golunova_l_v_matematicheskie_modeli_v_transportnyh_raschetah

вершиной максимальной неоптимальности «+») и звеньями, лежащими вдоль строк и столбцов таблицы;

2)ломаная линия должна быть связанной таким образом, что из любой ее вершины можно попасть в любую другую вершину по звеньям ломаной цепи (по строке или по столбцу);

3)в каждой вершине контура встречаются только два звена, одно из них располагается по строке, другое – по столбцу;

4)число вершин контура четное, все они в процессе перераспределения делятся на загружаемые и разгружаемые;

5)в каждой строке (столбце) имеются две вершины: одна – загружаемая, другая – разгружаемая.

Вершины контура, последовательно разделенные на загружаемые («З») и разгружаемые («Р»), будут находиться в клет-

ках (3–1) – (1–1) – (1–2) – (2–2) – (2–3) – (3–3).

Теперь рассмотрим переход от одного опорного решения к другому. В процессе перераспределения ресурсов по контуру в соответствии с условием неотрицательности переменных xij ни одно из этих значений не должно превратиться в отрицательное число. Поэтому анализируют только клетки, помеченные знаком «Р», из которых выбирают клетку с минимальным объемом

перевозок. В нашем примере Xmin = min{40; 40; 40} = 40. Следовательно, клетки (1–1), (2–2), (3–3) полностью разгружаются.

В клетке (1–2) загрузка увеличится на 40 и достигнет 60, в клетке (2–3) загрузка составит 40 + 40 = 80, и клетка (3–1) загрузится на 40 (таблица 4.4).

Таблица 4.4

Первое опорное решение

Проверяем условие (4.7) N = m + n – 1. В нашем примере m

121

= 3, n = 4, а число загруженных клеток равно 4, то есть условие не выполняется и 6 ≠ 4. В процессе перераспределения ресурсов произошла полная разгрузка трех клеток, а должна была освободиться только одна. Поэтому в две клетки надо поместить нули (нулевой ресурс) и считать условно их загруженными. Например, в клетки (1–1) и (3–3) поместим нулевой ресурс (таблица 4.4).

Для первого опорного решения имеем:

Найденное опорное решение проверяем на оптимальность по рассмотренному выше алгоритму. По загруженным клеткам в соответствии с новой загрузкой вычисляем потенциалы αi и

βj:

По незагруженным клеткам производим проверку решения

мальности, её необходимо загрузить.

В соответствии с перераспределением ресурсов по контуру получаем таблицу 4.5, для которой вновь рассчитываем потенциалы αi и βj, таким образом последовательность вычислений повторяется.

Для распределения, полученного в таблице 4.5, условие (4.9) выполняется, поэтому полученное решение является оптимальным. Стоимость перевозок при этом составляет:

m n

Zmin=∑ ∑cijxij = 1·0 + 2·60 + 2·20 + 0·60 + 0·40 + 2·60 = 280д. е.

i=1 j =1

122

Таблица 4.5

Оптимальный план перевозок

4.3. УСЛОЖНЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТРАНСПОРТНОГО ТИПА

Выше (см. п. 4.2) рассмотрена классическая транспортная задача, на которой показано, как используется метод потенциалов для нахождения оптимального плана. Но такие задачи встречаются крайне редко. Обычно при составлении математической модели задачи транспортного типа приходится вводить целый ряд дополнительных ограничений, а затем пользоваться методом потенциалов.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся транспортные задачи:

1.Отдельные поставки от определенных поставщиков некоторым потребителям должны быть исключены (из-за отсутствия необходимых условий хранения, чрезмерной перегрузки коммуникаций и т. д.). Это ограничение требует, чтобы в матрице перевозок, содержащей оптимальный план, определенные клетки оставались свободными. Последнее достигается искус-

ственным завышением затрат на перевозки сij в клетках, перевозки через которые следует запретить. При этом производят

завышение величины сij до таких значений, которые будут заведомо больше всех и с которыми их придется сравнивать в процессе решения задачи.

