Учебно-методическое пособие ВМ 2часть
.pdf
|
|
4 |
|
|
x 1 |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
68. |
|
4 |
69. |
|
3 2x x |
2 |
|
4arcsin |
c |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
70. |
|
|
ln(3x 1 9x2 6x 2) c |
71. |
|
arcsin(3x 2) c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
72. |
|
arcsin |
c |
73. ln |
x 1 x2 |
2x 5 |
c |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
ln |
x 2 |
|
1 |
|
|
||||||||||
74. |
ln |
x |
|
|
x2 x 1 |
c |
75. |
|
|
|
|
2x2 8x 1 |
x2 4x |
|
c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
76. |
3 |
|
x2 |
6x 8 13arcsin( x 3) c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2arcsin |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
77. |
7 |
|
3 2x x2 |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78.3x2 x 2 12 ln x 12 x2 x 2 c
79.92 9x2 6x 2 139 ln 3x 1 9x2 6x 2 c
80. |
|
1 |
|
|
arccos |
|
2 |
x |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81. |
1 |
|
ln |
3 3x 2 |
3(x2 |
x 1) |
|
c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
82. |
|
1 |
|
ln |
|
|
|
|
2 x x2 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5arcsin |
x |
2 |
) c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
83. |
|
((x 2) |
1 4x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14arcsin |
x 1 |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
84. |
|
|
(3x 19) 3 2x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
85. |
|
1 |
|
|
|
ln |
|
x 6 60x 15x2 |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
86. |
|
|
sin5 |
|
x |
sin7x |
sin9 |
|
x c |
87. |
|
|
|
|
cos x3 |
cos2 |
x c |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 cos x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
cos3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x c |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
88. |
|
|
|
x cos x c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89. ln |
sin x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
1 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
90. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91. |
tg 4 x c |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin x c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
92. |
ln |
|
sin x |
|
sin 2 x |
1 |
sin 4 |
x c |
|
93. |
1 |
|
|
|
|
ln |
|
tgx |
|
c |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2cos2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
94. |
|
1 |
|
(tg 2 x ctg 2 x) 2ln |
|
tgx |
|
c |
|
95. |
1 |
x |
1 |
sin 4x c |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
8 |
32 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
96.165 x 14 sin 2x 643 sin 4x 481 sin3 2x c
97.161 x 641 sin 4x 481 sin3 2x c
98.83 x 14 sin 2x 321 sin 4x c
99. tgx |
1 |
sin 2x |
3 |
x c |
100. |
|
|
(tg 2 x 1)(tg 4 x 10tg 2 x 1) |
c |
||||||||||||||||||||||||||
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3tg 3 x |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
101. |
|
1 |
|
|
tg 6 x |
1 |
|
tg 4 x |
1 |
tg 2 x ln |
|
cos x |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
102. |
|
1 |
|
ctg 2 3x |
1 |
|
c |
103. |
|
1 |
cos 7x |
1 |
cos 3x c |
|
|||||||||||||||||||||
|
ln |
sin 3x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
104. |
|
1 |
sin 2x |
1 |
sin 4x c |
105. |
|
|
3 |
sin |
5 |
x 3sin |
x |
c |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
6 |
|
6 |
|
|
106.13 sin 34x 12 sin 54x sin 4x 17 sin 74x c
107.161 cos 4x 18 cos 2x 121 sin 2 3x c
108.sin x 13 sin3 x c
109. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
110. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
tg |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
111. |
|
|
1 |
|
|
|
ln(tg |
|
x |
) |
|
|
1 |
|
tg |
2 x |
|
c |
|
|
|
|
112. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
tg |
|
|
|
|
ctg |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
2 |
8 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
4 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
c |
|||||||||||||||||||||||||
113. |
|
|
|
(tgx ln |
|
tgx |
|
c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
114. |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
115. |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
x |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln |
|
|
tgx |
|
|
ln |
tg ( |
|
|
) |
|
ln |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
117. 3e3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
116. |
2(sin |
|
x |
|
|
x cos |
|
|
x ) c |
|
|
|
|
|
|
|
|
x (3 |
x2 |
23 x 2) c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
118. |
|
|
|
x |
sin 2x |
|
|
|
sin3 x cos x c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
||||||||||
119. |
2 |
|
|
|
|
x 1(ln |
x 1 |
2) c |
|
|
|
|
120. |
|
|
ln(4 |
1)) c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x(x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
121. |
|
3) |
|
|
3 |
|
arcsin x c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
122. |
sin x arctg(sin x) c |
|
|
|
|
|
|
|
123. arctgx |
1 |
|
|
|
|
1 |
c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
3x3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x5 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
124. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3arctg |
) c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
2 |
x10 x5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
125. |
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
126. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
tgx |
c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
127. |
|
|
1 |
|
x2ex2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
128. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
sin x |
c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
129. |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
arctg |
2tgx |
|
1 |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ln |
|
|
1 tgx |
|
ln |
1 tg 3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5tg |
x |
4 |
|
|
|
x2 |
1 |
c |
|
2 |
|
2 |
|||
130. |
ln |
|
|
131. |
|
arctg |
|
|
|
c |
|
|
x |
3 |
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
132. 12 ln x 14 4x2 2x 1 c
133. 2arctg 2 4 2x x2 c x
134. 2 |
|
x 2 |
|
c |
135. |
1 |
sin(arctg |
x |
) c |
|
x 1 |
|
9 |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
136.2arcsin 2x 2x 4 x2 c
137.165 x 14 sin 2x 643 sin 4x 481 sin 8x c
138.361 sin 9x 14 sin x 281 sin 7x 121 sin 3x c
139. 20 |
140. 2 |
5 |
|
|
|
|
|
141. |
14 |
|
|
||||
8 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
142. |
|
|
143. ln x(1 |
|
|
|
|
144. 3(e 1) |
|
||||||
2) |
|
||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
145. |
|
1 |
|
146. 2(1 ln |
3 |
) |
|
147. |
2 ln 2 |
|
|||||
2 |
|
4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
148. |
2ln 2 1 |
149. 1 |
|
|
|
|
|
|
150. |
arctge |
|
||||
|
|
|
|
|
|
4 |
151. |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
152. |
1 |
153. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
154. |
2(ln 2 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
155. |
(9 4 3) |
156. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|||
157. |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
158. |
|
1 |
(ln 2 1) |
159. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
160. |
|
|
1 |
ln |
2 |
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
161. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
г) |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
162. |
а) |
6 |
|
|
3 9 |
б) |
в) 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|||||||||||
163. |
а)4,5 |
|
|
б)18 |
в) |
2 1 |
г) 8 |
|
|
|
д) |
|
|
е) 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
164. |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
165. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
166. |
|||||||||||||||||
|
|
(1 2 2 1.5ln 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
167. |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
168. |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
169. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
170. |
а) |
|
1 |
ln 3 |
б) |
20 |
|
|
5 |
|
|
в) |
1 |
ln 3 |
|
|
|
|
г) a(e e 1 ) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||
arctg |
1 |
|
|
|
|
|||||
6 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
arctg |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5 |
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
46
278 (138 13 1)
171. а) расходится |
б) |
в) |
2 |
г) 1 д) |
1 |
|
е) расходится |
8 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
172. а) сходится |
б) расходится |
в) сходится |
г) сходится д) схо- |
дится е) расходится
|
|
|
256 |
|
1 |
|
173. а) 63 2 |
б) расходится в)6 г) расходится д) |
е) |
||||
15 |
4 |
|||||
|
|
|
|
|
Тема 4. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ |
|
|
|
4.1. Функции нескольких переменных |
|
|
|
4.1.1. Основные понятия |
|
|
Рассмотрим множество D, состоящее из пар действительных |
чисел |
||
x, y , и некоторое множество Z действительных чисел. |
|
|
|
Если каждой паре действительных чисел x, y D по некоторому пра- |
|||
вилу f |
поставлено в соответствие одно определенное действительное число |
||
z Z , |
то говорят, что на множестве D задана функция z f x, y , |
прини- |
|
мающая значения из множества Z. |
|
|
|
Функцию z f x, y называют функцией двух переменных, |
а перемен- |
||
ные x и y – независимыми переменными или аргументами. |
|
|
|
Множество D называется областью определения функции. |
Областью |
определения функции двух переменных является множество точек плоскости.
Функцию двух переменных можно задавать аналитически, графически и табличным способом.
Частное значение функции z f x, y при x x0 , y y0 обозначается
через z0 f x0 , y0 .
Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных z f x, y является, вообще говоря, поверхность в пространстве Oxyz.
Аналогично определяется функция большего числа переменных
zf x1, x2 , , xn .
Пр и м е р. Найти область определения функций:
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
1) z |
|
|
|
; |
2) z arcsin |
xy . |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|||||||||
|
|
4 x2 y2 |
2 |
|
|
|
||||
Р е ш е н и е. 1) Функция имеет действительные значения, если |
||||||||||
4 x2 y2 0 |
или |
x2 y2 |
4 . Последнему неравенству удовлетворяют ко- |
ординаты точек, лежащих внутри окружности радиуса 2 с центром в начале координат. Область определения функции есть внутренность этого круга
(рис. 4.1).
