Litvin_TFKP
.pdf21
Поскольку lim f (z) = az0 + b = f (z0 ), то тем самым доказано, что в
z→z0
любой точке z0 линейная функция непрерывна.
4 . Дифференцирование функции компл ексного пер еменного. Условия Коши - Римана .
Пусть функция w = f(z) определена в некоторой области D комплексного переменного z. Пусть точки z и z + D z принадлежат этой области.
Обозначим Dw = f(z + Dz) –f(z), Dz = Dx+ iDy. Функция w = f(z) называет-
ся дифференцируемой в точке z Î D , если отношение Dw/Dz имеет конечный предел при Dz®0 произвольным образом. Этот предел называется производной функции f(z) в точке z и обозначается f ¢(z) (или w′, или
|
dw |
). Так что по определению |
f ¢ |
( |
z |
) |
= lim |
Dw . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dz |
|
|
z→0 |
Dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Если z = x + iy, f(z) = u(x, y) + i v(x, y), то в каждой точке дифферен- |
||||||||||||||
цируемости функции f(z) выполняются соотношения |
¶u |
= |
¶v |
, |
¶u |
= - |
¶v |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶x |
|
¶y |
|
¶y |
|
¶x |
|
называемыми условиями Коши-Римана. Верно и обратное. Если в некоторой точке (x, y) функции u(x, y) и v(x, y) дифференцируемы как функ-
ции |
действительных переменных x и y |
и удовлетворяют условиям |
||||||
¶u |
= |
¶v |
, |
¶u |
= - |
¶v |
, то функция f(z) = u + |
iv дифференцируема в точке |
¶x |
|
¶y |
|
¶y |
|
¶x |
|
|
z = x + iy как функция комплексного переменного z.
Функция w = f(z) называется аналитической в данной точке z Î D, если она дифференцируема как в самой точке, так и в некоторой её окрестности. Функция f(z) называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке этой области. Для любой аналитической функции f(z) имеем
f ¢(z) = ¶¶ux + i ¶¶vx = ¶¶vy + i ¶¶vx = ¶¶vy - i ¶¶uy = ¶¶ux - i ¶¶uy .
Примеры.
4.1. Показать, что функция w = еz является аналитической на всей комплексной плоскости.
Решение. ez = ex(cos y + i sin y), u(x, y) = excos y, v(x, y) = exsin y.
Функции u(x, y) и v(x, y) как функции действительных переменных x и y дифференцируемы в любой точке (x,y) и при этом удовлетворяют условиям Коши-Римана:
22 |
|
¶u = ex |
cos y, ¶v |
= ex cos y; ¶u |
= -ex sin y, ¶v = ex sin y. |
|
|
|
|
||||
|
|
¶x |
¶y |
¶y |
¶x |
|
|
Следовательно, функция w = ez всюду аналитическая и |
|
||||
|
|
(ez )′ |
= ex cos y + iex sin y = ex (cos y + isin y) = ez . |
|
||
|
4.2. Является ли функция w = z |
z аналитической хотя бы в одной |
||||
точке? |
|
|
|
так что u(x,y) = x2 + y2, v(x, y) = 0. |
||
|
Решение. Имеем w = zz = x2 + y2 , |
|||||
Условия Коши-Римана в этом случае имеют вид: ¶u = 2x = 0, |
¶v = 0, |
|||||
|
|
|
|
|
¶x |
¶y |
¶u |
= 2y, |
¶v = 0 , |
и выполняются только в одной точке (0, 0). Следова- |
|||
¶y |
|
¶x |
|
|
|
|
тельно, функция ω = zz дифференцируема только в точке z = 0 и нигде не аналитична.
Покажем, |
пользуясь определением, что функция |
f (z) = zz диффе- |
||||||
ренцируема в точке z = 0. Имеем f(0) = 0, поэтому |
|
|
||||||
Df = f (0 + Dz) - f (0) = f (Dz) = Dz × Dz; |
|
|
||||||
lim |
Df |
= lim |
Dz × Dz |
= lim Dz = lim |
Dx - iDy |
) |
= 0. |
|
z→0 |
Dz |
z→0 |
Dz |
z→0 |
x→0 ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
Таким образом, f ¢(0)существует и равна 0.
4.3. Является ли функция ω = z = x − iy аналитической?
Решение. u(x, y) = x, v(x, y) = – y – всюду дифференцируемые функ-
ции переменных x и y. Далее, |
¶u |
=1, |
¶u |
= 0, |
¶v |
= 0, |
¶v |
= -1 . Так что |
|
¶x |
|
¶y |
|
¶x |
|
¶y |
|
¶¶ux ¹ ¶¶vy , т. е. первое из условий Коши-Римана не выполняется ни в од-
ной точке комплексной плоскости. Значит функция ω = z нигде не дифференцируемая, а, следовательно, и не аналитическая.
Пользуясь условиями Коши-Римана, аналитическую функцию f(z) можно восстановить, если известна её действительная часть u(x, y) или мнимая часть v(x, y).
23
Пример.
4.4. Найти аналитическую функцию w = f(z) по известной действи-
тельной части u(x, y) = 2 ex cos y и при дополнительном условии f(0) = 2.
Решение. Имеем ¶¶ux = 2ex cos y . По первому условию Коши-Римана
должно быть ¶u |
= |
¶v |
, так что v(x,y) = ò2ex cos ydy = 2ex sin y + j(x) , где |
|||||||||
¶x |
|
¶y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j (x) пока неизвестна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
По второму условию Коши-Римана |
|
|
|
|||||||||
|
¶u |
= -2e |
x |
sin y; |
¶v |
= 2e |
x |
¢ |
(x) Þ |
|||
|
¶y |
|
¶x |
|
sin y + j |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Þ |
2e |
x |
|
|
¢ |
(x) = 2e |
x |
sin y, |
|
||
|
|
sin y + j |
|
|
откуда j¢(x) = 0 , а значит j (x) = C, где C = const. Итак, v(x, y) = 2excos y
+ C и, следовательно, f(z) = 2excos y + 2exsin y + C = 2ez + C. Из дополни-
тельного условия найдём С: 2 = 2e0 + C. Отсюда, С = 0 и f(z) = 2ez.
