golunova_l_v_matematicheskie_modeli_v_transportnyh_raschetah

4.4.3. Перегон транспортных средств

Рассмотрим задачу, в которой необходимо минимизировать стоимость перегона транспортных средств (ТС) из одних пунктов в другие. В этой задаче имеем следующие значимые факторы:

−число ТС, имеющихся в каждом из трех пунктах отправки;

−необходимые количества ТС для каждого из пяти пунктов приема;

−стоимость перегона одного ТС по каждому из пятнадцати маршрутов.

Таким образом, в условия задачи не входит количество грузов и прочие параметры. В каких случаях может встретиться задача перегона ТС? Например, на каких-либо железнодорожных станциях (пункты отправки) скопились пустые вагоны, которые в различных количествах требуются на других станциях (пунктах приема). При этом ничего перевозить не нужно – требуется просто составить такой план перегонов, чтобы общая стоимость перегонов была минимальной (целевая функция). Рабочий лист с первым вариантом исходных данных представлен на рисунке 4.12.

Рисунок 4.12 – Первый вариант исходных данных

Важным требованием к исходным данным является равенство суммарного количества ТС, имеющихся в пунктах отправки, суммарному количеству ТС, требующихся в пунктах приема.

Для того чтобы не ошибиться при вводе исходных данных, в одной из ячеек надо указать формулу для проверки равенства

132

исходных сумм. Если суммы не равны, то в ячейке I8 выводится сообщение об ошибке (=ЕСЛИ(J6=J7;""; "Ошибка!!!")).

Структура рабочего листа (основные ячейки) подробно представлена в таблице 4.8.

Вернемся к первому набору исходных данных и указанным вручную значениям изменяемых данных (рисунок 4.12). То есть у нас есть неоптимальное решение, при этом выполнено ограничение по количеству ТС, которые могут быть перегнаны из каждого пункта отправки, и ограничение по количеству ТС, которые должны быть перегнаны в каждый из пунктов приема. Условия и ограничения задачи представлены на рисунке 4.13. Попробуем найти оптимальное решение и выполнить расчет. Найденное решение представлено на рисунке 4.14. Общая стоимость перевозок значительно меньше исходной.

133

Взаключение отметим, что данная задача в некоторых случаях (для соответствующего набора исходных данных) может иметь более одного оптимального решения.

Рассмотренная выше задача является базовой для ряда задач, указанных ниже.

1) Перегон транспортных средств с жесткими ограничениями по допустимым маршрутам (прямые ограничения на ячейки).

Задача имеет жесткое ограничение по допустимым маршрутам. По каким-то причинам не может быть осуществлен перегон ТС по некоторым маршрутам: A3–В4; A2–В1. При решении задачи надо добавить соответствующие ограничения.

2) Перегон транспортных средств с жесткими ограничениями по допустимым маршрутам (несколько диапазонов изменяемых данных).

Рассмотрим пример с двумя недопустимыми маршрутами A3–В4 (ячейка Е16 должна быть равна нулю) и А2–В1 (ячейка В15 должна быть равна нулю).

Изменения в постановке вызваны следующими соображениями.

Впредыдущем примере указывали один диапазон изменяемых данных и затем напрямую указывали ограничения на ячейки недопустимых маршрутов. То есть фактически мы указывали, что одна или более ячеек из диапазона изменяемых ячеек на самом деле не являются изменяемыми.

Вполне возможной является такая ситуация, при которой имеется большое количество недопустимых маршрутов. Например, если у нас имеется 20 пунктов отправки и 20 пунктов приема, то всего имеется 400 маршрутов. Если из них 70 являются недопустимыми, причем их ячейки в большинстве случаев не располагаются рядом, то вводить 70 ограничений может оказаться достаточно утомительным делом.

