golunova_l_v_matematicheskie_modeli_v_transportnyh_raschetah
.pdfставлять не менее 1500 штук. Определите, сколько деталей каждого вида следует производить, чтобы обеспечить максимальный доход от продажи за неделю.
|
Нормырасходаресурсовна |
Лимит |
|
Ресурсы |
производствоодной детали |
ресурсов |
|
|
ТипA |
Тип B |
(в неделю) |
Трудозатраты, чел./час |
4 |
3 |
8000 |
Листовой материал, кг |
2 |
6 |
7500 |
Полимерный материал, кг |
5 |
2 |
6000 |
Доход от продажи 1 детали |
11 |
13 |
|
21.Хлебозавод производит два типа торта «БИС» и «КВИТ». Для производства 1 т «БИТ» требуется 0,3 ч работы оборудования, а для «КВИТ» – 0,5 ч. Расход специального ингредиента на них составляет 0,4 и 0,1 т на 1 т соответственно. Ежедневно в распоряжении завода 12 т специального ингредиента и 15 ч работы оборудования. Доход от продажи 1 т торта «БИС» составляет 20 тыс. руб., а «КВИТ» – 31 тыс. руб. Определите ежедневный план производства тортов каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от их продажи.
22.Фирма производит две модели шкафов – А и В. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных до-
сок) и временем машинной обработки. Для каждого изделия модели A требуется 3 м2 досок, а для изделия модели B – 4 м2. Фирма может получать от своих поставщиков до 1700 м2 досок в неделю. Для каждого изделия модели A требуется 12 мин машинного времени, а для изделия модели B – 30 мин. В неделю можно использовать 160 ч машинного времени. Сколько изделий каждой модели следует выпускать фирме в неделю, если каждое изделие модели A приносит 2 руб. прибыли, а каждое изделие модели B – 4 руб. прибыли?
23.Издательский дом «Садовод» издает два журнала: «Пчеловод» и «Сад и огород», которые печатаются в трех типографиях: «Типография МК», «Полиграф» и «Труд», где общее количество часов, отведенное для печати, и производительность печати одной тысячи экземпляров ограничены и представлены в таблице. Спрос на журнал «Пчеловод» составляет 12 тыс. экз. а на журнал «Сад и огород» – не более 14 тыс. экз. в месяц. Определите, какое оптимальное количество журналов надо изда-
111
вать, чтобы обеспечить максимальную выручку от продажи.
Типография |
Время печати 1000 экз. |
Ресурс времени, |
|
«Пчеловод» |
«Сад |
отведенный |
|
|
и огород» |
типографией, час |
|
«Типография МК» |
6 |
8 |
80 |
«Полиграф» |
4 |
6 |
120 |
«Труд» |
4 |
5 |
70 |
Оптовая цена, руб./шт. |
22 |
25 |
|
24. Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют следующие ресурсы: S1, S2, S3, S4. Запасы ресурсов и затраты каждого на единицу продукции приведены в таблице. Прибыль, получаемая от единицы продукции P1 и P2, – соответственно 2 и 5 руб. Составьте такой план производства продукции, при котором прибыль от её реализации будет максимальной.
Ресурс |
Запас |
Число ед. ресурсов, затрачиваемых |
||
на изготовление ед. продукции |
||||
ресурса |
||||
|
P1 |
Р2 |
||
|
|
|||
S1 |
21 |
1 |
3 |
|
S2 |
18 |
2 |
1 |
|
S3 |
6 |
– |
1 |
|
S4 |
15 |
3 |
5 |
25. Автотранспортному предприятию (АТП) необходимо освободить из-под груза складские помещения клиента. Вывоз груза следует осуществить в два рейса колоннами автомобилей. Условия перевозки требуют, чтобы в составе каждой колонны, предназначенной для вывоза груза в первый район, было 8 автомобилей ЗИЛ-131 и 8 автомобилей ЗИЛ-130; в колоннах второго рейса 8 автомобилей ЗИЛ-130 и 16 – МАЗ-500. Каждая из колонн может сделать за сутки одинаковое количество поездок. Парк подвижного состава АТП состоит из 32 автомобилей ЗИЛ-131 грузоподъемностью 3 т, 48 автомобилей ЗИЛ-130 грузоподъемностью 4 т, 48 автомобилей МАЗ-500 грузоподъемностью 7,5 т. Определите количество колонн, которое нужно направить в каждый район, чтобы перевезти наибольшее количество груза.