Аналитическую в окрестности точки z0 функцию f(z) можно восстановить также по одной из следующих формул:
|
|
f (z) = 2u |
æ z + z |
|
z - z |
ö |
|
;f (z) = 2iv |
æ z + z |
|
z - z |
ö |
|
|
|
|
|||
|
|
ç |
0 |
; |
0 |
÷ |
- C0 |
ç |
|
0 |
; |
0 |
÷ |
+ C0 |
, |
||||
2 |
2i |
|
2 |
2i |
|||||||||||||||
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
||||
где |
|
0 – сопряжённое число для C0 = f(z0), а z0 |
– сопряжённое число для |
||||||||||||||||
C |
|||||||||||||||||||
z0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример.
4.4. Найти аналитическую функцию w = f(z) по известной мнимой части v(x,y) = 3x + 2xy при условии f(– i) = 2.
Решение. В нашем примере z0 = – i, C0 = 2, следовательно, z0 = i,
|
|
0 = 2 , так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
f (z) = 2i |
æ |
3 |
× |
z + i |
+ 2× |
z + i |
× |
z - i ö |
+ 2 |
= 3zi + i |
2 |
+ z |
2 |
- i |
2 |
= z |
2 |
+ 3iz. |
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
2 |
2i |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция j (x, y) называется гармонической в области D, если она имеет в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа
¶2j + ¶2j = 0 . ¶x2 ¶y2
24
Если функция f(z) = u + iv аналитична в некоторой области, то её действительная часть u(x,y) и мнимая часть v(x, y) являются в этой области гармоническими функциями. Однако, если u1(x, y) и v1(x, y) любые две гармонические функции, то функция f1(z) = u1 + iv1 не обязательно будет аналитической функцией: для аналитичности f1(z) нужно, чтобы функции u1 и v1 удовлетворяли условиям Коши-Римана.
Две гармонические функции, удовлетворяющие условиям КошиРимана, называются сопряжённой парой гармонических функций (порядок функций в паре существенен).
Пример.
4.6. Найти все гармонические функции вида u = f(x2 + y2), отличные от постоянной.
Решение. Так как искомые функции гармонические, то они должны
удовлетворять уравнению Лапласа ¶2u + ¶2u = 0 . Пусть t = x2 + y2, тогда
¶x2 ¶y2
u = f(t), где t = t(x, y). По правилу дифференцирования сложной функции находим:
¶¶ux = f ¢(t)× ¶¶xt , ¶¶uy = f ¢(t)× ¶¶yt ;
¶2u |
æ |
¶t ö2 |
¶2 t |
|
||||
|
2 |
= f ¢¢(t)×ç |
|
÷ |
+ f ¢(t)× |
|
|
; |
¶x |
|
¶x |
2 |
|||||
|
è |
¶x ø |
|
|
|
¶2u = f ¢¢(t)×æ ¶t ö2 + f ¢(t)× ¶2 t . ¶y2 çè ¶y ÷ø ¶y2
Складывая последние два равенства, получим
éæ êç êè
ë
Так как
¶t ö2 |
æ |
¶t ö2 ù |
æ |
¶2t |
|
¶2 t |
|||||
|
÷ |
+ ç |
|
÷ |
ú |
×f ¢¢(t) + ç |
|
|
+ |
|
|
|
|
¶x |
2 |
¶y |
2 |
||||||
¶x ø |
è |
¶y ø |
ú |
è |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
¶t = 2x, ¶t = 2y; ¶2 t = 2, ¶2 t = ¶x ¶y ¶x2 ¶y2
ö÷× f ¢(t) .
ø
2 ,
|
æ |
¶t ö2 |
æ |
¶t ö2 |
= 4 ×(x |
2 |
|
2 |
) = 4t, |
¶2 t |
|
¶2 t |
|
||||
то |
ç |
|
÷ |
+ ç |
|
÷ |
|
+ y |
|
|
|
+ |
|
|
= 4 . |
||
|
|
|
|
¶x |
2 |
¶y |
2 |
||||||||||
|
è |
¶x ø |
è |
¶y ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем tf ¢¢(t) + f ¢(t) = 0 или t2f ¢¢(t) + tf ¢(t) = 0 – получили уравнение Эйлера.
|
|
|
|
|
25 |
|||||||||
t × |
d(f ¢(t)) |
= -f ¢(t) Þ |
d(f ¢(t)) |
= - dt |
Þ ln |
|
f ¢(t) |
|
= -ln |
|
t |
|
+ lnC1 Þ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
dt |
|
f '(t) |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Þ f ¢(t) = C1 t Þ f (t) = C1 ln t + C2 -
общее решение этого уравнения, где С1 и C2 – const. Итак, искомые гармонические функции имеют вид u = f(x2+ y2) = C1ln(x2 + y2) + C2.
Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
|
Пусть функция f(z) аналитическая в точке |
|
z0 |
и f ¢(z0 ) ¹ 0 . Тогда |
||||||||
|
f ¢(z0 ) |
|
равен коэффициенту растяжения в точке z0 |
при отображении |
||||||||
|
|
|||||||||||
w = f(z) плоскости z на плоскость w; точнее, при |
|
f ¢(z0 ) |
|
> 1 имеет место |
||||||||
|
|
|||||||||||
растяжение, а при |
|
f ¢(z0 ) |
|
<1 – сжатие. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Аргумент производной f ¢(z0 ) геометрически равен углу, на который
нужно повернуть касательную в точке z0 к любой гладкой кривой на плоскости z, проходящей через точку z0, чтобы получить направление касательной в точке w0 = f(z0) к образу этой кривой на плоскости w при отображении w = f(z). При этом, если j = argf ¢(z0 ) > 0 , то поворот проис-
ходит против часовой стрелки, а при j < 0 – по часовой.
Пример.
4.7. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображе-
нии w = z2 в точке z0 = |
|
2 |
+ i |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Имеем w′ = |
2z . Так что w¢(z0 ) = 2 |
|
|
+ i2 |
|
или в тригоно- |
||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
p |
|
p ö |
|
|
|
f ¢(z0 ) |
|
|
метрической форме 2 |
2 |
|
+ i2 |
2 = 4 |
+ isin |
. Значит, |
= 4, |
|||||||||||
|
çcos |
|
÷ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
4 |
|
4 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
argf ¢(z0 ) = p4 , т. е. коэффициент растяжения r = 4, а угол поворо-
та j = p 4 .
Если функция w = f(z), аналитическая в некоторой области D, взаимно однозначно отображает эту область на область D% , то кривая L, лежащая в области D, отобразится в некоторую кривую L% в области D% , длина которой равна lω = ò f ¢(z)dz , а площадь области D% выражается форму-
L
26 |
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
( |
|
) |
|
D |
= |
òò |
f ¢ |
|
2 dxdy . Таким образом, |
|
f ¢ |
|
2 равен коэффициенту ис- |
||||
лойS% |
|
|
z |
|
|
|
z |
|
|||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кажения площади при отображении w = f(z).