Вэтом случае может оказаться полезным указание нескольких диапазонов ячеек изменяемых данных. Соответственно не нужны и ограничения по значениям этих ячеек. Перед запуском поиска решения в этих ячейках должны быть указаны нулевые значения – так как их значения используются при расчете стоимостей и итоговой суммы. Недопустимые ячейки мы

135

должны либо исключать из формул, влияющих на целевую ячейку, либо указывать в этих ячейках значения, соответствующие «недопустимости» этих ячеек. В данном случае это нулевые значения – они не влияют на целевую ячейку.

3) Перегон транспортных средств с ограничениями по максимальному количеству перегонов по некоторым маршрутам (нежесткие ограничения).

Рассмотрим еще один вариант постановки задачи перегона транспортных средств. На этот раз допустим, что у нас опять имеются ограничения для тех же самых двух маршрутов. Однако теперь эти ограничения не являются жесткими (вообще запрещающими перевозки по этим маршрутам). Вместо этого ограничения указывают максимальное количество ТС, которое можно перегнать по этим маршрутам. Такие ограничения могут быть связаны с ограниченной пропускной способностью (ремонт, ограничения по времени работы: только определенные дни в неделе или часы в сутках). Итак, в новой постановке нашей задачи мы имеем следующие ограничения:

−по маршруту A3–В4 нельзя перегонять более 40 ТС;

−по маршруту А2–В1 нельзя перегонять более 50 ТС.

4) Перегон транспортных средств с ограничениями по максимальному количеству перегонов по всем маршрутам (нежесткие ограничения).

Рисунок 4.17 – Исходные данные

136

В предыдущем примере мы рассмотрели вариант постановки задачи, в котором имелись ограничения по пропускной способности только ДВУХ из пятнадцати маршрутов. Теперь допустим, что ограничения по пропускной способности имеются у всех маршрутов (рисунок 4.17).

Данный пример интересен тем, что здесь используется еще один способ указания ограничений для большого числа ячеек.

4.5. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Три завода выпускают станки, которые отправляются четырем потребителям. Первый завод поставляет 60 станков, второй

– 70 станков, третий – 20 станков. Станки следует поставлять потребителям следующим образом: первому – 40 шт. второму – 30, третьему – 30, четвертому – 50 шт. Стоимость перевозки одного станка от поставщика до потребителя указан в таблице (в д. е.). Составьте оптимальный план доставки станков.

2. Для строительства трех участков дорожной магистрали необходимо завозить песок. Песок может быть поставлен из четырех карьеров. Перевозка песка из карьеров до участков осуществляется грузовиками одинаковой грузоподъемности. Расстояние в километрах от карьеров до участков, наличие песка в карьерах и потребность песка на участках дороги приведены в таблице. Составьте план перевозок, минимизирующий общий пробег грузовиков.

3. На четырех элеваторах A, В, С, D находится зерно в количестве 100, 120, 150, 130 т, которое нужно доставить на четыре сельскохозяйственных предприятия для посева. Предприятию 1

137

необходимо поставить 140 т, предприятию 2 – 130, предприятию 3 – 90, предприятию 4 – 140 т зерна. Стоимость доставки потребителям от поставщиков представлена в таблице. Составьте оптимальный план перевозки зерна из условия минимума стоимости перевозки.

4.В пунктах А и В находятся соответственно 110 и 190 т горючего. Пунктам 1, 2, 3 требуются соответственно 70, 90, 140 тонн горючего. Стоимость перевозки 1 тонны горючего из пункта А в пункты 1, 2, 3 равна 200, 300, 400 руб. за 1 т соответственно, а из пункта В в пункты 1, 2, 3 – 600, 200, 500 тыс. руб. за 1 тонну соответственно. Составьте план перевозок горючего, минимизирующий общую сумму транспортных расходов.