112
3.5.2. Графический метод решения задач
Найдите графическим методом решение следующих задач линейного программирования.
1.
Z = 2x1 + 3х2 →max x1 + 2х2 ≥ 4
2x1 – x2 ≥ 9
5x1 + 3x2 ≤ 30
4x1 + 7x2 ≤ 28 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
2.
Z = 3x1 + 2х2 → min x1 – 2х2 ≤ 1
–2x1 – 3x2 ≤ –2
–2x1 + x2 ≤ 4 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
3.
Z = 3x1 + 4х2 →max –2x1 + х2 ≤ 1
4x1 + 6x2 ≤ 12 x1 + x2 ≥ 6 2x1 – 2x2 ≤ 2 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
4.
Z = x1 + 5х2 → min x1 – 2х2 ≤ 2
–2x1 – 3x2 ≤ –4
–2x1 + x2 ≤ 2 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0 5.
Z = x1 + х2 → max –4x1 + х2 ≤ 2
2x1 – 3x2 ≤ 3
2x1 + x2 ≤ 8 x1 – 4x2 ≤ 4 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
6.
Z = 7x1 + 6х2 →max 2x1 + 5х2 ≥ 10
5x1 + 2x2 ≥ 10 x1 ≤ 6
x2 ≤ 5
x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
7.
Z = 3x1 + х2 → max –x1 + х2 ≥ 1
x1 + 3x2 ≤ 15 –2x1 + x2 ≤ 4 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
8.
Z = 2x1 – 4х2 → max 8x1 – 5х2 ≤16
x1 + 3x2 ≥ 3 2x1 + 5x2 ≤ 10 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0 9.
Z = 2x1 + х2 → max 2x1 – х2 ≥ 4
3x1 + 2x2 ≥ 3
3x1 – x2 ≤ 6
7x1 + x2 ≤ 7 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
10.
Z = 2x1 – 3х2 → min 3x1 + 2х2 ≥ 6
x1 – 0,5x2 ≤ 2 x1 + 2,5x2 ≤ 5 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
11.
Z = x1 + 4х2 → max –x1 + х2 ≤ 5
x1 + x2 ≤ 8 3x1 + 2x2 ≤ 18 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
12.
Z = 5x1 – 3х2 → min 3x1 + 2х2 ≥ 6
2x1 – 3х2 ≥ –6 x1 – x2 ≤ 4 4x1 + 7x2 ≤ 14 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
13.
Z = x1 + 2х2 → max x1 + х2 ≤ 4
3x1 + x2 ≥ 4 x1 + 5x2 ≥ 4 x1 ≤ 3
x2 ≤ 3
x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
14.
Z = 3x1 – 3х2 → max x1 – 4х2 ≤ 4
3x1 + 2x2 ≤ 6 –x1 + x2 ≥ 7 x1 + 2x2 ≤ 2 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
113
15.
Z = x1 + 2х2 → min –3x1 + 2х2 ≤ 9
3x1 + 4х2 ≥ 28
2x1 + x2 ≤ 8 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
16.
Z = 2x1 – 4х2 → min 4x1 + 3х2 ≤ 12
x1 + 3х2 ≥ 6 2x1 + 5x2 ≤ 10 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
17.
Z = 3x1 + 4х2 →max x1 + 2х2 ≤ 4
–2x1 – 2x2 ≥ 2 2x1 + 4x2 ≥ 8 x1 + 2x2 ≤ 6 4x1 – 2х2 ≤ 4 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0 18.
Z = –6x1 + 8х2→min 9x1 + 3х2 ≥ 9
–2x1 + 2х2 ≤ 4 2x1 – 3x2 ≤ –5 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
19.
Z = 2x1 + 2х2 →max x1 – х2 ≥ –4
6x1 + 7x2 ≤ 42
3x1 – 2х2 ≤ 6
х2 ≤ 4
x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
20.