Пример.
4.8. Точка z = x + iy описывает отрезок x = 1, –1 £ y £ 1. Чему равна длина линии, получающейся при отображении этого отрезка с помощью функции w = z2 ?
Решение.
Первый способ. Имеем w = z2 или x2 – y2 + i 2xy, т. е. u = x2 – y2, v = 2xy. На линии x = 1, –1 £ y £ 1 будем иметь u= 1 – y2, v = 2y, причём –2 £ v £ 2.
Так как y = |
v |
, то u =1- |
v2 |
|
. Длина дуги параболы A′B′C′ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lω = 2ò2 |
1+ |
v2 |
|
dv = 2 |
|
+ ln (3 + 2 |
|
). |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Второй способ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lω = ò |
|
f ¢(z) |
|
|
|
= ò |
|
|
|
|
|
= 2ò1 |
|
|
dy = 4ò1 |
|
dy = 2 |
|
+ ln(3 + 2 |
|
). |
|||||||||||
|
|
dz |
|
|
2z |
|
dz |
|
1+ y2 |
1+ y2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||
L |
|
|
L |
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 . Интегрирование функций компл ексного пер еменного.
Пусть однозначная функция w = f(z) определена и непрерывна в области D, а С – кусочно-гладкая замкнутая или незамкнутая кривая, лежа-
щая в D. Пусть z = x + iy, f(z) = u + iv, где u = u(x, y), v = v(x, y) – дейст-
вительные функции переменных x и y. Вычисление интеграла от функции f(z) комплексного переменного z сводится к вычислению обычных криволинейных интегралов
òf (z)dz = òudx - vdy + iòvdx + udy |
(5.1) |
||
C |
C |
C |
|
Интеграл òf (z)dz зависит от пути интегрирования С. Если же f(z)
C
аналитическая функция в односвязной области D, то интеграл не зависит от пути интегрирования. В этом случае ò f (z)dz = 0 , где L – любой замк-
L
нутый кусочно-гладкий контур в D.
Если кривая С задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t) и начальная и конечная точки дуги С соответствуют значениям t = t0 и t = t1, то
27
|
t |
f (z(t))z¢(t)dt , где z(t) = x(t) + iy(t). |
|
||
òf (z)dz = ò1 |
(5.2) |
||||
C |
t0 |
|
|
|
|
Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, содержащей |
|||||
точки z0 и z1, то имеет место формула Ньютона-Лейбница |
|
||||
z |
|
|
|
|
|
ò1 |
f (z)dz = F(z) |
|
zz10 = F(z1 ) - F(z0 ) , |
(5.3) |
|
|
|||||
z0 |
|
|
|
|
|
где F(z) – какая-либо первообразная для функции f(z), т. е. F¢(z1) = f(z) в области D.
Если функции f(z) и j(z) – аналитические в односвязной области D, а z0 и z1 – произвольные точки этой области, то имеет место формула интегрирования по частям:
z |
|
|
z |
|
|
ò1 |
f (z)×j¢(z)dz = f (z)×j(z) |
|
zz10 - ò1 |
j(z)×f ¢(z)dz. |
(5.4) |
|
|||||
z0 |
|
|
z0 |
|
|
Замена переменных в интегралах от функций комплексного переменного производится аналогично замене переменной при интегрировании функций действительного переменного. Пусть аналитическая функция z = j(w) отображает взаимно однозначно контур C1 в w-плоскости на контур С в z-плоскости. Тогда
òf (z)dz = ò f (j(w)) ×j¢(w)dw. |
(5.5) |
|
C |
C1 |
|
Если путь интегрирования есть полупрямая, выходящая из точки z0, или окружность с центром в точке z0, то полезно делать замену переменных в виде z – z0 = reiϕ. В первом случае j = const, а r – действительная переменная, а во втором случае r = const, а j – действительная переменная интегрирования.
Примеры.
5.1. Вычислить интеграл ò(1+ i - 2z)dz по линиям, соединяющим
C
точки z1 = 0 и z2 = 1 + i:
а) по прямой; б) по параболе y = x2; в) по ломаной z1z2z3, где z3 = 1. Решение. Запишем подынтегральную функцию в виде:
1+ i - 2z =1+ i - 2(x - iy) = (1- 2x) + i(1+ 2y).
Здесь u = 1 – 2x, v = 1 – 2y. Применяя формулу (5.1), получим
ò(1+ i - 2z)dz = ò(1- 2x)dx - (1+ 2y)dy + iò(1+ 2y)dx + (1- 2x)dy.
C C C
а) Уравнение прямой, проходящей через точки z1 = 0 и z2 = 1 + i, будет
28
y = x, 0 £ x £ 1, а значит dy = dx. Поэтому
ò(1+ i - 2z)dz = ò1 (1- 2x -11- 2x)dx + iò1 (1+ 2x +1- 2x)dx =
C |
|
0 |
0 |
|||
= -ò1 |
4xdx + iò1 |
2dx = -2x2 |
|
10 +i × 2x |
|
10 = -2 + 2i = 2(i -1). |
|
|
|||||
|
||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
б) Для параболы y = x2 имеем dy = 2xdx, 0 £ x £ 1. Следовательно,
ò(1+ i - 2z)dz = ò1 ((1- 2x) - (1+ 2x2 )× 2x)dx +
C |
0 |
+iò1 ((1+ 2x2 )+ (1- 2x)2x)dx = ò1 (1- 4x - 4x3 )dx + iò1 (1+ 2x - 2x2 )dx =
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
= (x - 2x |
2 |
|
4 |
) |
|
1 |
æ |
2 |
|
2 |
|
2 |
ö |
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
- x |
|
- |
x |
|
= -2 + |
i. |
|||||||||||
|
|
|
|
+ iç x + x |
|
3 |
|
÷ |
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
è |
|
|
|
|
ø |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) На отрезке z1z3: y = 0, dy = 0, 0£ x £ 1. На отрезке z2z3: x = 1, dx = 0, 0£ y £ 1. Используя свойство линейности криволинейных интегралов, получим
ò(1+ i - 2z)dz = ò (1+ i - 2z)dz + ò (1+ i - 2z)dz =
C |
z1z2 |
|
|
|
|
z3z2 |
||||
= ò1 (1- 2x)dx + iò1 dx - ò1 (1+ 2y)dy + iò1 -dy = |
||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|||
= (x - x2 ) |
|
1 + ix |
|
10 |
- (y + y2 ) |
|
1 - iy |
|
10 = i - 2 - i = -2. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Этот пример показывает, что интеграл от непрерывной, но не аналитической функции зависит от формы пути интегрирования.
