Litvin_TFKP
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
Полагая z= |
|
1 |
|
, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
1 |
|
2 æ |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
ö |
|
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||
z |
|
×cos |
|
= z |
ç1- |
|
|
|
+ |
|
|
|
- |
|
|
|
+K÷ |
= z |
|
- |
|
+ |
|
|
- |
|
|
+K |
||||||||
|
z |
2!z |
2 |
|
4!z |
4 |
|
6!z |
6 |
|
|
2! |
4!z |
2 |
6!z |
4 |
||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 ×cos |
= - |
+ z2 + |
|
- |
|
+K |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
4!z2 |
6!z4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это разложение справедливо для любой точки z ¹ 0.В данном случае «кольцо» представляет собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой z = 0. Это «кольцо» можно определить с помощью следующего соотношения: 0 < | z – 0 | < ¥. Здесь r = 0, R = + ¥, z0 = 0. Данная функция является аналитической в указанном «кольце».
7.10. Рассмотреть различные разложения в ряд Лорана функции
f (z) = |
2z +1 |
|
приняв z0 = 0. |
|
z2 + z - |
2 |
|||
|
|
Решение. Функция f(z) имеет две особые точки: z1 = – 2 и z2 = 1. Следовательно, имеем три «кольца» с центром в точке z0 = 0, в каждом из которых данная функция является аналитической:
а) круг | z | < 1;
б) кольцо 1 < | z | < 2;
в) 2 < | z | < +¥ – внешность круга | z | £ 2.
Найдем ряды Лорана для функции f(z) в каждом из этих «колец».
Представим функцию f(z) в виде суммы простейших дробей: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
|
1 |
|
+ |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
z -1 |
z + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) Для разложения в круге | z | < 1 преобразуем (1) следующим обра- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
зом: |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
+ |
|
= |
|
× |
|
|
|
- |
|
|
|
. |
(2) |
|||||||||||||||
|
z -1 |
z + 2 |
2 |
1+ |
z |
1- z |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применив к (2) формулу (7.12), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
=1+ z + z2 + z3 +K, |
|
z |
|
|
<1, |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1- z |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
=1- |
z |
+ |
- |
|
+K, |
|
|
z |
|
< 2. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1+ |
|
z |
|
2 |
4 |
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя эти разложения в (2), получим
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
|
|
2z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 z z2 |
|
|
|
|
z3 |
|
+K- (1+ z + z |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
+K) = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
- |
|
|
|
+ 8 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ z |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z2 + z -1 |
|
|
4 |
16 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 z - |
7 z2 |
|
|
|
|
|
15 z3 -K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= - |
- |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
что и представляет собой ряд Лорана для данной функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
б) Найдем разложение функции в кольце 1 < | z | < 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Ряд |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
=1- |
z |
|
+ |
|
|
z |
2 |
|
- |
z3 |
|
|
+K остается сходящимся в этом кольце, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1+ |
z |
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
так как | z | < 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Ряд |
|
1 |
|
=1+ z + z2 + z3 |
|
+K расходится для 1|<| z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1- z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Поэтому преобразуем f(z) следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
× |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1+ |
|
z |
|
|
z |
|
1- |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Применяя формулу (7.12), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
=1+ |
|
1 |
|
+ |
|
|
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
+K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- |
1 |
|
|
|
z |
|
z2 |
|
|
|
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Этот ряд сходится для |
|
|
1 |
|
|
|
<1, т. е. при | z | > 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Таким образом, искомое разложение имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2z +1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
z |
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
-1 n × zn |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
- |
|
+ |
|
|
- |
|
|
+K+ |
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
+K = å |
|
+ |
× |
å |
) |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
2 |
+ z - |
2 |
|
2 |
|
4 |
8 |
|
16 |
|
z |
|
z |
2 |
|
|
|
z |
3 |
|
z |
n |
|
2 |
|
|
2 |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
в) Найдем разложение для | z | > 2. Ряд для функции |
|
|
1 |
|
|
при | z | > 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1+ |
z |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
расходится, а ряд для функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
будет сходится, так как если | z | > 2, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1- |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то и подавно | z | > 1. Функцию f(z) представим в таком виде: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
1 |
× |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
1 |
× |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
× |
ç |
|
1 |
|
+ |
|
|
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
z |
1- |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
ç1+ |
1- |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
z ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя формулу (7.12), получим искомое разложение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
f (z) = |
1 |
æ |
|
2 |
|
4 8 |
|
1 |
|
1 1 |
ö |
|
1 |
æ |
|
|
1 |
|
5 7 |
ö |
||||||||||||
|
×ç1 |
- |
|
+ |
|
|
- |
|
|
+K+1+ |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
+K÷ |
= |
|
×ç |
2 |
- |
|
+ |
|
|
- |
|
|
+K÷ |
|
z |
z |
z |
2 |
z |
3 |
z |
z |
2 |
z |
3 |
z |
z |
z |
2 |
z |
3 |
||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
или |
|
2z +1 |
= |
2 |
- |
1 |
+ |
5 |
- |
7 |
+K |
|
|
|
z2 + z - 2 |
|
|
z3 |
|
|
|||||||
|
|
|
z z2 |
|
|
z4 |
|
||||||
|
Этот пример показывает, что для одной и той же функции f(z) ряд |
||||||||||||
Лорана, вообще говоря, имеет разный вид для разных колец. |
|
||||||||||||
|
7.11. Разложить в ряд Лорана функцию f (z) = |
2z - 3 |
в окрестно- |
||||||||||
|
z2 - 3z + 2 |
сти ее особых точек.
