2.5. Правило Крамера

Рассмотрим теперь частный случай системы (2.11), а именно случай, когда s=n, т.е. когда число уравнений системы и число неизвестных в ней одинаковы:

(2.23)

Остановимся на методе ее решения, связанном с именем Крамера (правиле Крамера).

Итак, рассмотрим систему (2.23), матрицу ее коэффициентов и ее определитель, который мы для простоты обозначим:

Разложим этот определитель по элементам j-го столбца:

,

а затем заменим в этом разложении элементы j-го столбца системой n произвольных чисел . Выражение

,

которое мы получим, будет, очевидно, служить разложением по элементам j-го столбца определителя

получающегося из определителя заменой его j-го столбца на столбец из чисел.

Применим это к случаю, когда в качестве чисел берутся элементы k-го столбца определителяпри. Определитель, который мы получим после такой замены, содержит два одинаковых столбца и поэтому равен нулю. Тогда равно нулю и разложение этого определителя по его j-му столбцу, т.е.

.

Предположим, что определитель , называемыйопределителем системы, отличен от нуля, что система совместна и - одно из ее решений. Справедливы, следовательно, равенства:

(2.24)

Пусть j будет любым числом из 1,2,...,n. Умножим обе части первого из равенств (2.24) на , обе части второго уравнения умножим наи т.д., обе части последнего уравнения на. Сложим левые и правые части получившихся равенств:

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

Коэффициент при в этом равенстве равен, а при всех остальныхкоэффициенты равны нулю. Свободный же член в этом равенстве является определителем, получающимся из определителя d после замены в нем j-го столбца столбцом из свободных членов системы (2.24). Если этот определитель обозначить через, то последнее равенство примет вид:, откуда, ввиду того, что, получаем, что.

Этим доказано, что, если и система совместна, то она имеет единственное решение:

Покажем теперь, что система чисел (2.25) является решением системы (2.24), т.е. что система (2.24) совместная.

Подставим в i-е уравнение системы (2.24) значения неизвестных из (2.25):

. Этим доказано, что система чисел (2.25) действительно служит решением для системы уравнений (2.24).

 Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, обладает решением, и при том  только одним. Это решение получается по формулам (2.25), которые принято называть правилом Крамера.

Мы не рассмотрели случай, когда определитель , поговорим об этом позже.

2.6. Решение системы линейных уравнений снеизвестными методом Гаусса

Рассмотрим снова систему линейных уравнений снеизвестными:

Значительно более удобным, чем правило Крамера, при решении систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса). Тем более, что методом Гаусса можно решать системы, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных.

В дальнейшем нам придется делать следующие преобразования системы уравнений (сравните их с преобразованиями, описанными при рассмотрении десятого свойства определителей): обе части одного из уравнений системы, умноженные на одно и то же число, вычитать из соответствующих частей некоторого другого уравнения системы. Такие преобразования называются  линейными. Возьмем для определенности первые два уравнения системы. Обе части первого из них умножим на число и вычтем из соответствующих частей второго. Мы получим новую систему уравнений

где   при j=1,2,...,n, .

Системы уравнений (2.26) и (2.27) эквивалентны, т.е. они или обе несовместны, или же обе совместны и обладают одними и теми же решениями. В самом деле, пусть некоторое решение системы (2.26). Эти числа удовлетворяют всем уравнениям системы (2.27), кроме второго. Они удовлетворяют, однако, и второму уравнению этой систему - достаточно вспомнить, как это уравнение выражается через первое и второе уравнения системы (2.26). Нетрудно видеть, что верно и обратное, всякое решение системы (2.27) является решением системы (2.26).

Понятно, что если к системе (2.26) несколько раз будут применены преобразования указанного типа, то получившаяся при этом система будет эквивалентна системе (2.26).

Может случиться, что после выполнения таких преобразований в нашей системе появится уравнение, все коэффициенты которого равны нулю. Если и его свободный член равен нулю, то уравнение удовлетворяется при любых значениях неизвестных, и поэтому, отбрасывая это уравнение, мы придем к системе уравнений, эквивалентной исходной системе. Если же свободный член рассматриваемого уравнения не равен нулю, то это уравнение не имеет решения, т.е. полученная нами система и эквивалентная ей исходная система решений не имеют, и являются несовместными.

Изложим теперь метод Гаусса.