5.2. Вычислить интеграл ò(z2 + z × z)dz , где С – дуга окружности
C
|z| = 1, 0£ arg z £p.
Решение. Положим z = eiϕ, тогда dz = ieiϕdj и
ò(z2 + z × z)dz = òπ (e2iϕ +1)×ieiϕdj = iòπ (e3iϕ + eiϕ )dj =
C |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
æ 1 |
e3iϕ + |
1 |
eiϕ |
ö |
|
π |
|
|
1 |
e3iπ + eiπ - |
1 |
|
|
|
1 |
(cos3p + isin3p) + |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= iç |
|
|
÷ |
|
|
= |
|
|
-1 |
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
è 3i |
|
i |
|
ø |
|
0 |
4 |
|
3 |
|
1 |
|
4 |
3 |
|
8 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
+(cos p + isin p) - |
= - |
-1- |
= - |
|
|
|
||||||||||||||
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
29
5.3. Вычислить интеграл òez dz , где С – отрезок прямой y = x , соеди-
C
няющий точки z1 = 0, z2 = p – ip.
Решение. Параметрические уравнения линии С есть: x=t, y= –t или в комплексной форме z = t + it, где 0 £ t £ p. Применяя формулу (5.2) получим
òez dz = òπ et+it (1- i)dt = (1- i)òπ e(1+i)tdt = |
1- i e(1+i)t |
|
π = |
(1- i)2 |
(eπ+iπ -1) = |
||
|
|||||||
C |
0 |
0 |
1+ i |
|
0 |
2 |
|
|
|
=1- 2i2 -1(eπ (cos p + isin p) -1) = -i(-eπ -1) = i(eπ +1).
5.4.Вычислить интеграл 2ò+i (3z2 + 2z)dz.
1−i
Решение. Так как подынтегральная функция f(z) = 3z2 + 2z аналитична всюду, то, применяя формулу Ньютона-Лейбница, найдём
2+i
ò (3z2 + 2z)dz = (z3 + z2 ) 12−+ii = (2 + i)3 + (2 + i)2 - (1- i)3 - (1- i)2 = 7 +19i.
1−i
5.5. Вычислить интеграл |
òi |
zcoszdz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Функции f(z) и j(z) = cos z аналитические всюду. Применяя |
|||||||||||||||||||||
формулу интегрирования по частям, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
òi |
zcoszdz = òi |
z ×(sin z)¢ dz = zsin z |
|
0i - òi |
sin zdz = isini + cosz |
|
0i |
= |
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
o |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= isini + cosi -1 = -sh1+ ch1-1 = - |
e - e−1 |
+ |
e + e−1 |
-1 = - |
e2 -1 |
+ |
|||||||||||||||
2 |
2 |
2e |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
+ |
|
e2 +1 |
-1 = |
-e2 +1+ e2 +1 |
= |
1- e |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2e |
|
|
2e |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 . Однозначные ветви многозначной функции . Точки разветвления .
Пусть функция w = f(z), аналитическая в области D, отображает область D на область G и такова, что обратная функция z = j(w) многозначна в области G. Если существуют однозначные, аналитические в области G функции z = j1(w), z = j2(w), … , для которых данная функция w = f(z) является обратной, то функции j1(w), j2(w), … называются однозначными ветвями функции j(w), определенной в области G.
30
Например, функция w = zn каждой точке z0 ставит в соответствие единственную точку w0, но одной и той же точке w0 (w ¹ 0, w ¹ ¥) функ-
ция z = nw ставит в соответствие n различных точек плоскости z; при этом, если w = riθ , то эти n значений z находятся по формулам:
zk = r × eiϕk , где r = n r , jk = q + 2pk n
Пусть односвязная область G содержит точку w0, но не содержит точек w = 0, w = ¥. Тогда различным фиксированным значениям k = 0, 1,…, n–1) при одном и том же выборе q0 (например, q0 = arg w0) соответствуют
различные ветви функции z = nw .
Точка, обладающая тем свойством, что обход вокруг нее в достаточно малой окрестности влечет за собой переход от одной ветви многозначной функции к другой, называется точкой разветвления этой функ-
ции. Точками разветвления функции nw являются точки w = 0 и w = ¥. После n-кратного обхода вокруг точки w = 0 мы вернемся к первона-
чальной ветви функции nw . Точки разветвления, обладающие таким
свойством, называются алгебраическими точками разветвления порядка (n-1). В каждой из этих точек функция имеет только одно значе-
ние: n0 = 0 , n¥ = ¥ , т.е. различные ветви функции в этих точках совпадают.
Для логарифмической функции w = Ln z точками разветвления являются числа z = 0 и z = ¥, причем Ln 0 = ¥, Ln ¥ = ¥. Любое конечное число обходов (в одном и том же направлении) вокруг точки z = 0 не приведет к первоначальной ветви функции Ln z. Такие точки ветвления называются логарифмическими. При интегрировании необходимо выделять ветвь многозначной функции. Это достигается заданием значения многозначной функции в некоторой точке контура интегрирования.
Если контур интегрирования L замкнут, то начальной точкой z0 пути интегрирования считается та точка, в которой задано значение подынтегральной функции.
Примеры.
6.1. Вычислить интеграл ò dz , где L – верхняя дуга окружности |z|=1.
L z
Для z берется та ветвь, для которой 1 = -1. Решение. Функция z имеет два значения:
31
|
|
|
|
|
|
æ |
j |
|
|
j ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z = |
z |
+ isin |
, |
|||||||||
|
|
çcos |
|
÷ |
||||||||
|
|
|
|
|
è |
2 |
|
|
2 ø |
|
||
|
|
|
|
|
|
æ |
æ j |
ö |
|
æ j |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z = |
z |
|
||||||||||
|
çcos |
ç |
|
+ p÷ |
+ isin ç |
|||||||
|
|
|
|
|
è |
è 2 |
ø |
|
è 2 |
öö |
= - |
|
|
|
|
æ |
j |
+ isin |
j ö |
|
|
|
z |
|
|
, |
|||||||
|
|
||||||||||
+ p÷÷ |
|
|
|
çcos |
2 |
2 |
÷ |
||||
øø |
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
где ϕ = argz .