Решение. Особые точки функции f(z): z1 = 1, z2 = 2.
Для разложения функции f(z) в окрестности точки z1 = 1, т. е. в кольце 0 < | z – 1| < 1, представим эту функцию в виде суммы простейших дробей
|
|
|
|
|
|
2z - 3 |
= |
|
|
1 |
+ |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
z2 - 3z + 2 |
|
z -1 |
z |
- 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Правую часть преобразуем следующим образом: |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2z - 3 |
= |
|
|
1 |
|
- |
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
z2 - 3z + 2 z -1 1- |
z - |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
Применяя разложение (7.12), в котором z заменим на – (z – 1), полу- |
||||||||||||||||||||
чим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - å(z -1)n . |
|||||
|
2 2z - 3 = 1 - é1+ (z -1) + (z -1)2 + (z -1)3 +Kù = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
n=0 |
|||
|
z - 3z + 2 |
z -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z -1 |
Разложение f(z) в окрестности точки z2 = 2, т. е. в кольце 0 < | z – 2| < 1,
выполним аналогично. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2z - 3 |
= |
1 |
|
+ |
1 |
|
|
= |
1 |
|
+ |
|
|
1 |
= |
1 |
|
+1- (z - 2) + |
|
|
z2 - 3z + 2 |
z -1 |
z - |
2 |
|
z - |
2 |
1 |
+ (z - 2) |
z - |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
||
|
+(z - 2)2 - (z - 2)3 +K = |
|
|
+ å(-1)n (z - 2)n . |
|
|
||||||||||||||
|
|
z - 2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
8 . Нули функции . Изолированные особые то чки .
Нули функции
Пусть функция f(z) является аналитической в точке z0. Точка z0 называется нулём функции f(z) порядка (или кратности) n, если выполняются условия: f (z0 ) = 0, f ¢(z0 ) = 0,L, f (n−1) (z0 ) = 0, f (n) (z0 ) ¹ 0.
Если n = 1, то точка z0 называется простым нулём.
Точка z0 тогда и только тогда является нулём n-го порядка функции
44
f(z), аналитической в точке z0, когда в некоторой окрестности этой точки имеет место равенство f (z) = (z - z0 )n j(z) , где функция j(z) аналитична в точке z0 и j(z0) ¹ 0.
Примеры.
8.1. Найти нули функции f(z) = 1 + cos z и определить их порядок.
Решение. Приравнивая f(z) к нулю, получим |
cos z = –1 , откуда |
||||||||||||||||
zn = p(1+n), n = 0, ±1, ±2,… – нули данной функции. Далее, |
|||||||||||||||||
|
¢ |
( |
|
|
) |
|
¢ |
( |
( |
)) |
|
( |
) |
|
|||
f |
|
|
z |
|
|
= -sin z;f |
|
p 1+ 2n |
|
|
= -sin p 1+ 2n |
= 0. |
|||||
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|||||||||
|
¢¢ |
( |
|
|
|
|
¢¢ |
( ( |
|
)) |
( |
|
) |
||||
f |
|
|
z |
|
= -cosz;f |
p 1+ 2n |
|
|
= -cosp 1 |
+ 2n |
¹ 0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, точки zn = p(1 + 2n), n = 0, ±1, ±2,… являются нулями второго порядка данной функции.
8.2. Найти порядок нуля z0 = 0 для функции f (z) = |
|
z8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z - sin z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Используем разложение функции sin z в ряд Маклорена, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
z8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
z8 |
|
|
|
|
= |
|
|||||||
|
æ |
|
|
|
|
z3 |
|
|
|
z5 |
|
|
|
ö |
z3 |
|
|
z5 |
|
z7 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
z - ç z - |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
-K÷ |
|
3! |
- |
5! |
+ |
7! |
-K |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3! |
|
|
5! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
|
|
|
z5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= z5 |
× |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
- |
|
z2 |
+ |
|
z4 |
|
-K |
1 |
- |
z2 |
+ |
|
z4 |
-K |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
3! |
|
5! |
|
7! |
|
|
|
|
|
|
3! |
5! |
7! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Положим j(z) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, тогда f(z) = z5j(z), где функция |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
z2 |
z4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
-K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3! |
5! |
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j(z) аналитическая при z0= 0 и j(0) = 6 ¹ 0. Следовательно, точка z0 = 0 является для данной функции нулём пятого порядка.