Z = x1 + х2 → max –4x1 + х2 ≤ 1
2x1 – 3x2 ≤ 6
2x1 + x2 ≤ 8 –x1 + x2 ≤ 7 x1 + 2x2 ≥ 2 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
21.
Z = 2x1 + 3х2 →max 2x1 – 4х2 ≥ 8
x1 + x2 ≥ 4 3x1 + 6x2 ≤ 12 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
22.
Z = x1 + 3х2 → max –3x1 + 4х2 ≤ 12
3x1 + 3x2 ≤ 9
3x1 – 4x2 ≤ 3
2x1 + 3x2 ≤ 6 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
23.
Z = 4x1 + 2х2 → min x1 + 4х2 ≥ 8
5x1 + 3х2 ≥ 15
7x1 + x2 ≥ 7
3x1 + 5х2 ≥ 15 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
24.
Z = 7x1 – х2 → min 3x1 + 5х2 ≤ 18
4x1 + х2 ≤ 0
3x1 – 2x2 ≥ –12
–7x1 + х2 ≤ 2 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
25.
Z = 4x1 + 6х2 →max 3x1 + х2 ≥ 9
x1 + 2x2 ≥ 8 x1 + 6x2 ≥ 12 x1 ≥ 0, х2 ≥ 0
114
4. РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ
Транспортная задача – частный случай общей задачи линейного программирования. Специфические методы ее решения гораздо проще, чем общей задачи. Название свое она получила потому, что впервые была сформулирована и поставлена для решения вопроса о наиболее рациональном планировании перевозок на транспорте. Методы решения транспортной задачи широко применяют на железнодорожном транспорте для решения следующих задач:
-прикрепления потребителей ресурсов к производителям;
-привязки пунктов отправления к пунктам назначения;
-взаимной привязки грузопотоков прямого и обратного направлений;
-отдельных задач оптимальной загрузки промышленного оборудования и др.
Общим для всех транспортных задач является, как правило, распределение ресурсов, находящихся у m производителей (поставщиков), по n потребителям этих ресурсов.
4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим математическую модель прикрепления пунктов отправления к пунктам назначения. Имеются m пунктов отправления груза и объемы отправления по каждому пункту а1, а2, ..., аm. Известна потребность в грузах b1, b2, ..., bn по каждому из n пунктов назначения. Задана матрица стоимостей доставки по каждому варианту cij, i = 1, m, j = 1, n . Необходимо
115
рассчитать оптимальный план перевозок, то есть определить, сколько груза xij должно быть отправлено из каждого i-го пункта отправления (от поставщика) в каждый j-й пункт назначения (до потребителя) с минимальными транспортными издержками. В общем виде исходные данные представлены в таблице 4.1.
Таблица 4.1
Исходные данные
Поставщики |
|
Потребители |
|
Запасы |
|
B1 |
B2 |
… |
Bn |
(объемы отправле- |
|
|
ния) |
||||
|
|
|
|
|
|
А1 |
c11 |
c12 |
… |
c1n |
а1 |
x11 |
x12 |
|
x1n |
||
|
|
|
|||
А2 |
c21 |
c22 |
… |
c2n |
а2 |
x21 |
x22 |
|
x2n |
||
|
|
|
|||
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Аm |
cm1 |
cm2 |
… |
cmn |
аm |
xm1 |
xm2 |
|
xmn |
||
|
|
|
|||
Потребность |
b1 |
b2 |
… |
bn |
|
Транспортная задача называется закрытой, если суммар-
m
ный объем отправляемых грузов (∑ ai) равен суммарному объ-
i=1
n
ему потребности в этих грузах по пунктам назначения (∑ bj):
|
|
j =1 |
m |
n |
(4.1) |
∑ ai = ∑ bj. |
||
i=1 |
j =1 |
|
Если такого равенства нет (потребности выше запасов или наоборот), задачу называют открытой, то есть:
m |
n |
(4.2) |
∑ ai ≠ ∑ bj. |
||
i=1 |
j =1 |
|
При составлении математической модели должны быть выполнены следующие условия:
1) Все грузы из i-х пунктов должны быть отправлены:
n |
(4.3) |
∑ xij = ai, i = 1, m. |
j=1
2)Все j-е пункты (потребители) должны быть обеспечены грузами в плановом объеме:
m |
(4.4) |
∑ xij = bj, j = 1, n . |
i=1
116
3) Суммарные объемы отправления должны быть равны суммарным объемам назначения:
m |
n |
(4.5) |
∑ ai = ∑ bj. |
||
i=1 |
j =1 |
|
4)Должно выполняться условие неотрицательности переменных:
xij ≥ 0, i = |
|
, j = |
|
. |
|
1, m |
1, n |
|
|||
5) Перевозки необходимо осуществлять с |
минимальными |
||||
транспортными издержками: |
|
|
|
|
|
m |
n |
(4.6) |
|||
Zmin = ∑ |
∑ cijxij. |
||||
i =1 |
j =1 |
|
В модели (4.3)–(4.6) вместо матрицы стоимостей перевозок cij могут быть заданы матрицы расстояний. В таком случае в качестве целевой функции рассматривается минимум суммарной транспортной работы.