Так как значения z берутся на единичной окружности, то z = 1 и, следовательно,
z = cos j2 + isin j2 ,
z = -cos j2 - isin j2 .
Условию 1 = -1 удовлетворяет второе значение:
z = -cos j2 - isin j2 .
В самом деле, пусть z = 1, тогда arg z = 0 и 1 = -cos0 - isin0 = -1.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим:
|
dz |
|
= |
-1 dz |
|
= 2 |
|
|
|
1-1 = 2( |
|
- |
|
). |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
z |
-1 |
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
òL z |
ò1 z |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая z = – 1, найдём
|
|
|
( |
) |
|
|
( |
) |
|
æ |
p |
|
p ö |
|
|
æ |
arg |
|
-1 |
|
arg |
|
-1 |
ö |
|
|
|
|
|
-1 = -çcos |
|
|
|
+ isin |
|
|
|
÷ |
= -çcos |
|
+ isin |
|
÷ = -i. |
|
|
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|||||||||
è |
|
|
|
ø |
è |
|
ø |
Согласно выбору ветви 1 = -1, окончательно получим
ò dz
L z
Рассмотрим и другой способ вычисления данного интеграла. Полагаем z = reiϕ , где r = 1, а 0 £ j £ p. Из условия 1 = -1 следует,
|
|
|
|
|
|
æ j |
+p |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
iç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
что eij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= e |
è |
2 |
|
|
ø . Теперь |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
dz |
|
|
p |
|
ieijdj |
p |
ieij |
|
p |
æ j |
ö |
æ j |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
iç |
-p÷ |
iç |
|||||||||||
ò |
|
|
|
|
= ò |
|
|
|
|
|
|
|
= ò |
|
|
|
dj = iòe è 2 |
ødj = 2e |
è 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ j |
|
ö |
|
|||||||
|
z |
|
|
|
|
|
e |
ij |
|
|
|||||||||||
L |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
iç |
|
+p÷ |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e è |
2 |
|
ø |
|
|
|
-pö÷
ø
0p = 2æç e-i p2 - e-ip ö÷ = è ø
= 2 |
æ |
æ |
- |
p ö |
æ |
- |
p ö |
ö |
= 2(-i +1) = 2(1- i). |
çcosç |
÷ |
+ isin ç |
÷ |
- cos(-p) - isin (-p)÷ |
|||||
|
è |
è |
|
2 ø |
è |
|
2 ø |
ø |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2. Вычислить интеграл ò |
ln3 z |
dz по дуге окружности |
|
z |
|
=1 (ln z – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
главное значение, ln 1= 0). |
|
|
1 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i ln3 z |
dz = |
ln4 z |
|
i |
= |
1 |
(ln |
4 |
i - ln |
4 |
1) |
= |
1 |
ln |
4 |
i = |
|
1 |
æ pi ö4 |
p4 |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ò1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç ÷ = |
|
|
||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
è |
2 ø |
64 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Вычислим этот интеграл другим способом. Делаем замену перемен- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ной: ln z = w, dw = |
dz |
|
. Дуга окружности |
|
z |
|
=1 переходит в отрезок мни- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0) и (0; p) . Интеграл примет |
||||||||||||||||||
мой оси, |
заключённый между точками (0; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
3 |
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
p |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
вид: |
|
|
|
|
ò ln |
|
z dz = ò w3dw = w |
|
|
02i = p |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
z |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
z = reiϕ, где |
|||||||||||
Этот |
интеграл можно вычислить |
ещё и так: пусть |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r = |z| = 1, тогда ln z = ij, dz = ieiϕdj, 0 £ j £ p/2. Получаем |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
ln3 |
z |
dz = |
2 i3j3ieij |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
j4 |
|
p |
= |
p4 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
ò |
z |
|
ò |
|
e |
ij |
|
|
|
dj = òj dj = |
|
4 |
|
|
02 |
64 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегральная формула Коши.
Если функция w = f(z) аналитическая в области D, ограниченной ку- сочно-гладким замкнутым контуром С, и на самом контуре, то справедлива интегральная формула Коши
f (z0 ) = |
1 |
f (z)dz , z0 Î D , |
(6.1) |
|
|||
|
2pi Cò z - z0 |
|
где контур С обходится так, что область D остаётся всё время слева. Если функция w = f(z) аналитична в области D и на ее границе С, то
для любого натурального n имеет место формула
f (n) (z0 ) = |
n! f (z)dz |
|
|
|
2pi òC (z - z0 )n +1 |
, где z0 |
Î D, zÎC. |
(6.2) |
Этой формулой можно пользоваться при вычислении некоторых интегралов.