Изолированные особые точки
Точка z0 называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность этой точки, в которой f(z) аналитична всюду, кроме самой точки z = z0.
Точка z0 называется устранимой особой точкой функции f(z), если существует конечный предел функции f(z) в точке z0.
45
Пример. 8.3 f (z) = ez z-1.
Решение. Особая точка функции f(z) есть z0 = 0. Однако, limf (z) =
z→0
= lim ez -1 =1. Следовательно, точка z0 = 0 есть устранимая особая точка.
z→0 z
Точка z0 |
называется полюсом функции f(z), если lim f (z) = ¥ . Для |
|
z→z0 |
того, чтобы точка z0 была полюсом функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы эта точка была нулём для функции j(z) = 1f (z)
Точку z0 называют полюсом порядка n (n ³ 1) функции f(z), если эта точка является нулём порядка n для функции j(z) = f (1z) . В случае n = 1
полюс называется простым. Для того чтобы точка z0 являлась полюсом порядка n функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы функцию f(z)
можно было представить в виде f (z) = |
j(z) |
|
, где функция j(z) анали- |
(z - z0 ) |
n |
||
|
|
|
тична в точке z0 и j(z) ¹ 0.
Точка z0 называется существенно особой точкой функции f(z), если в точке z0 функция f(z) не имеет предела ни конечного, ни бесконечного.
Примеры. Найти особые точки и исследовать их характер. 8.4. f (z) = z13 .
e−3iϕ
Решение. Особая точка z0 = 0. Положим z = reiϕ , тогда f (z) = r3 .
Так как f (z) = r13 , то при z®0 r®0 и f (z) неограниченно возрастает.
Следовательно, limf (z) = ¥ , т. е. точка z0 есть полюс этой функции. Для
z→0
функции j(z) = z3 точка z0= 0 есть нуль третьего порядка, а значит, z0= 0 является полюсом третьего порядка для функции f(z) = 1/z3.
sin z
8.5. f(z) = z3 + z2 - z -1.
Решение. Функция f(z) имеет две особые точки z1 = – 1 и z2 =1. Ис-
46
следуем точку z = – 1. Представим f(z) в виде:
|
|
|
|
|
|
|
sin z |
|
|
sin z |
|
sin z |
|
|
|
|
|
sin z |
|
|
|||
|
|
f (z) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z -1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
z3 + z2 - z -1 |
z2 (z +1) - (z +1) |
( |
z -1 z +1 2 |
( |
z +1 |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)( |
|
) |
|
) |
|
|||||
Здесь |
j(z) = |
sin z |
аналитична в окрестности точки |
z = –1, |
причём |
||||||||||||||||||
z -1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
( |
) |
|
sin1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
-1 |
= |
|
¹ 0 . Следовательно, точка z = –1 является двукратным по- |
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
люсом данной функции. |
|
|
|
sin z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Аналогично записав функцию f(z) в виде f (z) = |
|
(z +1)2 |
|
|
, делаем вы- |
z -1
вод, что точка z = 1 есть простой полюс этой функции.
1
8.6. Определить характер особой точки z = 0 функции f(z) = ez2 . Решение. Рассмотрим поведение этой функции на действительной и
1
мнимой осях. На действительной оси z = x и f(x) = ex2 ®¥ при x® 0.На
− 1
мнимой оси z = iy и f(iy) = e y2 ® 0 при y ® 0. Следовательно, не сущест-
вует limf (z)ни конечный, ни бесконечный, т. е. точка z0= 0 – существен-
z→0
но особая точка данной функции.
Имеют место следующие утверждения.
1.Для того чтобы точка z0 была устранимой особой точкой функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение этой функции в окрестности точки z0 не содержало главной части.
2.Для того чтобы точка z0 была полюсом функции f(z), необходимо
идостаточно, чтобы главная часть лорановского разложения f(z) в окрестности точки z0 содержала лишь конечное число членов:
|
c−k |
|
|
c−1 |
∞ |
|
f (z) = |
|
+K+ |
+ åcn (z - z0 )n |
(c−k ¹ 0). |
||
(z - z0 ) |
k |
|
||||
|
|
|
z - z0 n=0 |
|
3.Наибольший из показателей степеней у разностей z – z0, содержащихся в знаменателях членов главной части ряда Лорана, совпадает с порядком полюса.
4.Точка z0 тогда и только тогда является существенно особой точкой для функции f(z), когда главная часть ее лорановского разложения в окрестности точки z0 содержит бесконечно много членов.