Согласно выражению (4.5) уравнение баланса является обязательным условием решения транспортной задачи. Поэтому, когда в исходных условиях дана открытая задача, то её необходимо привести к закрытой форме. В случае если
-потребности по пунктам назначения превышают запасы пунктов отправления, то вводится фиктивный поставщик с недостающим объемом отправления;
-запасы поставщиков превышают потребности потребителей, то вводится фиктивный потребитель с необходимым объемом потребления.
Варианты, связывающие фиктивные пункты с реальными,
имеют нулевые оценки. После введения фиктивных пунктов задача решается как закрытая.
Транспортные задачи как задачи линейного программирования могут быть решены симплекс-методом, но наличие большого количества переменных и ограничений делает решение очень громоздким. Поэтому для решения транспортных задач разработаны специальные методы, учитывающие особенности такого класса задач, и имеющие те же этапы, что и сим- плекс-метод:
-нахождение исходного опорного решения;
-проверка этого решения на оптимальность;
-переход от одного опорного решения к другому.
117
4.2. АЛГОРИТМ МЕТОДА ПОТЕНЦИАЛОВ
Наиболее распространенным методом решения транспортных задач является метод потенциалов. Алгоритм этого метода рассмотрим на примере решения конкретной задачи: прикрепление пунктов отправления i = 1, 3 к пунктам назначения j = 1, 4 . В соответствии с принятыми выше обозначениями исходные данные задачи приведены в таблице 4.2.
|
|
Исходные данные |
Таблица 4.2 |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Поставщики |
|
Потребители |
|
Запасы |
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
(объемы отправления) |
|
А1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
60 |
А2 |
4 |
3 |
2 |
0 |
80 |
А3 |
0 |
2 |
2 |
1 |
100 |
Потребность |
40 |
60 |
80 |
60 |
240 |
Для транспортной задачи существует несколько способов нахождения исходного опорного решения:
-метод северо-западного угла;
-метод минимальной стоимости;
-метод двойного предпочтения и т. д.
Рассмотрим один из них – метод северо-западного угла.
Согласно этому методу распределение объемов пунктов отправления по пунктам назначения начинается с верхней левой клетки («северо-западная» часть таблицы) и продолжается вниз и вправо (по диагонали). Распределение начинаем с клетки (i–j) = (1–1) на основании следующего условия:
x11 = min{a1; b1} = min{60; 40} = 40.
Таким образом, первый пункт назначения загружен, а первый пункт отправления имеет остатки груза ∆a1 = 60 – 40 = 20,
которые распределяем на второй пункт назначения: |
|
||
x12 = min{∆a1; b2} = min{20; 40} = 20; |
∆b2 = 20. |
||
Продолжаем преобразования аналогичным образом: |
|||
x22 |
= min{a2; ∆b2} = min{80; 40} = 40; |
∆a2 |
= 40. |
x23 |
= min{∆a2; b3} = min{40; 80} = 40; |
∆b3 |
= 40. |
x33 |
= min{a3; ∆b3} = min{100; 40} = 40; |
∆a3 |
= 60. |
x34 |
= min{∆a3; b4} = min{60; 60} = 60. |
|
|
Процесс распределения всегда продолжают до тех пор, по-
118
ка все грузы от поставщиков не будут вывезены, а потребители не будут удовлетворены.
