором ортонормированном базисе fe1; : : : ; eng и f 1; : : : ; ng точки его спектра с учетом алгебраической кратности (корни характеристического полинома). Тогда существует такая унитарный оператор U 2 U(H), что матрица оператора U AU имеет треугольный вид:

[U AU] = [T ] = (tij)ni;j=1; tii = i; tij = 0 при i > j; i; j = 1; : : : ; n:

Доказательство. Проведем доказательство методом математический индукции по порядку матрицы [A].

Для n = 1 теорема очевидна.

Допустим, что она верна для матриц, порядок которых меньше n. Пусть теперь матрица [A] 2 Mn(C). Выберем какой-либо нормированный собственный вектор x1 оператора A, отвечающий собственному значению1 (такой вектор всегда существует, см. I(L).4.2.3):

Ax1 = 1x1; kx1k = 1:

Дополним вектор x1 произвольным образом до некоторого ортонормированного базиса x1; : : : ; xn и рассмотрим унитарный оператор V , отображающий ортонормированный базис e1; : : : ; en в ортонормированный базис x1; : : : ; xn. Пусть

145

Таким образом,

где [B] матрица порядка (n 1), имеющая корнями характеристического полинома числа 2, . . . , n (см. I(L).5.1.2). По предположению индукции, существует унитарная матрица [W1] порядка (n 1) такая, что

146

Ортонормированный базис fe1; : : : ; eng гильбертова пространства H

называется базисом треугольного представления оператора A или базисом Шура, а само представление [T ] треугольной формой Шура матрицы линейного оператора A или представлением Шура.

Замечание 6.4.2. Треугольное представление матрицы линейного оператора вообще говоря, не единственно.

Упражнение 6.4.3. Показать, что матрицы

унитарно эквивалентны.

Замечание 6.4.4. В случае нормального (самосопряженного, унитарного) оператора базис Шура является собственным базисом и треугольная форма Шура совпадает с каноническим диагональным представлением, которое дается спектральной теоремой.

Теорема 6.4.5 (Неравенство Шура). Пусть A 2 B(H), [A] = ( ij)ni:j=1

матрица оператора A в некотором ортонормированном базисе fe1;:::; eng и f 1; : : : ; ng точки его спектра с учетом алгебраической кратности. Тогда

nn

XX

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда оператор A нормальный.

Доказательство. Пусть U такой унитарный оператор, что

Тогда

T T = (U AU)(U AU) = (U AU)(U A U) = U AA U:

Следовательно,

tr[T T ] = tr[U AA U] = tr[AA ]

147

Но

Поэтому

nn

Пусть в некотором ортонормированном базисе fe1; : : : ; eng матрицы операторов A, A1 и A2 равны соответственно

[A] = ( kj)ni;j=1; [A1] = ( kj)ni;j=1; [A2] = ( kj)ni;j=1; kj = kj + i kj:

Утверждение 6.4.6. Пусть A 2 B(H) и f 1; : : : ; ng точки его спектра с учетом алгебраической кратности.. Тогда имеют место неравенства:

Доказательство. Пусть, как и в доказательстве теоремы 6.4.5, U такой унитарный оператор, что

148

Тогда

и

XX

Из утверждения 6.4.6 непосредственно следует такой факт.

Следствие 6.4.7 (Неравенства Гирша-Бендиксона). Пусть A 2 B(H) и f 1; : : : ; ng точки его спектра с учетом алгебраической кратности. Тогда для любого m = 1, . . . , n имеют место неравенства:

j mj n max j kjj;

k;j=1;n

j Re( m)j n max j kjj;

k;j=1;n

j Im( m)j n max j kjj:

k;j=1;n

149

Доказательство. Данные неравенства следуют из неравенств

nn

XX

j kj2 6 j kij2 n2 max j kjj2;

k;j=1;n

k=1 i;k=1

XX

XX

Упражнение 6.4.8. Показать, что если [A] вещественная матрица, то для любого m = 1, . . . , n имеют место неравенства:

6.5Сингулярные числа линейного оператора

6.5.1Определение и свойства s-чисел

Пусть оператор A 2 B(H) и A = V jAj его полярное разложение, где Vчастично изометрический оператор, а jAj = (A A)1=2 2 Bh(H).

Определение 6.5.1. Собственные значения оператора jAj называются s- числами или сингулярными числами оператора A.

Замечание 6.5.2. Так как оператор jAj неотрицательный, то (jAj) лежит на полуоси [0; +1) и поэтому его собственные значения можно нумеровать в порядке их убывания с учетом кратности. Обозначая эти собственные значения через 1(jAj), . . . , n(jAj), а s-числа оператора A через s1(A), . . . , sn(A),получим, что

sk(A) = k(jAj); k = 1; : : : ; n;

и s1(A) sn(A) 0:

Упражнение 6.5.3. Показать, что

s1(A) = kAk;

Если A нормальный оператор, то sk(A) = j k(A)j, k = 1, . . . , n;

150