47
9 . Вычеты ф ункций .
Пусть точка z0 – изолированная точка функции f(z). Вычетом функции f(z) в точке z0 называется число, определяемое равенством
resf (z0 ) = |
1 |
f (z)dz |
(9.1) |
|
|||
|
2pi ò |
|
|
|
|
γ |
|
В качестве контура интегрирования g можно взять окружность с центром в точке z0 достаточно малого радиуса такого, чтобы окружность не выходила за пределы области аналитичности функции f(z) и не содержала внутри других особых точек функции f(z).
Вычет в устранимой особой точке равен нулю. Если точка z0 есть полюс n-го порядка функции f(z), то
resf (z) = |
|
1 |
lim |
|
|
dn−1 |
{f (z)(z - z0 )n } |
(9.2) |
||||
( |
) |
|
|
n 1 |
||||||||
|
|
|
dz − |
|
|
|
||||||
|
|
n -1 !z→z0 |
|
|
|
|
||||||
В случае простого полюса (n = 1) resf (z0 ) = lim (f (z)(z - z0 )). |
(9.3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→z0 |
|
Если функция f(z) в окрестности точки z0 представима как частное |
||||||||||||
двух аналитических функций f (z) = |
|
j(z) |
, причём j(z0) ¹ 0, |
y(z0) = 0, а |
||||||||
y(z) |
||||||||||||
y¢(z0) ¹ 0, т. е. z0 – простой полюс функции f(z), то |
|
|||||||||||
|
|
resf (z0 ) |
= |
|
j(z0 ) |
. |
(9.4) |
|||||
|
|
|
y¢(z0 ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если точка z0 есть существенно особая точка функции f(z), то для нахождения resf (z0 ) необходимо найти коэффициент с-1 в лорановском
разложении функции f(z) в окрестности точки z0; это и будет resf (z0 ).
Примеры.
9.1. Найти вычеты функции |
f (z) = |
|
sin z2 |
|
в её особых точках. |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z3 - p z2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Решение. Особыми точками данной функции являются точки z= 0 |
|||||||||||||||
и z = p |
. В точке z= 0 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limf |
( |
z |
) |
= lim |
sin z2 |
× lim |
1 |
= - |
4 |
|
. |
|||
|
|
z2 |
p |
p. |
|||||||||||
|
z→0 |
|
z→0 |
|
z→0 |
|
|
|
z - 4
Следовательно, z = 0 – устранимая особая точка данной функции.
Поэтому resf(0) = 0.
48
|
|
|
4 |
|
|
|
|
z |
|
π |
( |
z |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||
В точке z = p имеем |
limf |
|
|
= ¥ , т. е. точка z = p есть полюс (пер- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вого порядка) функции f(z). Согласно формулы (9.3) имеем |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
æ p ö |
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
p ö |
|
|
|
|
sin z2 |
|
æ |
|
|
|
p |
ö |
||||
resf |
ç |
÷ = limf (z) |
×ç z |
- |
|
|
÷ |
= lim |
|
|
|
|
|
|
×ç z - |
|
÷ = |
|||||||||||
4 |
|
|
|
æ |
p ö |
4 |
||||||||||||||||||||||
|
|
è |
4 ø |
z→ |
π |
|
|
è |
|
|
ø |
z→ π |
z |
2 |
è |
|
|
|
ø |
|||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
ç z - |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
4 ø |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
sin z2 |
= |
|
16 |
|
sin |
p2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z2 |
|
p2 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z |
→ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.2. Найти вычеты функции |
|
|
f (z) = |
|
|
|
ez |
|
|
|
|
в её особых точ- |
||||||||||||||||
|
|
( |
z +1 3 |
( |
z - 2 |
) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
ках.
Решение. Особые точки функции f(z) есть точки z = – 1, z = 2. Точка z = –1 является полюсом третьего порядка. Согласно формулы (9.2) имеем:
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
d |
2 |
æ |
|
|
|
|
e |
z |
|
|
|
|
|
|
( |
z +1 3 |
ö |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
d |
2 |
æ |
|
e |
z |
ö. |
|
|
|
||||||||||||
resf |
-1 |
|
= |
lim |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
÷ |
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
2! |
z→−1 |
dz |
ç |
|
|
|
|
(z |
- 2) |
|
|
) |
|
÷ |
|
|
2 |
|
z→−1 |
dz |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è (z +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
è z - 2 |
ø |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
d |
|
æ |
|
|
|
e |
z |
|
ö |
|
|
|
ez |
( |
z - 2 |
- ez |
|
ez |
( |
z - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
= |
|
|
|
|
|
) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(z - 2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
è z - 2 ø |
|
|
|
|
|
( |
(z - 2) |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
||||||||||||||||||||||||
d |
2 |
æ |
|
e |
z |
|
|
|
ö |
|
|
|
ez |
(z - 3) + ez |
(z - 2)2 - ez (z - 3)2(z - 2) |
|
|
|
|
ez |
z2 |
- 6z +10 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
dz |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z - |
2) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z - 2) |
3 |
|
||||||||||||||||||
|
è z - |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
resf |
( |
-1 |
|
= |
|
1 |
lim |
ez (z2 - 6z +10) |
= |
1 |
|
× |
e−1 ×17 |
|
= - |
17 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
2 z→−1 |
|
|
(z - 2)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-27 |
|
|
|
|
|
54e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
Точка z = 2 – полюс первого порядка, поэтому по формуле (9.3) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
resf (2) |
= limf (z)(z - 2) = lim |
|
|
ez |
|
|
= |
e2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→2 |
z |
+1 |
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.3. Найти вычет функции |
f (z) = |
sin3z - 3sin z |
|
|
в точке z = 0. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(sin z - z)sin z |
|
|
|
|
Решение.