2.Ряд транспортных маршрутов, по которым необходимо доставить грузы, имеют ограничения по пропускной способно-

сти. Если, например, по маршруту AiBj можно провести не более q единиц груза, то Bj-й столбец матрицы разбивается на два столбца – B’j и B”j. В первом столбце спрос принимается рав-

123

ным разности между действительным спросом bj и ограничением q: b’j = bj – q, во втором – равным ограничению q, то есть b”j = q. Затраты сij в обоих столбцах одинаковы и равны данным, но в первом столбце B’j, в клетке, соответствующей ограничению i, вместо истинного тарифа cij ставится искусственно завышенный тариф M (клетка блокируется). Затем задача решается обычным способом.

3.Поставки по определенным маршрутам обязательны и должны войти в оптимальный план независимо от того, выгодно это или нет. В этом случае уменьшают запас груза у поставщиков и спрос потребителей и решают задачу относительно тех поставок, которые необязательны. Полученное решение корректируют с учетом обязательных поставок.

4.Необходимо в одно время распределить груз различного рода по потребителям. Задачи данного типа называются многопродуктовыми транспортными задачами. В этих задачах поставщики m родов грузов разбиваются на m условных поставщиков, а потребители n родов грузов разбиваются на n условных потребителей. С учетом этой разбивки составляют полную транспортную таблицу. При этом заметим, что некоторые мар-

шруты АiВj должны быть блокированы (закрыты), поскольку в данной постановке задачи грузы разного рода не могут заме-

нять друг друга. Этим маршрутам AiBj должна соответствовать очень высокая стоимость перевозки. Многопродуктовую задачу не всегда обязательно описывать одной моделью. Например, если поставки грузов различного рода независимы, то задачу можно представить в виде комплекса транспортных задач по каждому роду груза. Однако если между грузами различного рода существует связь (например, одни из грузов можно заменить другими), то в общем случае исходную модель (задачу) не удается разбить на комплекс простых транспортных задач.

5.Необходимо максимизировать целевую функцию задачи транспортного типа. В этой ситуации при составлении опорного плана в первую очередь стараются заполнить клетки с наи-

более высокими значениями показателей сij. Выбор клетки, подлежащей заполнению при переходе от одного допустимого плана к другому, должен производиться не по минимальной

124

отрицательной разнице |cij – (αi – βj)|, a по максимальной положительной разнице |cij – (αi – βj)|. Оптимальным будет план, которому в последней таблице сопутствуют свободные клетки с неположительными элементами: все разности |cij – (αi – βj)| ≤ 0.

6. На предприятии необходимо определить минимальные суммарные затраты на производство и транспортировку продукции. С подобной задачей сталкиваются при решении вопросов, связанных с оптимальным размещением производственных объектов. Здесь может оказаться экономически более выгодным доставлять сырье из более отдаленных пунктов, но зато при меньшей его себестоимости. В таких задачах за критерий оптимальности принимают сумму затрат на производство и транспортировку продукции.

Пример 4.1. Одно фермерское хозяйство (А1) имеет продовольственное зерно двух видов: 3 тыс. т – III класса и 4 тыс. т – IV класса. Второе фермерское хозяйство (А2) также имеет зерно двух классов: 5 тыс. т – III класса и 2 тыс. т – IV класса. Зерно должно быть вывезено на два элеватора: на первый элеватор (B1) необходимо поставить 2 тыс. т пшеницы III класса, 3 тыс. т пшеницы IV класса и остальные 2 тыс. т пшеницы любого класса. Аналогично второй элеватор (B2) должен получить 8,25 тыс. т, из них пшеницы – 1 тыс. т III класса и 1,5 тыс. т IV класса. Стоимость перевозки в д. е. 1 т зерна составляет: из пункта А1 в пункты В1 и В2

– 1 и 1,5 соответственно; из пункта A2 в пункты В1 и B2 – 2 и 1 д. е. соответственно. Составить оптимальный план перевозок.

Решение:

Каждого поставщика условно разбиваем на две части согласно двум видам зерна (А13 и А14; А23 и А24), аналогично потребителей разбиваем на три части (пшеница III класса, IV класса и любой класс): В13, В14 и В10, а также В23, В24 и В20. Потребности превышают запасы, поэтому вводим фиктивного поставщика А3. Часть клеток в таблице запираем большими числами М; например, в клетке (1; 2) стоит большое число. Это значит, что поставщик А13 не может удовлетворить потребителя В14 пшеницей IV класса за счет имеющейся пшеницы III класса. С учетом сделанных замечаний составим первую таблицу 4.6.