В процессе решения после каждого этапа (в том числе и после получения допустимого решения) по загруженным клеткам проверяется выполнение следующего условия:
N = m + n – 1. (4.7)
В нашем примере m = 3, n = 4, а число загруженных клеток равно 6, то есть соответствует условию (4.7): N = 3 + 4 – 1 = 6. Если условие (4.7) не выполняется, план называется вырожденным. В этом случае недостающее число загруженных клеток дополняется клетками с нулевыми поставками, которые называются условно занятыми, таким образом, чтобы выполнялось условие (4.7).
Результаты начального плана и расчета потенциалов представлены в таблице 4.3.
Таблица 4.3
Исходное опорное решение
Поставщики |
|
|
|
Потребители |
|
|
Запасы |
αi |
|||
|
B1 |
|
B2 |
|
|
B3 |
B4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
60 |
0 |
Р |
40 |
|
20 |
З |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А2 |
|
|
4 |
|
3 |
З |
2 |
|
0 |
80 |
1 |
|
|
|
40 |
Р |
|
40 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А3 |
|
|
0 |
|
2 |
Р |
2 |
|
1 |
100 |
1 |
З |
|
|
|
|
|
40 |
60 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Потребность |
|
40 |
|
60 |
|
|
80 |
60 |
|
240 |
|
βj |
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
Стоимость перевозки при исходном опорном решении составляет:
m |
n |
Zmin= ∑∑cijxij=1·40 + 2·20 + 3·40 + 2·40 + 2·40 + 1·60 = 420 д. е. |
|
i=1 |
j =1 |
Найденное исходное опорное решение проверяется на оптимальность методом потенциалов. Для загруженных клеток должно выполняться следующее равенство:
αi + βj = cij, (4.8)
где αi – потенциал i-ой строки; βj – потенциал j-го столбца.
Для первой строки принимаем αi=0. Рассматривая загру-
119
женные клетки (i–j) = (1–1), (1–2), получаем:
α1 + β1 = c11 = 0 + β1 = 1; β1 = 1.
α1 + β2 = c12 = 0 + β2 = 2; β2 = 2.
Далее по загруженным клеткам (2–2), (2–3) определяем другие потенциалы:
α2 + β2 = 3; α2 + 2 = 3; α2 = 1;
α2 + β3 = 2; 1 + β3 = 2; β3 = 1 и т. д.
Найденные значения потенциалов заносим в таблицу 4.3. По незагруженным клеткам проверяем, является ли реше-
ние оптимальным, используя неравенство: |
|
αi + βj ≤ cij, |
(4.9) |
Если условие (4.9) для незагруженных клеток выполняется, то найденное решение является оптимальным. По таблице 4.3 осуществляем проверку начального плана на оптимальность:
(i–j) = (1–3), |
0 + 1 ≤ 3; |
|
|
(i–j) = (1–4), |
0 + 0 ≤ 4; |
|
|
(i–j) = (2–1), |
1 + 1 ≤ 4; |
|
|
(i–j) = (2–4), |
1 + 0 > 0; |
∆c24 |
= 1; |
(i–j) = (3–1), |
1 + 1 > 0; |
∆c31 |
= 2; |
(i–j) = (3–2), |
1 + 2 > 2; |
∆c32 |
= 1. |
Наличие положительных |
оценок |
незагруженных клеток |
(∆cij) говорит о том, что полученное решение не оптимально и для уменьшения значения целевой функции надо перейти к другому опорному решению. При этом надо перераспределить грузы, перемещая их из загруженных клеток в незагруженные.
Характеристики ∆сij показывают размер экономии транспортных издержек на 1 ед. перевозимого груза. В нашем примере наибольшую экономию можно получить по клетке (i–j) = (3–1), где ∆с31 = 2 > {∆с24; ∆с32}. Следовательно, клетку (3–1) необходимо загрузить за счет перераспределения ресурсов из других загруженных клеток. В таблице 3 клетку (3–1) помечаем знаком «+», так как здесь в исходном опорном решении находится вершина максимальной неоптимальности, которая будет одной из вершин контура. Далее, начиная с клетки (3–1), строим контур по следующим правилам:
1)контур представляет собой замкнутый многоугольник с вершинами в загруженных клетках (за исключением клетки с
120