Точка z = 0 является нулём как числителя j(z) = sin3z – 3sinz, так и знаменателя y(z) = (sin z – z)sin z. Определим порядки нуля для этих функций, используя разложение в ряд Маклорена функции sin z:
49
|
sin z = z - |
z3 |
+ |
|
z5 |
-K, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3! |
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
z |
5 |
|
|
||||||||||||||
|
j(z) = sin3z - 3sin z = 3z - |
3 z |
|
|
|
+ |
|
|
3 z |
|
-K- 3ç z - |
|
|
|
+ |
|
|
|
-K÷ = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
3! |
5! |
|
ø |
|||||||||||||||||||||
|
= - 33 - 3 z3 + 35 - 3 -K = z3j1 (z), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
j1 (z) = - |
|
33 - 3 |
+ |
35 - 3 |
z2 -K и j1(0) |
= – 4 ¹ 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5! |
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
öæ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
z |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
z |
5 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
y(z) = (sin z - z)sin z = ç z - |
|
+ |
|
-K- z֍ z - |
|
|
+ |
|
|
-K÷ = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
øè |
3! |
|
|
5! |
|
|
|
ø |
|||||||||||||||||||
|
|
4 |
æ |
1 |
|
|
z2 |
|
|
|
|
öæ |
|
|
|
z2 |
|
|
|
z4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
4 |
× y1 (z), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= z |
|
ç - |
|
|
+ |
|
|
|
-K֍1 |
- |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
-K÷ = z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
3! |
5! |
|
3! |
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
øè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
y1 (z) |
æ |
|
1 |
|
|
|
z |
2 |
|
öæ |
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
z |
4 |
|
|
|
|
|
|
y1 (0) = - |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
где |
= ç - |
|
+ |
|
|
-K֍1- |
|
|
+ |
|
|
|
-K÷ |
|
и |
¹ 0 . Следо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
è |
|
|
|
5! |
|
øè |
|
|
3! |
|
|
5! |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
вательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z3j1 (z) |
|
j1 (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
sin3z - 3sin z |
= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(sin z -1)sin z |
|
z4y1 (z) |
zy1 (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и т.к. j1(0) ¹ 0, y1(0) ¹ 0, то точка z = 0 является простым полюсом данной функции, поэтому её вычет находим по формуле (9.4):
(z ×y1 (z))¢ |
|
z |
|
0 = (y1 (z) + zy1¢ (z)) |
|
z |
0 |
= y1 (0) = - |
1 |
; |
|||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
= |
|
j(z0 ) |
|
= |
|
|
-4 |
|
6 |
|
||
resf (z0 ) = |
Þ resf (0) = |
|
|
= 24. |
|
|
|||||||||
y¢(z0 ) |
- 1 |
6 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
9.4. Найти вычет функции f (z) = z3 ×sin |
|
|
в ее особой точке. |
||||||||||||
|
z2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Особая точка функции f(z) есть точка z = 0. Она является существенно особой точкой функции f(z). Действительно, лорановское разложение функции в окрестности точки z = 0 имеет вид
f (z) = z |
3 |
æ |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
ö |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
×ç |
|
|
- |
|
|
+ |
|
|
-K÷ |
= z - |
|
|
+ |
|
|
-K, |
|
|
|
2 |
3!× z |
6 |
5!× z |
10 |
3!× z |
3 |
5!z |
7 |
||||||||
|
|
è z |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
т. е. содержит бесконечное число членов в главной части. Вычет функции в точке z = 0 равен нулю, так как коэффициент с-1 в лорановском разложении f(z) равен нулю.
50
ТЕОРЕМА КОШИ О ВЫЧЕТАХ.