Примеры. |
|
chiz |
|
||||
6.3. Вычислить интеграл ò |
|
|
dz . |
||||
|
2 |
+ 4z + 3 |
|||||
|
z |
|
=2 z |
|
|
||
|
|
|
|
33
Решение. Внутри окружности |z| = 2 знаменатель дроби обращается в нуль при z0 = –1. Чтобы применить формулу Коши, запишем интеграл в
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
chiz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
chiz |
|
|
|
|
|
|
|
|
chiz |
|
|
|
|
|
|
|||
виде: |
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
dz = |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
dz = |
ò |
|
z + 3 |
dz . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
=2 z |
|
+ 4z |
+ 3 |
|
|
|
z |
|
=2 (z +1)(z + 3) |
|
|
z |
|
=2 z - (-1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Здесь z0 |
= –1, а функция |
f (z) = |
chiz |
аналитическая в круге |
|
z |
|
£ 2 . По- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z + 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
chiz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch (-i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-1) = 2pi × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
этому |
|
|
|
|
|
dz = 2pi ×f |
|
|
|
|
= pi ×chi = picos1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z2 |
+ 4z + 3 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.4. |
|
Пользуясь |
интегральной формулой |
Коши, вычислить инте- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
грал ò |
|
ez2 dz |
|
|
, если: а). С: |z – 2 | = 1; б). С: |z – 2 |= 3; в). С: |z – 2 |= 5. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
- 6z |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а) В замкнутой области |
|z – 2| £ 1 подынтегральная функция анали- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тическая, поэтому |
|
ez2 dz |
= 0 , т. к. |
|
f (z)dz = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
òC z - 6z |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) В замкнутой области |
|
z - 2 |
|
£ 3 находится одна точка z0 = 0, в ко- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
торой знаменатель дроби обращается в нуль. Перепишем интеграл в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez2 dz |
|
|
|
|
|
|
ez2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
= |
ò |
|
|
z - 6 |
dz . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
- 6z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
z |
|
|
|
z−2 |
|
=3 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Функция f (z) = |
|
ez2 |
|
|
аналитическая в данной области, поэтому |
|||||||||||||||||||||||
|
z - |
6 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ò |
|
ez2 |
|
dz = 2pif (0) |
|
|
|
|
|
ez2 |
æ |
|
1 ö |
|
pi |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
2pi |
|
|
|
z=0 = 2piç |
- |
|
÷ |
= - |
|
. |
||||||||||||
=3 z(z |
- 6) |
z - 6 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
z−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
6 ø |
|
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) В области, ограниченной окружностью z - 2 = 5 , есть две точки z
= 0 и z = 6, в которых знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль. Непосредственно формулу Коши применять нельзя. Разложим
дробь |
1 |
|
на простейшие: |
|
|
|
|
||||||
z2 - 6z |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
= |
A |
+ |
B |
|
Þ A(z - 6) + Bz =1Þ A = - |
1 |
; B = |
1 |
. |
|
|
|
z2 - 6z |
z |
z - |
6 |
6 |
6 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
= |
× |
|
|
|
|
- |
× |
. Подставляя в интеграл, получим |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
z2 |
- |
6z |
6 |
z - |
6 |
|
|
z |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ò |
|
|
ez2 |
|
|
dz = |
1 |
|
|
ò |
|
|
|
ez2 |
|
dz - |
1 |
|
|
ò |
|
|
ez2 dz = |
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
z−2 |
|
=5 |
z |
|
- 6z |
|
|
|
|
6 |
|
z−2 |
|
=5 |
z - |
6 |
|
|
|
6 |
|
z−2 |
|
=5 |
|
z |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= |
1 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
× 2pie |
z2 |
|
|
|
|
|
|
pi |
|
|
36 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6 × 2pie |
|
|
|
|
z=6 - |
6 |
|
|
|
z=0 = |
3 (e |
|
|
-1). |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
6.5.Вычислить интеграл |
ò |
|
|
|
|
|
sin |
pz |
dz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z−1 |
=1 |
|
|
|
z |
|
-1 |
|
|
|
sin pz |
|
|
|
||||||||||||
Решение. Подынтегральная функция |
|
|
|
является аналитиче- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
z2 |
|
|
|
|
) |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
ской в области z -1 £1всюду, кроме точки z0 = 1. Выделим под знаком интеграла функцию f(z), являющуюся аналитической в круге z -1 £1. Для этого запишем подынтегральную функцию в виде
sin pz
sin pz |
|
= |
(z +1)2 |
, |
||
(z -1) |
2 |
( |
) |
2 |
||
2 |
|
|
z -1 |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
sin pz
и в качестве f(z) возьмем (z +1)2 . Полагая в формуле (6.2) n = 1, полу-
|
|
|
|
|
|
sin pz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чим |
|
z−ò1 |
|
|
|
|
z +1 |
2 |
dz = |
2pif |
¢ |
(1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
=1 (z -1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
sin pz |
|
ö¢ |
pcospz |
×(z +1) |
2 |
- 2sin pz |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Находим производную f ¢(z) = ç |
|
÷ = |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
(z +1) |
3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èç (z +1) |
ø÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) = |
2pcosp |
p |
|
|
|
|
|
|
|
sin pz |
|
|
|
p2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
= - 4 . Следовательно, ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Отсюда f |
|
23 |
|
|
( |
2 |
) |
2 dz = - 2 i. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z−1 |
|
=1 |
|
|
z -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 . |
Ряды в комплексной пло ско сти . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Пусть имеем ряд с комплексными членами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 +z2 +K+zn +K=åzn , где |
zn =xn +iyn . |
|
|
|
|
|
(7.1) |
n=1
35
Ряд (7.1) сходится тогда и только тогда, когда сходится как ряд
|
|
|
∞ |
|
x1 |
+ x2 |
+K+ xn |
+K = åxn , |
(7.2) |
так и ряд |
|
|
n=1 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
+ y2 |
+ K+ yn |
+K = åyn , |
(7.3) |
n=1
Ряд (7.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей членов ряда (7.1):
∞ |
|
z1 + z2 +K + zn +K = å zn . |
(7.4) |
n =1
Ряды (7.2), (7.3), (7.4) являются рядами с действительными членами, и вопрос об их сходимости решается с помощью известных признаков сходимости рядов в действительной области.
Примеры
i π
7.1. Исследовать сходимость ряда å∞ e n .
n =1 n
Решение. Так как ei πn = cos πn + isin πn , то рассмотрим два ряда с дейст-
∞ |
cos p |
∞ |
sin p |
|
вительными членами: ряд å |
n |
есть ряд расходящийся, а ряд å |
n |
|
n |
n |
|||
n =1 |
n =1 |
сходится. Следовательно, данный ряд расходится.
∞ ein
7.2. Исследовать сходимость ряда ån=1 n2 .
Решение. Имеем ein = cosn + isin n, т. е. вопрос о сходимости данного ряда сводится к вопросу о сходимости рядов с действительными членами:
∞ |
cos n |
∞ |
sin n |
|
|
||
å |
|
|
и å |
|
|
. |
Каждый из этих рядов сходится абсолютно. Следова- |
n |
2 |
n |
2 |
||||
n =1 |
|
n =1 |
|
|
|
тельно, данный ряд сходится абсолютно.
Степенным рядом в комплексной плоскости называется ряд вида
∞ |
|
c0 + c1z + c2 z2 +K + cn zn + K = åcn zn , |
(7.5) |
n =1
где с0, с1, …, сn,… -комплексные постоянные, а z –комплексная переменная.
36
ТЕОРЕМА АБЕЛЯ. Если степенной ряд (7.5) сходится при некотором значении z = z0, то он сходится и притом абсолютно при всех значе-
ниях z, для которых z < z0 . Если ряд (7.5) расходится при z = z1, то он расходится и при любом значении z, для которого z > z1 .