5.Деревообрабатывающий комбинат имеет три цеха (A, В, С) и

четыре склада (1, 2, 3, 4). Цеха и склады находятся на разных территориях. Цех A производит 40 тыс. м3 материала, цех B –

30тыс. м3; цех C – 20 тыс. м3 материала. Пропускная способ-

ность складов за то же время характеризуется следующими показателями: склад 1 – 30 тыс. м3 материала, склад 2 – 25 тыс. м3; склад 3 – 15 тыс. м3и склад 4 – 20 тыс. м3 материала. Стоимость перевозки 1 м3 материала из цеха A на склады 1, 2, 3, 4 соответственно: 10, 20, 60, 40 д. е., из цеха B – соответственно

30, 10, 30, 20, а из цеха С – соответственно 50, 70, 50, 10 д. е.

Составьте план перевозки изделий, при котором расходы на перевозку 90 тыс. м3 материала были бы наименьшими.

6.В области имеется пять кирпичных заводов, объем выпуска которых в сутки равен 105, 50, 80, 20, 25 т соответственно. Заводы удовлетворяют потребности шести строительных фирм соответственно в количестве 80, 43, 10, 17, 50, 30 т. Оставшийся кирпич отправляют по железной дороге в другие области. Кирпич на строительные объекты внутри области доставляется автотранспортом. Расстояние в километрах от заводов до объ-

138

ектов приведено в таблице. Определите, с каких заводов и каким фирмам должен доставляться кирпич, какие заводы и в каком количестве должны отправлять кирпич в другие области, чтобы транспортные издержки по доставке кирпича автотранспортом были минимальными. Стоимость перевозки 1 т кирпича автотранспортом удовлетворяет условию c = a + d(l – 1), где а

= 30 д. е., d = 10 д. е., l – пробег, км.

7. Груз, хранящийся на трех складах, необходимо развести по 5-ти магазинам. Для перевозки грузов требуются 40, 30, 35 автомашин соответственно. Первому магазину требуется 20 машин груза, второму – 34, третьему – 16, четвертому – 10 и пятому – 25 машин. Стоимость пробега одной автомашины за 1 км составляет 5 д. е. Расстояния от складов до магазинов указаны в таблице. Составьте оптимальный по стоимости план перевозки груза от складов до магазинов.

8. Завод выпускает продукцию в четырех цехах: А, В, С, D, расположенных на разных территориях. Свою продукцию завод поставляет в шесть магазинов города. Цех А производит 130 тыс. шт. изделий, цех В – 90; цех С – 100 и цех D – соответственно 140 тыс. шт. изделий. Плановая потребность магазинов в продукции завода: магазин 1 – 110 тыс. шт. изделий; магазин 2 – 50 тыс. шт.; магазин 3 – 30 тыс. шт., магазин 4 – 80 тыс. шт., магазин 5 – 100 тыс. шт. и магазин 6 – 90 тыс. шт. изделий. Стоимость перевозки 1 тыс. шт. изделий из цехов в магазины приведена в таблице. Составьте план перевозки изделий, при котором расходы на перевозку изделий были бы наименьшими.

139

9. Три хлебных комбината с производственными мощностями 130, 110, 80 т хлебобулочных изделий в сутки поставляют свою продукцию в 5 магазинов города. Потребность в хлебобулочных изделиях магазинов следующая: 60, 40, 50, 80, 90 т. Издержки транспортировки продукции от хлебных комбинатов до магазинов указаны в таблице в д. е. Распределите план перевозок из условия минимизации ежедневных расходов на транспортировку.

10. Имеются четыре овощехранилища, расположенные в разных районах города, в которых сосредоточено 10, 20, 35 и 45 т овощей соответственно. Овощи необходимо перевезти четырем потребителям соответственно в количестве 25, 30, 40 и 15 т. Расстояния от хранилищ указаны в таблице. Затраты на перевозку 1 т овощей на 1 км постоянны и равны 20 д. е. Определите план перевозок продукта от хранилищ до потребителей из условия минимизации транспортных расходов.

строительным фирмам. Для перевозки раствора используются однотипные автомашины. Объем производства растворных узлов в день равен 30, 20, 40, 50 т. Потребности строительных фирм в день: 35, 20, 55, 30 т. Расстояние в километрах от рас-

140