Если функция f(z) является аналитической на границе С области D и всюду внутри области, за исключением конечного числа особых точек z1, z2, …, zn, то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
( |
|
k ) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
z |
dz = 2pi |
å |
resf |
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.5. Вычислить интеграл |
|
|
|
ò |
|
ez |
-1 |
dz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
2 |
+ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
= |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. В области |
|
|
|
£ |
4 функция f (z) |
= |
|
ez -1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
аналитична всюду, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z2 + z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
кроме точек z = 0 и z = – 1. По теореме Коши о вычетах запишем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
ez -11 |
|
|
|
|
= 2pi(resf (0) + resf (-1)). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
4 |
|
z2 + z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Точка z = 0 есть устранимая особая точка, т. к. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
ez |
-1 |
|
|
|
= lim |
ez |
-1 |
lim |
|
1 |
|
|
|
=1, |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z→0 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z→0 |
|
z z→0 z +1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
следовательно, res f(0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Точка z = – 1 – полюс первого порядка, тогда |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
resf |
-1 |
= lim |
|
|
ez -1 |
|
|
|
z +1 |
= lim |
ez -1 |
= |
e−1 -1 |
=1- e−1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
z→−1 |
|
|
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z→−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Таким образом, |
ò |
|
|
|
ez |
-1 |
dz |
= 2pi(1- e−1 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z2 |
|
+ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9.6. Вычислить интеграл |
|
|
|
|
tgzdz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. В области |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
< 2 функция |
f(z) = tg z аналитична всюду, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
кроме точек z = p |
|
и z = - p |
, являющихся простыми полюсами. Все дру- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
гие особые точки zk = p |
+ pk, |
|
|
k= ±1,±2… функции f(z) = tg z лежат вне |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
области |z| £ 2 и поэтому не учитываются. Так как |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
p ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
p ö |
||||||||||||
|
tgz = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и sin |
ç |
± |
|
÷ |
= ±1 ¹ 0,cosç |
± |
÷ = 0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cosz |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
2 ø |
|
|
51
но |
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
π |
æ |
± |
p ö |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(cosz) |
|
=± |
= -sin ç |
|
÷ = ±1 ¹ 0 , |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
è |
|
|
2 ø |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
æ p ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
p ö |
|
sin z |
|
|
|
|||||
то |
resf |
= |
sin z |
|
|
|
= -1;resf |
æ |
- |
= |
|
|
−π = -1. |
||||||||||
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
π |
ç |
÷ |
|
|
|
|||||||||||
(cosz)¢ |
|
|
|
(cosz)¢ |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
è |
2 ø |
|
|
z= |
2 |
|
|
è |
|
|
2 ø |
|
|
z= |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Поэтому ò |
tgzdz = 2pi ×(-2) = -4pi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
z |
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òe 1z2
9.7.Вычислить интеграл z−i =32 z2 +1dz.
|
|
|
|
e 1 |
2 |
|
|
|
Решение. В области D: |
z - i |
< 3 |
2 функция f (z) = |
z |
|
|
имеет две |
|
z2 +1 |
|
|||||||
|
|
|
|
особые точки: z = i – полюс первого порядка и z = 0 – существенно особая точка.
По формуле (9.4) имеем resf (i) = |
e 1 |
z |
2 |
= |
e |
−1 |
. |
2z |
|
2i |
|||||
|
|
|
|
z=i
Для нахождения вычета в точке z = 0 необходимо иметь лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки z = 0. Однако в данном случае искать ряд Лорана нет необходимости, так как данная функция f(z) четная и в ее лорановском разложении будут содержаться только четные
степени z и 1z . Поэтому с-1
Коши о вычетах имеем ò
z−i =
= 0 и, следовательно, res f(0) = 0. По теореме
|
|
e 1z2 |
|
dz = |
p |
. |
|
3 |
2 |
z2 + |
1 |
e |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
9.8. Вычислить интеграл ò |
|
|
1 |
|
|
sin |
1 |
|
dz |
|
||||||||||||
|
z -1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
=2 |
|
z |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение. В круге |
|
z |
|
£ 2 подинтегральная функция имеет две особые |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
точки z=1 и z=0. Легко установить, |
что z=1 есть простой полюс, поэтому |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
æ |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
ö |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|||||
res |
|
×sin |
= |
|
|
z |
= sin1 . |
|||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
z |
(z -1)' |
|||||||||||||||||
z=1 |
è z -1 |
|
|
|
|
ø |
|
|
z=1
Для установления характера особой точки z=0 напишем ряд Лорана
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для функции |
|
|
|
×sin |
|
в окрестности этой точки. Имеем |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
z |
-1 |
z |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
æ |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
ö |
|
|||||
|
|
|
×sin |
|
|
|
= - |
|
×sin |
|
|
|
= -(1+ z + z |
|
+ ...)ç |
|
- |
|
|
+ |
|
|
-...÷ |
= |
|||||||||||
|
z -1 |
z |
1- z |
|
z |
|
|
3!z |
3 |
5!z |
5 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è z |
|
|
|
|
ø |
|
|||||||||||
æ |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
ö |
1 |
|
c |
−2 |
|
c |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= -ç1 |
- |
|
|
|
+ |
|
|
|
-...÷ |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
+ ... + правильная часть, |
|
|
|
|||||||||||||||
3! |
5! |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
è |
|
|
|
|
|
ø z |
|
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
c−k ¹ 0, |
|
k = 2,3,K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как ряд Лорана содержит бесконечное множество членов с отрицательными степенями z, то точка z=0 является существенно особой. Вычет подынтегральной функции в этой точке равен
|
sin |
1 |
|
|
|
|
|
æ |
|
1 |
|
1 |
ö |
|
|||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
res |
|
|
|
|
= c−1 |
= -ç1 |
- |
|
+ |
|
-...÷ |
= -sin1 . |
|||||||
z -1 |
3! |
5! |
|||||||||||||||||
z=0 |
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
||||||||||
Следовательно, ò |
1 |
|
sin |
1 |
dz = 2pi(sin1- sin1) = 0 . |
||||||||||||||
z -1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
z |
|
=2 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки.