Область сходимости ряда (7.5) есть круг с центром в начале координат. Радиус сходимости степенного ряда определяется по формулам
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = lim |
|
cn |
|
|
|
, |
|
(cn |
¹ 0) |
|
|
|
(7.6) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n →∞ |
n |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = lim |
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
(7.7) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cn |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n →∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
если указанные пределы существуют. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.3. Найти радиус степенного ряда åcosin × zn . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =0 |
|
|
|
|
||||
Решение. |
Имеем |
cn = cosin = |
|
en + e− n |
|
= chn. Чтобы найти радиус схо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
димости R, применим формулу (7.6): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
R = lim |
|
|
|
chn |
|
|
|
= lim |
|
|
|
chn |
|
|
|
= lim |
|
chn |
= |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n →∞ |
ch |
n +1 |
|
|
n→∞ ch |
n |
+ |
|
|
|
n→∞ chn ×ch1 |
+ shn ×sh1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= e−1 , |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n→∞ ch1+ thn ×sh1 |
|
+ sh1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
так как lim thn = lim |
en |
- e− n |
= lim |
1- e−2n |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ e− n |
1 |
+ e−2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n →∞ |
|
n →∞ en |
|
|
|
n →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, радиус сходимости данного степенного ряда R = e-1.
∞ |
n |
7.4. Найти радиус сходимости степенного ряда å(1+ i) × zn . |
|
n = |
0 |
Решение. Чтобы определить радиус сходимости данного ряда, вос- |
пользуемся формулой (7.7). Находим модуль коэффициента cn = (1 + i)n: cn = (1+ i)n = 1+ i n = (2 )n = 2n 2 .
Таким образом, R = lim |
|
1 |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||
n →∞ n 2n 2 |
2 |
|
37
Ряды Тейлора.
Функция f(z), однозначная и аналитическая в точке z = z0, разлагается в окрестности этой точки в степенной ряд Тейлора
f (z) = åcn (z - z0 )n , |
(7.8) |
коэффициенты которого сn вычисляются по формулам
c |
|
= |
1 |
|
f (z)dz |
|
= |
f (n ) (z |
0 ) |
(n = 0,1,2,K), |
(7.9) |
|
n |
2pi |
(z - z |
n |
1 |
n! |
|
||||||
|
|
|
Γò |
0 ) + |
|
|
|
|
|
где Г-окружность с центром в точке z = z0, целиком лежащая в окрестности точки z0, в которой функция f(z) аналитична. центр круга сходимости в точке z0. Окружность, центр которой находится в этой точке, проходит через особую точку x функции f(z), ближайшую к точке z0, т. е. радиус сходимости ряда (7.8) равен расстоянию от точки z0 до ближайшей особой точки функции f(z).
Для функций ln (1 + z), (1 + z)α имеют место следующие разложения в ряд Тейлора в окрестности точки z0 = 0:
|
|
z2 |
|
z3 |
|
n 1 |
zn |
|
|
|
||||
ln (1+ z) = z - |
|
|
+ |
|
-K + |
(-1)( − ) |
|
+ K, |
(R =1); |
(7.10) |
||||
2 |
|
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
(1+ z)α = 1+ az + |
a ×(a -1) |
z2 |
+ |
a(a -1)(a - 2) |
z3 + K+ |
|
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
3! |
|
|
(7.11) |
||
|
a(a -1)K(a + n -1) |
zn + K, (R =1). |
|
|
||||||||||
+ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, при a = – 1 имеем
1 |
= 1- z + z2 -K+ (-1)n × zn + K, (R =1). |
(7.12) |
|
1+ z |
|||
|
|
Формула (7.10) дает разложение в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0 главного значения логарифма. Чтобы получить ряд Тейлора для других значений многозначной функции Ln (1 + z), следует к ряду (10) прибавлять числа 2npi, n = ±1, ±2, …:
Ln (1+ z) = z - z2 + z3 -K+ 2npi. 2 3
Примеры.
7.5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0 функцию
z |
|
f (z) = z2 - 2z - 3 |
, используя разложение (7.12), и найти радиус сходимо- |
сти ряда.
Решение. Разложим данную функцию на простейшие дроби:
38
z |
= |
1 |
× |
1 |
+ |
3 |
× |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
z2 - 2z - 3 4 |
|
z +1 4 |
|
z - 3 |
Преобразуем правую часть этого разложения следующим образом:
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
- |
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
z +1 |
4 |
1- |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя разложение (7.12) функции |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
+ z |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f (z) |
|
1 |
(1- z + z |
2 |
|
|
3 |
|
+K)- |
1 æ |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z2 |
|
ö |
|
|||||||||||||||||||
= |
|
|
|
- z |
|
|
|
ç |
1 |
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ K÷ |
= |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 è |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
ø |
|
||||||||
|
1 |
æ |
|
4 |
|
8 |
|
2 |
|
|
28 |
|
|
3 |
ö |
|
|
|
|
z |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
7 |
|
3 |
|
|||||||||||
= |
|
ç |
- |
|
|
z + |
|
z |
|
- |
|
z |
|
+ K÷ = - |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
z |
|
- |
|
|
z |
|
+ K |
||||||||||||
4 |
3 |
9 |
|
27 |
|
3 |
3 |
2 |
|
3 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ближайшей к точке z = 0 особой точкой данной функции является точка z = – 1.Поэтому радиус сходимости полученного ряда R = 1.
7.6. Разложить по степеням z – 3 функцию f (z) = |
|
1 |
. |
|
|
||
3 |
- 2z |
Решение. Преобразуем данную функцию следующим образом:
1 |
|
1 é |
|
2 |
(z - 3) + |
22 |
(z - 3) |
2 |
|
23 |
(z - 3) |
3 |
ù |
|
|||
|
= |
|
ê1 |
- |
|
|
|
|
- |
|
|
|
+Kú |
= |
|||
3 - 2z |
3 |
3 |
3 |
2 |
|
3 |
3 |
|
|||||||||
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
= - |
1 |
+ |
2 |
(z - 3) - |
22 |
(z - 3)2 |
+ |
|
23 |
(z - 3)3 |
-K |
|
|
||||||
3 |
2 |
3 |
4 |
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
(z - 3) |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
Этот ряд сходится при условии |
< 1, |
или |
|
z - 3 |
|
< |
, т. е. ра- |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
3 |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
диус сходимости ряда R = 1.
7.7. Найти несколько первых членов разложения в ряд по степеням z функции f(z) = tg z и найти радиус сходимости ряда.
Решение. Пусть искомый ряд имеет вид
f (z) = c0 + c1 z + c2 z2 + c3 z3 + …,
где cn = f (nn!) (0) , n = 0,1,2,K, f (0) (0) = f (0) = 0.