Рис. 4.1
2) Первое слагаемое функции определено при 1 2x 1 или 2 x 2 .
Второе слагаемое имеет действительные значения, если xy 0 , т.е. в двух
случаях: при |
x 0, |
или при |
x 0, |
. Область определения всей функции |
||
|
y 0 |
|
y 0 |
|||
|
|
|
|
|
изображена на рис. 4.2 и включает границы области.
Рис. 8.2
Задачи и упражнения
4.1. Найти области определения следующих функций и сделать чертежи:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) z 1 |
|
|
|
|
|
; |
|||||
а) z 9 x2 y2 ; |
x y 2 |
|||||||||||||||||||
в) |
z ln x y ; |
|
|
|
|
|
г) z x arccosy; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z arcsin |
x |
|
|
|
|
||||
д) |
z |
4 x2 |
4 y2 ; |
е) |
; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ж) |
z |
|
x2 16 |
|
16 y2 ; |
з) |
z y cos x ; |
|||||||||||||
и) |
z ln x y2 ; |
|
|
|
|
|
к) |
z arctg |
|
|
x y |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 y2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л) |
z |
|
|
|
; |
|
|
м) |
z |
|
sin x2 |
y2 ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x2 |
y2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
н) z |
|
|
2 |
|
|
; |
о) |
z |
2 |
|
|
1 |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x 5 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|
|
|
y |
4.1.2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных
Пусть в некоторой области D задана последовательность точекx1 , y1 , x2 , y2 , ... , xn , yn , .... Точка M 0 x0 , y0 также принадлежит области D . Расстояние между точками xn , yn и x0 , y0 может быть вычислено по
|
|
. |
формуле dn |
xn x0 2 yn y0 2 |
|
Будем говорить, что последовательность точек xn , yn стремится к |
||
точке x0 , y0 , если при n расстояние dn 0 . |
||
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x0 , y0 , кро- |
||
ме может быть самой точки. |
Число A называется пределом функции z f x, y в точке x0 , y0 , если для любой последовательности точек xn , yn , стремящейся к точке с координатами x0 , y0 , точки которой отличны от точки x0 , y0 и не выходят из области определения функции, соответствующая последовательность значе-
ний функции |
f x1 , y1 , f x2 , y2 , ... , f xn , yn , ... стремится к числу A . В этом |
||
случае пишут: |
|
lim f x, y A. |
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
y y0 |
|
Функция |
z f x, y называется непрерывной в точке с координатами |
||
x0 , y0 , если предел функции |
f x, y при x x0 и |
y y0 равен значению |
|
функции в точке x0 , y0 , т.е. |
f x, y f x0 , y0 . |
|
|
|
lim |
|
|
|
x x0 |
|
|
|
y y0 |
|
|
Для функции большего числа переменных предел и непрерывность определяются аналогично.
П р и м е р. Найти пределы функций:
1) lim |
xy |
|
; |
2) lim |
sin 5xy |
; |
|
3) lim |
x y |
. |
|||
x 2 |
x4 y4 1 |
|
x 1 |
y |
|
|
|
|
x 0 |
x |
|||
y 3 |
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
Р е ш е н и е. |
|
1) Функция z |
|
|
xy |
|
|
определена и непрерывна на |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x4 |
y4 |
1 |
всей плоскости, поэтому предел этой функции равен значению функции в
точке 2; 3 , т.е. |
lim |
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
6 |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3 |
4 |
4 |
1 |
16 81 1 96 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2) Функция |
z |
sin 5xy |
в точке 1; 0 не определена. Воспользуемся пер- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вым замечательным пределом lim |
sin |
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
sin 5xy |
lim |
5xsin 5xy |
5lim x lim |
sin 5xy |
5 1 1 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x 1 |
y |
|
x 1 |
|
5xy |
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
x 1 |
5xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y 0 |
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
3) Рассмотрим |
две |
последовательности точек, |
стремящихся к точке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|||||
0; 0 , а именно: |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
M |
1 |
; 0 , тогда lim |
x y |
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
|||||||||||||||||||||||||
|
M |
; |
|
и |
lim |
n |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
y 0 |
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x y |
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
lim |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 0 |
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Для разных последовательностей точек получены разные пределы, это и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
показывает, что данная функция предела не имеет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
П р и м е р. Найти точки разрыва функции |
z |
xy 6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е. Для данной функции знаменатель не должен обращаться в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ноль. Если x2 y 0 , то |
|
y x2 |
– уравнение параболы. Следовательно, дан- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ная функция имеет линией разрыва параболу y x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи и упражнения