Перевозки от фиктивного поставщика не производятся, поэтому

c51 = с52 = с53 = с54 = с55 = c56 = 0. Величина М намного больше сij. Применяя метод потенциалов, в итоге получим таблицу 4.7 с оп-

тимальным решением.

125

Таблица 4.6

Исходные данные

Первый поставщик поставит на первый элеватор (В1) пшеницу III класса (х22 = 2); пшеницу IV класса (x22 = 3), а также пшеницу любого класса (III или IV) (х13 = 1; x23 = 1). Второй поставщик (А2) поставит на второй элеватор (В2) пшеницу III класса (x31 = 1), пшени-

цу IV класса (х45 = 1,5) и частично любую пшеницу (х36 = 4; х46 = 0,5). Потребность элеватора в любой пшенице не удовлетворена

на 1,25 тыс. т (х56 = 1,25). Минимальные затраты на перевозку составили: Zmin = 14 д. е.

126

Перечисленные задачи достаточно просто решаются с использованием средств, предлагаемых MS Excel, например, над-

стройки Поиск Решения.

4.4. РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ СРЕДСТВАМИ

MS EXCEL

4.4.1. Транспортная задача с закрытой моделью (задача оптимизации перевозок продукции)

Рассмотрим задачу нахождения такого плана перевозок продукции с М складов к N потребителям, обеспечивающего минимальные затраты. Xij – количество продукции, поставляемое с i-го склада j-му потребителю. Пусть транспортные расходы пропорциональны количеству перевозимой продукции, то есть. Q = P·X. Обозначим

где Сi – количество продукции, находящееся на i-ом складе; Bj – количество продукции, необходимой j-му потребителю.

Для решения задачи необходимо соблюдение равенства:

Целевая функция определяется равенством:

M N

Qmin = i∑=1 j∑=1 Pij X ij

Исходными данными при решении данной задачи являют-

ся:

−издержки транспортировки либо прибыль от реализации товара;

−количество товара на каждом складе;

−количество товара, нужного каждому потребителю. Решение задачи рассмотрим на примере доставки товара с

4-х складов для 5-ти потребителей. Заполним таблицу издержек доставки (рисунок 4.1). Определим диапазон ячеек C7:G10

как массив P (Вставка → Имя → Присвоить).

Заполним таблицу количества товаров (рисунок 4.2). Определим массив Х – доставка товара со i-го склада j-му потребителю, то есть присвоим имя Х диапазону ячеек J7:N10.

127

Таким образом, данные для решения задачи оптимизации подготовлены. Выполним команду меню Сервис → Поиск решения. В диалоговом окне Поиск решения укажем адрес целевой ячейки. Значение целевой ячейки необходимо установить равным минимальному значению. В поле Изменяя ячейки введем диапазон ячеек J7:N10. Добавим ограничения:

1.Сумма доставки = Требуемая сумма (O7:O10 = P7:P10).

2.Вывоз со склада = Наличие на складе (J11:N11 = J12:N12).

3.Количество товаров (J7:N10) – целые числа (X = целое).

4.Количество товаров (J7:N10) – неотрицательные числа (X≥0). Решение данной задачи и отчет по результатам представ-

лены соответственно на рисунках 4.3 и 4.4.

Рисунок 4.3 – Решение задачи

Рисунок 4.4 – Отчет по результатам

Если сохранить сценарий, то всегда можно вывести результаты решения задачи. По сохраненному сценарию можно создать отчет. Полученные результаты можно представить, используя встроенные в MS Excel средства визуализации данных (рисунок 4.5).

129

Аналогично решаются и другие задачи транспортного типа, например распределения транспортных средств, загрузки контейнера товарами, размещения контейнеров в вагонах и т. п.

Рисунок 4.5 – Диаграмма доставки товаров

4.4.2. Транспортная задача с открытой моделью

Вариант 1. Запасы поставщиков больше потребностей (рисунок 4.6).

Рисунок 4.6 – Исходные данные (вариант 1)

Отличия этого варианта открытой модели от закрытой связаны с типами ограничений на запасы поставщиков. Так как запасы больше потребностей, то исчерпаны будут не все запасы. Это учтено в списке ограничений (рисунок 4.7).

Рисунок 4.7 – Диалоговое окно надстройки «Поиск решения»

Одним из оптимальных будет следующий план (рисунок

4.8):

130