На рис 5.4 изображены графики акф и чакф:

5.2.1.3.Проверка наличия тренда

Для проверки гипотезы о наличии тренда используем метод Фостера-Стюарта (см. п. 5.4.4) рис.5.5.

В ячейку столбца С ставится 1, если уровень временного ряда, находящийся в одной строке с данной ячейкой, больше всех предыдущих, если не больше - то ноль (5.19). Для этого в ячейку С5 записывается выражение:

=ЕСЛИ(СУММ(ЕСЛИ(B5>$B$4:B4;1;0))>=A4;1;0).

Т.к. в выражении есть ссылка на блок ячеек, то для выполнения вычислений необходимо нажать клавишу F2 и затем группу клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. После этого ячейку С5 копируем в блок ячеек C6:C27.

В ячейку столбца D ставится 1 если уровень временного ряда, находящийся в одной строке с данной ячейкой, меньше всех предыдущих, если не меньше - то ноль (5.19). Для этого в ячейку D5 записывается выражение:

=ЕСЛИ(СУММ(ЕСЛИ(B5<$B$4:B4;1;0))>=A4;1;0).

Т.к. в выражении есть ссылка на блок ячеек, то для выполнения вычислений необходимо нажать клавишу F2 и затем группу клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. После этого ячейку D5 копируем в блок ячеек D6:D27.

В ячейку Е5 записываем выражение =C5+D5 (расчет s_t = u_t + v_t) и копируем ее в блок ячеек Е6:E27;

В ячейку F5 записываем выражение =C5-D5 (расчет d_t = u_t - v_t).и копируем ее в блок ячеек F6:F27;

Затем рассчитываем число единичек в столбце Е и число единичек в столбце F (5.18).

Далее определяем критерий Стьюдента для тенденции дисперсии t_S (ячейка L6) и критерий Стьюдента для тренда t_d (ячейка L7) (5.20). Математическое ожидание величины S - m=5.632 (ячейка I6) и среднеквадратические ошибки величин S и D - s_s=1.791 (ячейка I7) и s_d=2.373 (ячейка I8) находим по табл.5.2. Критическое значение критерия Стьюдента определяем с помощью встроенной статистической функцией =СТЬЮДРАСПОБР(0.05;23) для уровня значимости  = 0.05 и числа степеней свободы  = n-1 = 23.

В результате сравнения расчетных значений критериев Стьюдента и критического значения делаем заключение, что в наблюдаемом временном ряде имеется тенденция среднего (тренд) и отсутствует тенденция дисперсии.

5.2.1.4.Анализ основной тенденции временного ряда

Выделение основной тенденции временного ряда выполнялось с помощью механического выравнивания и аналитического выравнивания (пример на рис.5.6).

Механическое выравнивание выполнялось с использованием простой скользящей средней (столбец С) и взвешенной скользящей средней (столбец D) при ширине интервала сглаживания в обеих случаях равным 5 (5.25, 5.26). В ячейку С6 вводим выражение =(B4+B5+B6+B7+B8)/5 и копируем ее в блок ячеек С6:С25. В ячейку D6 вводим выражение =1/35*(-3*B4+12*B5+17*B6+12*B7-3*B8) и копируем ее в блок ячеек D6:D25.

Аналитическое выравнивание заключается в подборе аналитического выражения (кривой роста), которое наиболее точно аппроксимирует наблюдаемые уровни временного ряда. В табличном процессоре это можно выполнить следующим образом:

Строится график временного ряда, например точечный рис.5.7. После этого подбирается уравнение тренда. Для этого выделяется график ряда и выполняется команда /Диаграмма /Добавить линию тренда. По этой команде открывается окно диалога рис.5.8. Диалог имеет две вкладки /Тип и /Параметры. Раскрываем вкладку /Параметры. Устанавливаем на ней /Прогноз на 3 единицы, устанавливаем флажки напротив указаний диалога /Показать уравнение на диаграмме и /Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2)

На вкладке /Тип по величине R^2 (наибольшей, но с учетом реальности прогноза) подбираем тип кривой тренда, в нашем случае полином 4-ой степени. На графике (рис.5.7) показаны коэффициенты полинома и величина R^2. Коэффициенты уравнения тренда переносим в ячейки таблицы рис.5.9.