Для нахождения значений производных f(n) (z) в точке z = 0 продифференцируем данную функцию несколько раз. Получим:
|
¢ |
|
1 |
|
¢ |
|
|
2 |
|
f |
(z) = cos2 z |
или f |
(z) =1 |
+ f |
|
(z), |
|||
|
|
|
f ¢¢(z) = 2f (z)f ¢(z),
39
f |
¢¢¢ |
(z) = 2ëf |
¢2 |
(z) + f (z)f |
¢¢ |
(z)û, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
( |
|
) |
|
é |
|
( |
|
) |
|
|
( |
|
) |
|
|
|
( |
|
|
ù |
( |
|
)û |
|
|
||||
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
f ¢¢¢ |
|
|
|
|||||||||
f IV |
|
z |
|
= 2 é3f ¢ |
|
z |
|
f |
¢¢ |
|
z |
|
+ f |
|
z |
|
|
z |
ù, |
|
|
|||||||||
f |
V |
(z) = |
é |
|
¢¢2 |
(z) |
+ 4f |
¢ |
(z)f |
¢¢¢ |
(z) + f (z)f |
IV |
ù |
|||||||||||||||||
|
2 ë3f |
|
|
|
|
|
|
(z)û, и т.д. |
||||||||||||||||||||||
Полагая в получившихся выражениях z = 0, найдем |
||||||||||||||||||||||||||||||
f ¢(0) = 1, |
f ¢¢(0) = 0, |
|
f ¢¢¢(0) = 2, |
f IV (0) = 0, |
|
f V (0) = 16, K |
Подставляя найденные значения производных в ряд, получим tgz = z + 3!2 z3 + 165! z5 + K
Ближайшей особой точкой к точке z = 0 является точка x = p/2. Следовательно, радиус сходимости полученного ряда R = p/2.
Ряды Лорана.
Функция f (z), однозначная и аналитическая в кольце r < | z – z0 | < R (не исключаются случаи, когда r = 0 и R = ¥), разлагается в этом кольце в ряд Лорана:
∞ |
−1 |
∞ |
|
(z - z0 )n , (7.13) |
f (z) = åc f (z) = å cn |
(z - z0 )n = å cn |
(z - z0 )n + åcn |
||
n =−∞ |
n = −∞ |
n = |
0 |
|
где коэффициенты сn находятся по формулам
cn = |
1 |
|
f (z)dz |
, n = 0, ±1,±2,K |
(7.14) |
|
2pi |
òΓ (z - z0 )n +1 |
|||||
|
|
|
Здесь Г – произвольная окружность с центром в точке z0, лежащая внутри данного кольца.
−1 |
|
|
∞ |
c− n |
|
|
|
В формуле (7.13) ряд å cn (z - z |
0 ) |
n |
= å |
|
|
называется главной |
|
|
(z - z |
0 ) |
n |
||||
n =−∞ |
|
|
n =1 |
|
|
∞
частью ряда Лорана, а ряд åcn (z - z0 )n называется правильной частью
n =0
ряда Лорана.
На практике при нахождении коэффициентов сn стараются избегать применения формул (7.13),(7.14), т.к. они приводят к громоздким выкладкам. Обычно, если это возможно, используют готовые разложения в ряд Тейлора элементарных функций.
Примеры.
7.8. Разложить в ряд Лорана в кольце 0 < | z – 1 | < 2 функцию
f (z) = |
1 |
. |
(z2 -1)2 |
40
Решение. Нам нужно представить данную функцию в виде суммы степеней (положительных и отрицательных) разности (z – 1). Для этого разложим дробь на простейшие дроби:
f (z) = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
æ |
1 |
|
|
|
1 ö2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
ç |
|
|
|
- |
|
|
÷ |
= |
|
|
|
|
||||||||
( |
|
|
|
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
è z -1 |
|
|
z +1ø |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
z |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.15) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||
= |
× |
|
|
|
|
- |
× |
+ |
× |
|
+ |
× |
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|||||||||||||||
|
4 (z -1)2 |
|
|
4 z -1 4 z +1 4 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z +1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первые два слагаемые в правой части (7.15) имеют нужный вид, так как представляют собой степени разности (z – 1). Последние два слагаемых запишем в виде:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
é |
æ z -1öù−2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
ê1+ |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ú . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + |
1 |
(z |
-1) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z - |
1 |
|
|
|
(z +1) |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
è 2 |
|
øû |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя формулу (7.12), а затем формулу (7.11) при a = –2, полу- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
чим: |
|
|
|
é |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
z -1 |
|
|
æ z -1 |
ö |
2 |
|
|
|
æ z |
-1ö |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
1- |
+ |
|
- |
|
|
|
|
+K , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
z +1 2 |
ê |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 2 |
|
|
ø |
|
|
|
|
è |
|
|
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= 1 1- 2 × z -1 + -2(-2 -1) æ z -1ö + -2(-2 -1)(-2 - 2) æ z -1ö +K . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
ú |
||||
( |
|
|
|
|
|
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
2 |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
è 2 |
ø |
|
|
û |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя полученные разложения в (7.15), запишем разложение в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд Лорана заданной функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
é |
|
|
|
|
z -1 |
|
|
æ z -1ö2 |
|
æ z -1ö3 |
|
|
|
|
ù |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
× ê1 |
- |
|
|
+ ç |
|
|
÷ |
- |
ç |
|
÷ |
+Kú + |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z2 - |
|
|
|
|
|
|
4 (z -1) |
|
|
|
|
|
|
|
4 z - |
1 8 |
|
ë |
|
|
|
|
2 |
|
è 2 ø |
|
|
|
è |
|
2 ø |
|
|
|
|
û |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
é |
|
|
|
|
(z -1) + |
3 |
|
|
(z - |
1) |
2 |
|
|
|
4 |
|
|
(z |
-1) |
3 |
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
× |
ê1- |
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
+Kú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
16 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z -1) |
|
|
(z - |
1) |
2 |
|
|
|
|
(z |
-1) |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
× |
|
- |
|
× |
|
+ |
|
|
- |
|
|
+ |
|
|
|
- |
|
|
|
+K |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
z2 |
-1 |
2 |
4 |
(z -1)2 |
4 |
z -1 |
16 |
|
8 |
64 |
|
64 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7.9. Разложить в ряд Лорана функцию f (z) = z2 ×cos |
1 |
|
|
|
в окрестности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки z0 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Для любого комплексного z имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosz =1- |
|
z2 |
+ |
z4 |
- |
z6 |
|
+K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
4! |
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|