Говорят, что функция f(z) аналитична в бесконечно удаленной точ-
ке z = ∞ , если функция j(z) = f æ 1 ö аналитична в точке ζ = 0 .
çè z ÷ø
Например, функция f (z) = sin |
1 |
аналитична в точке z = ∞ , поскольку |
|||
z |
|||||
|
|
|
|
||
æ 1 |
ö |
|
|
||
функция j(z) = f ç |
|
÷ = sin z аналитична в точке ζ = 0 . |
|||
|
|||||
è z |
ø |
|
|
||
Пусть функция |
f(z) аналитична в некоторой окрестности бесконечно |
удаленной точки (кроме самой точки z = ∞ ).
Точка z = ∞ называется изолированной особой точкой функции f(z), если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек функ-
ции f(z).
Функция f (z) = |
1 |
имеет в бесконечности неизолированную осо- |
|
sin z |
|||
|
|
бенность: полюсы zk = kp этой функции накапливаются в бесконечности,
если k → ∞ .
Говорят, что z = ∞ является устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой функции f(z) в зависимости от того, ко-
53
нечен, бесконечен или вовсе не существует limf (z) .
z→∞
Критерии типа бесконечно удаленной особой точки, связанные с разложением Лорана, изменяются по сравнению с критериями для конечных особых точек.
ТЕОРЕМА 1. Если z = ∞ является устранимой особой точкой функции f(z), то лорановское разложение f(z) в окрестности этой точки не содержит положительных степеней z; если z = ∞ – полюс, то это разложение содержит конечное число положительных степеней z, в случае существенной особенности – бесконечное число положительных степеней z.
При этом лорановским разложением функции f(z) в окрестности бесконечно удаленной точки будем называть разложение f(z) в ряд Лорана, сходящееся всюду вне круга достаточно большого радиуса R с центром в точке z=0 (кроме, быть может, самой этой точки z = ∞ ).
Пусть функция f(z) – аналитична в некоторой окрестности точки z = ∞ (кроме, быть может, самой этой точки).
Вычетом функции f(z) в бесконечности называют величину
resf (∞) = |
1 |
ò f (z)dz, |
(9.5) |
|
2πi |
||||
|
γ− |
|
||
|
|
|
где γ– – достаточно большая окружность z = ρ , проходимая по часо-
вой стрелке (так что окрестность точки z = ∞ остается слева, как и в случае конечной точки z = a).
Из этого определения следует, что вычет функции в бесконечности равен коэффициенту при z –1 в лорановском разложении f(z) в окрестно-
сти точки z = ∞ , взятому с противоположным знаком: |
|
|
||||
resf (∞) = −c−1 |
|
(9.6) |
||||
Пример. |
|
|
|
|||
9.9. Для функции f (z) = |
z +1 |
|
имеем f (z) =1+ |
1 |
. Это выражение |
|
z |
z |
|||||
|
|
|
можно рассматривать как ее лорановское разложение в окрестности бес-
конечно удаленной точки. Имеем, очевидно, что limf (z) =1, так что точ-
z→∞
ка z = ∞ является устранимой особой точкой, и мы полагаем, как обычно, f (∞) = 1. Здесь c−1 =1 и, следовательно, resf (∞) = −1.
Из этого примера следует, что вычет аналитической функции относительно бесконечно удаленной устранимой особой точки, в отличие от конечной устранимой особой точки, может оказаться отличным от нуля.
Известные разложения функций ez, sin z, cos z, sh z, ch z можно рас-
54
сматривать также как лорановские разложения в окрестности точки z = ∞ . Так как все эти разложения содержат бесконечное множество положительных степеней z, то перечисленные функции имеют в точке z = ∞ существенную особенность.