Определяем расчетные значения (по уравнению тренда) временного рядаy_t^* (столбец G). Для этого в ячейку G4 (рис.5.6) вводим выражение:

=$P$20+$P$21*A4+$P$22*A4^2+$P$23*A4^3+$P$24*A4^4,

где абсолютные ссылки указывают на ячейки с коэффициентами тренда (см. рис 5.9.). Затем это выражение копируем в блок ячеек G4:G27.

Определяем случайную компоненту (остатки) как разность между наблюдаемыми значениями временного ряда и расчетными значениями E = Y - Y^*(столбец H). В ячейку H4 (рис.5.6) вводим выражение =B4-G4, которую копируем в блок ячеек H4:H27.

В последующих столбцах определяем величины, которые используются для проверки точности и адекватности расчетной модели:

• в столбце I - квадрат случайной компоненты Е², выражение =H4^2;

• в столбце J - квадрат разности двух соседних значений случайной компоненты, выражение =(H5-H4)^2;

• в столбце К - абсолютное значение отношения, где в числителе разность между наблюдаемыми и расчетными значениями, в знаменателе наблюдаемые значения временного ряда, выражение =ABS((B4-G4)/B4);

• в столбце L - разность между наблюдаемыми значениями и средним значением ряда, выражение =B4-$R$27;

• в столбце M - разность между расчетными значениями и средним значением ряда, выражение =G4-$R$27.

Перечисленные выражения копируются на всю длину временного ряда. В столбцах G, H, I, J, K определяются итоговые суммы.

Далее определяются показатели точности и адекватности модели, представленной уравнением тренда (рис.5.10):

• ячейка R27 - среднее значение, выражение =СРЗНАЧ(B4:B27);

• ячейка R28 - средняя квадратическая ошибка аппроксимации (5.36), выражение =КОРЕНЬ(I28/24);

• ячейка R29 - критерий Дарбина-Уотсона (5.37), выражение =J28/I28;

• ячейка R30 - относительная ошибка аппроксимации (5.37), выражение =K28/24;

• ячейка R31 - коэффициент детерминации (5.38), выражение =МУМНОЖ(ТРАНСП(M4:M27);M4:M27)/МУМНОЖ(ТРАНСП(L4:L27);L4:L27)

Т.к. в выражении есть ссылки на блок ячеек, то для выполнения вычислений необходимо нажать клавишуF2 и затем группу клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

• ячейка R32 - множественный коэффициент корреляции, корень квадратный из R², выражение =КОРЕНЬ(R31);

• ячейка R33 - значение t_ статистики Стьюдента, выражение =СТЬЮДРАСПОБР(0.05;19).

Выполняется прогноз по кривой роста (рис.5.11). Точечный прогноз (столбец G) определяется подстановкой в уравнение тренда последующих значений t (столбец F). В ячейку G32 записывается выражение: =$P$20+$P$21*F32+$P$22*F32^2+$P$23*F32^3+$P$24*F32^4+$P$25*F32^5, которая копируется в последующие ячейки столбца G.

Границы доверительного интервала прогноза определяются по (5.82):

• в ячейке H32 - нижняя граница, выражение =G32-$R$33*$R$28;

• в ячейке I32 - верхняя граница, выражение =G32+$R$33*$R$28.

Затем эти выражения копируются в следующие строки прогноза.

Примечание: Аппроксимация наблюдений сложными функциями дает хорошее приближение к фактическим наблюдениям, но снижает устойчивость модели на периоде прогнозирования. Поэтому использовать для прогнозирования такие модели (например, полином выше второй степени) опасно.