§8. Выбор шкалы измерения.

«Мороженое в сто раз вкуснее супа»

(откровения ребенка)

Измерение – это процесс, включающий в себя два этапа:

1. организацию взаимодействия объектов, свойства которых измеряются с некоторым выделенным объектом, называемым измерительным прибором;

2. отображение состояния измерительного прибора, взаимодействующего с измеряемым объектом на множество символов протокола наблюдений.

Словарь символов протокола может включать в себя любые знаки, цифры и т.п., т.е. любую знаковую систему. Важно чтобы язык протокола позволял делать однозначное отображение состояния прибора в протокол (гомоморфизм), а в случае необходимости и обратно по протоколу восстанавливать состояние прибора (гомеоморфизм).

В последнем случае различным состояниям ставят в соответствие разные обозначения, а не различным состояниям одинаковые обозначения. Это значит, что как состояние объекта так и их обозначения удовлетворяют следующим аксиомам тождества:

АКСИОМА 1: либо А=В, либо А≠В

АКСИОМА 2: если А=В, то В=А

АКСИОМА 3: если А=В и В=С, то А=С

Для этого достаточно, чтобы каждое состояние прибора обозначалось своим уникальным символом.

Пусть S - множество значений, свойств объектов А,В,С…,

множество их весов - а,b,c.

Ri-отношение между объектами по их весам.

R₁ = а R₁ b – объект а легче объекта b.

Система Е={Si,Ri}-эмпирическая система с отношениями. Если S –множество свойств объекта, а Ri - множество отношений между объектами по этим свойствам, то для того, чтобы было удобно высказываться об отношениях в эмпирической системе, подбирают некоторую знаковую систему (чаще всего числовую систему):

N=M,P₁,P₂… где

М-множество чисел,

Pi-определенные отношения на числах выбранные так, чтобы с их помощью легко и однозначно отражались соответствующие отношения Ri из эмпирической системы.

Обычно одному и тому же эмпирическому содержанию будут соответствовать разные числа. В теории измерения важную роль играют понятия шкала, тип шкалы и допустимые преобразования.

Шкалой называется тройка <E,N,Ψ>, где

Ψ-конкретный способ гомоморфного отображения Е на N. ()

При другом гомоморфном изображении Е на N (например запись веса в тоннах) тройка <E,N,g> тоже будет шкалой (). Если с помощью преобразования φ отображение Ψ можно взаимно однозначно перевести в отображениеg (g=φΨ; Ψ=φg) то шкалы <E,N,Ψ> и <E,N,g>считают принадлежащими к одному типу шкалы. А преобразование φ – допустимым преобразование для данного типа шкалы.

Таким образом тип шкалы однозначно определяется классом допустимых преобразований.

Типов шкал довольно много и мы рассмотрим лишь распространенные в инженерной графике и, расположим их в порядке убывание их силы.

Чем сильнее шкала, тем разнообразнее действия, которые производить над результатами массовых измерений, выполненных в этой шкале, a с другой стороны, чем шире класс допустимых преобразований, тем шкала слабее.

1. Абсолютная шкала. (самая сильная) Допустимое преобразование тождественное.

(х)Х шкала опирается на процедуру счета, результаты измерения в шкале – это число, выражающее количество элементов в множестве.

Если мы имеем много таких чисел, то их можно складывать, вычитать, умножать, делить и все эти действия эмпирически осмыслены.

2. Шкала отношений. Это более слабый тип шкалы. Здесь допустимый тип преобразований(х) = ах, а > 0; (1) Это шкалы для измерения весов, длин и т. д. Шкала отношений удовлетворяет следующим дополнительным аксиомам: АКСИОМА 4: если А > В, то В < А

АКСИОМА 5: если А > В и В > C, то А >CАксиомы аддитивности: АКСИОМА 6: Если А = Р и В > 0, то А + В >P

АКСИОМА 7: А + В = В + А АКСИОМА 8: Если А = Р и В = Q, то А + В =P+QАКСИОМА 9: (А + В) + С = А + (В + С)

3.Шкала интервалов. Допустимый тип преобразований(х) = ах +b, а > 0; (2) Здесь можно менять как единицы измерения, так и начало отсчета

(Например: градусы С ⁰ (Цельсий), К⁰(Кельвин),F⁰(Фаренгейт), Р (давление), промежутки времениt).

Нельзя говорить, что t⁰воды увеличилась в 2 раза, при нагревании с 5 до 10 С⁰, т. к. 41⁰до 50⁰по Фаренгейту.F= 9/5*C+ 32

4.Шкала порядка.(х) – любое монотонное преобразование, т. е. такое при котором не меняется порядок чисел. (Например:log,V,x², и т. д. ).

Обычно вводят такие аксиомы: АКСИОМА 4: Либо А В, либо АВ АКСИОМА 5: Если АВ и ВС, то АС Пример: шкала ветра по Ботфорту, шкала твердости по Мосу (алмаз - тальк)

5.Номинальная шкала.(самая слабая)(х) – любое взаимнооднозначное преобразование (такое, при котором не меняется порядок чисел), но над результатами этой шкалы не допустимы никакие преобразования, кроме совпадений.

(Например: запахи, болезни, цвета, профессии). Наибольшую информацию содержат сильные шкалы.

Поскольку слабые шкалы наиболее помехоустойчивые, при всяких условиях, измерения лучше проводить в них, и они не дорогие.

В более сильной шкале можно узнать всё, что заключено в слабой, НО не наоборот.

Пример:В группе А – 15 студентов, В-20, С-30. Абсолютной шкалой мы можем узнать следубщее:

В А студентов в два раза меньше, чем в С – шкала отношений

В В студентов на 10 меньше, чем в С – шкала интервалов

В А студентов меньше, чем в В и С – шкала порядка.