Рассмотрим систему (2.26). Пусть для определенности . Если, то переставим уравнения и, если надо, столбцы (поменяем номера неизвестных) так, чтобы первый коэффициент в первом уравнении не был равен нулю. Преобразуем теперь систему (2.26), исключая неизвестнуюиз всех уравнений, кроме первого. Для этого обе части первого уравнения умножим наи прибавим к соответствующим частям i-го уравнения (i=2,...,s). Таким образом, мы придем к новой системе, эквивалентной исходной:

Заметим, что число уравнений могло уменьшиться из-за того, что в ходе вычислений было получено уравнение, у которого левая и правая части равны нулю.

Нам нет пока необходимости явно записывать новые коэффициенты через коэффициенты исходной системы.

Преобразуем теперь систему (2.28). При этом первое ее уравнение мы больше трогать не будем. Подлежащей преобразованиям будем считать только часть системы (2.28), состоящую из всех уравнений кроме первого. При этом мы, конечно, считаем, что среди этих уравнений нет таких, все коэффициенты левых частей которых равны нулю, - такие уравнения мы отбросили бы, если бы и их свободные члены равнялись нулю, а в противном случае мы бы уже доказали несовместность исходной системы. Таким образом, среди коэффициентов есть отличный от нуля. Пусть для определенности это. Преобразуем теперь систему (2.28), прибавляя к обеим частям третьего и каждого из следующих уравнений левую и правую части второго уравнения, умноженные соответственно на числа

Этим будет исключено неизвестное из всех уравнений кроме первого и второго, и мы приходим к эквивалентной системе:

Наша система содержит теперь t (t<=s) уравнений. Дальнейшим преобразованиям подлежит лишь часть полученной системы, содержащая все уравнения кроме первого и второго.

Когда же остановится этот процесс последовательного исключения неизвестных? Возможны следующие случаи.

1. Мы приходим к системе, одно из уравнений которой имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты его левой части равны нулю, в этом случае исходная система несовместна.

2. Мы получаем следующую систему уравнений, эквивалентную системе (2.26):

здесь (i=1,2,...,k), отметим так же, чтои, очевидно. В этом случае система (2.26) совместная. Она будет определенной прии неопределенной при.

а) Действительно, если , то система (2.30) имеет вид:

Из последнего уравнения мы получаем вполне определенное значение для . Подставляя его в предпоследнее уравнение, найдем однозначно определенное значение для0. Продолжая так далее, найдем, что система (2.31), а потому и система (2.26), обладают единственным решением, т.е. эти системы являются определенными.

б) Если , то для неизвестных, назовем ихсвободными, возьмем произвольные числовые значения, после чего двигаясь по системе (2.30) (обратный ход метода Гаусса) снизу вверх, мы как и ранее найдем для остальных неизвестных вполне определенные значения. Так как значения для свободных переменных можно выбирать бесконечным числом разных способов, то система (2.30) и, следовательно, исходная система, будут совместны, но неопределены. Очевидно, что указанным здесь способом (при всевозможных выборах значений для свободных переменных) будут найдены все решения системы (2.30).

Следует иметь в виду, что треугольная или трапециидальная формы систем уравнений (2.31), (2.30) получилась ввиду предположения о том, что диагональные коэффициенты этих систем не равны нулю. В общем случае та система уравнений, к которой мы придем после доведения до конца метода исключения, приобретет треугольную или трапециидальную форму лишь после надлежащего изменения номеров переменных и уравнений.

Таким образом, суммируя сказанное, мы получаем, что метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система будет несовместной, если в процессе преобразований получается уравнение, в котором коэффициенты в левой части все равны нулю, а свободный член нулю не равен. Если же такого уравнения мы не встретим, то система совместная. Совместная система определена, если она приводится к треугольному виду, и не определена - если к трапециидальному.

При решении системы линейных уравнений методом Гаусса рекомендуется выписать матрицу коэффициентов системы и присоединить к ней справа столбец свободных членов, для удобства отделяя его вертикальной чертой, и все преобразования выполнять над строками этой расширенной матрицы. Заметим, что в ходе преобразований мы можем менять местами строки расширенной матрицы. Можно переставлять также и столбцы коэффициентов системы, но при этом важно помнить какой столбец какой переменной соответствует. Если вы осуществляете перестановку столбцов, то следует над ними указать каким неизвестным исходной системы они соответствуют.

Пример 2.10. Решить систему:

Ее расширенная матрица имеет вид:

Подвергая эту матрицу описанным преобразованиям, последовательно получаем:

Последняя матрица соответствует системе

обладающей единственным решением: .