ТЕОРЕМА 2. Если функция f(z) имеет в расширенной комплексной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех ее вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю.
Так что если a1, a2, … , an – конечные особые точки функции f(z), то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
resf (∞) + åresf (ak ) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или |
|
|
|
|
resf (∞) = −åresf (ak ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.7) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Последнее соотношение бывает удобно использовать при вычисле- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нии некоторых интегралов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9.10. Вычислить интеграл I = ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1+ z |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Полюсами |
|
(конечными) |
|
|
подынтегральной |
функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (z) = |
1 |
являются корни z1, z2, z3, z4 |
уравнения z4 = −1, которые все |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ z4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
лежат |
внутри |
окружности |
|
z |
|
= 2 . Функция |
|
f (z) = |
|
в окрестности |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1+ z4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
бесконечно удаленной точки имеет разложение |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f (z) = |
|
|
1 |
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
1 |
|
− |
1 |
|
+ |
|
1 |
− ..., |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
+ z4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
z4 1+ |
|
|
|
|
z4 |
|
|
|
z8 |
|
z12 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
из которого видно, что resf (∞) = −c−1 = 0 . В силу равенства (9.7) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
I = 2πiåresf (zk ) |
|
= −2πiresf (∞) = 0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9.11. Вычислить интеграл I = ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
(z |
2 |
+ |
2) |
3 |
(z |
3 |
+ 3) |
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Решение. |
Подынтегральная функция |
|
f (z) = |
|
|
|
|
|
z17 |
|
|
внутри |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
(z2 + 2)3 (z3 + 3)4 |
|
окружности z = 3 имеет пять особых точек, являющихся кратными полюсами. Использование основной теоремы о вычетах приводит к боль-
55
шим вычислениям. Для вычисления данного интеграла удобнее исполь-
зовать равенство (9.7), в силу которого будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
I = −2πiresf (∞) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.7΄) |
|
||||||||||||
Так как функцию f(z) можно представить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
f (z) = |
|
|
z17 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
z17 |
|
|
|
|
= |
1 |
× |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
||
|
|
3 |
|
4 |
|
|
2 ö |
3 |
|
3 |
|
4 |
z |
|
2 ö |
3 |
|
3 ö |
4 |
||||||||||||
|
|
2 |
3 |
æ |
|
æ |
ö |
|
|
æ |
æ |
|
|||||||||||||||||||
|
(z |
+ 2) (z |
+ 3) z6 ç1 |
+ |
|
|
÷ ç1+ |
|
|
÷ z12 |
|
|
|
ç1+ |
|
|
÷ ç1+ |
|
|
÷ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
z |
2 |
z |
3 |
|
|
|
z |
2 |
z |
3 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø è |
|
ø |
|
|
|
|
è |
|
ø è |
|
ø |
|
|
то отсюда видно, что правильная часть лорановского разложения этой функции в окрестности бесконечно удаленной точки z = ∞ начинается с
члена 1z . Следовательно, resf (∞) = −1. Подставляя эту величину в равен-
ство (9.7), получим I = 2πi .
Литера тура
1.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. –
М.: Наука, 1981.
2.Кручкович Г.И., Мордасова Г.М., Подольский В.А., РимскийКорсаков Б.С., Сулейманова Х.Р., Чегис И.А. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики. – М.: Высшая школа, 1970.
3.Мышкис А.Д. Математика для ВТУЗов (специальные курсы). – М.:
Наука, 1971.
4.Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1977.
5.Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. – М.: Наука, 1979.
56 |
|
|
|
Содержание |
|
1. |
Комплексные числа и действия над ними............................................ |
3 |
1.1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел........................ |
3 |
|
1.2. Действия над комплексными числами. ............................................. |
6 |
|
1.3. Возведение комплексного числа в степень и |
|
|
извлечение корня из комплексного числа................................................ |
8 |
|
2. |
Функции комплексного переменного................................................. |
10 |
2.1. Понятие функции комплексного переменного ............................... |
10 |
|
2.2. Основные элементарные функции комплексного |
|
|
переменного. ........................................................................................... |
11 |
|
3. |
Предел последовательности комплексных чисел. Предел |
|
и непрерывность функции комплексного переменного. ....................... |
16 |
|
4. |
Дифференцирование функции комплексного |
|
переменного. Условия Коши-Римана..................................................... |
21 |
|
5. |
Интегрирование функций комплексного переменного. .................... |
26 |
6. |
Однозначные ветви многозначной функции. Точки |
|
разветвления. .......................................................................................... |
29 |
|
7. |
Ряды в комплексной плоскости. ......................................................... |
34 |
8. |
Нули функции. Изолированные особые точки. ................................. |
43 |
9. |
Вычеты функций................................................................................. |
47 |
Литература .............................................................................................. |
55 |