4.2. Найти пределы функций:
а) lim |
|
tg2xy |
; |
|
|
|
б) lim |
x3 y |
3 |
; |
|
|
|||||
|
|
y |
|
|
|
x y |
|
|
|
||||||||
x 3 |
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|||||||
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
y 3 |
|
|
|
|
|
|
|||
в) lim |
|
xy |
|
|
; |
г) lim |
x 1 |
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 0 |
2 xy 4 |
|
|
x 1 |
y 1 |
|
|
|
|
||||||||
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
y 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
д) lim 1 x3 |
y3 1/ x3 y3 ; |
е) lim |
x y sin |
1 |
; |
||||||||||||
x y |
|||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||
ж) lim |
|
x2 y2 |
; |
|
|
з) lim |
|
y |
|
; |
|
|
|||||
|
x2 y2 |
|
|
|
x2 y 2 |
|
|
||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|||||||||
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
и) lim x2 |
y2 sin |
1 |
; |
к) lim |
x3 y |
3 |
. |
xy |
x y |
|
|||||
x 0 |
|
|
x 0 |
|
|
||
y 0 |
|
|
|
y 0 |
|
|
|
4.3. Найти точки разрыва функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) z ln |
|
x2 y2 ; |
|
|||||||
в) |
z |
|
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x y 2 |
|
|
||||||||
д) |
z |
|
|
|
|
1 |
|
; |
||
|
|
|
|
|||||||
x 2 2 |
y 3 2 |
|||||||||
ж) u |
|
1 |
|
; |
|
|||||
|
|
|||||||||
x y z |
|
б)
г)
е)
з)
z |
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
||||
9 x2 |
y2 |
|||||
z cos |
1 |
; |
|
|
||
xy |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
x2 |
y2 |
||||
|
|
|
; |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
x |
y |
u cos xyz1 .
4.1.3. Частные производные, полный дифференциал, производная в данном направлении и градиент функции
Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю.
Для функции двух переменных z f x, y , полагая, например, y посто-
янной, получаем производную |
|
|||
z lim |
f x x, y f x, y |
f |
x, y , |
|
|
||||
x |
x 0 |
x |
x |
|
|
которая называется частной производной функции z по переменной x . Аналогично определяется частная производная функции z по переменной y
z lim |
f x, y x f x, y |
f |
x, y . |
|
|
||||
y |
y 0 |
y |
y |
|
|
Полным приращением функции z f x, y называется разность
z f x x, y y f x, y .
Полным дифференциалом функции z f x, y называется главная часть полного приращения z , линейная относительно приращений аргументовx и y . Полный дифференциал функции z f x, y обозначается символом dz .
Разность между полным приращением и полным дифференциалом функции есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с
x2 y2 .
Функция заведомо имеет полный дифференциал в случае непрерывности ее частных производных. Если функция имеет полный дифференциал, то она называется дифференцируемой. Дифференциалы независимых переменных, по определению, совпадают с их приращениями, т.е. dx x и dy y . Полный дифференциал функции z f x, y находится по формуле
dz xz dx yz dy .
Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов u f x, y, z
находится по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
du |
u |
dx |
u |
dy |
u |
dz . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
z |
|
|
|||
|
При |
достаточно малых |
x и y , |
а значит, при достаточно малом |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
z f x, y |
|
|||||||
|
|
x2 |
y2 , для дифференцируемой |
функции |
имеет место |
|||||||||
приближенное равенство z dz или |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
z z x |
z |
y , |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f x x, y y f x, y z x z y. |
(4.1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
Формула (4.1) применяется для приближенного вычисления значения |
|||||||||||||
функции |
z f x, y в точке x x, y y |
по известным значениям функ- |
||||||||||||
ции z x, y и ее частных производных |
z |
и |
z в данной точке |
x, y . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
П р и м е р. Найти частные производные следующих функций: 1) z ln tg xy ; 2) u x3 y2 z 4x 5y 2z 5.
Р е ш е н и е. 1) Рассматривая y как постоянную величину, получим:
z |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Аналогично, рассматривая x как по- |
|||||||||||
|
|
|
y |
|
|
2 y |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
tg |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
x |
2 |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
стоянную, получим: |
z |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
y |
tg |
y |
|
cos |
2 y |
x |
xsin |
2 y |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2) u |
3x2 y2 z 4 , |
|
u |
2x3 yz 5, |
u |
x3 y2 |
2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
П р и м е р. Найти полный дифференциал функции z x2 y2 .
|
Р е ш е н и е. Найдем частные производные |
z |
|
|
|
x |
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x2 y2 |
|
|
|
||||||
z |
|
|
y |
|
|
. Тогда dz |
|
|
x |
|
dx |
|
y |
|
dy |
xdx ydy |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y |
|
|
x2 y2 |
|
|
x2 y2 |
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|||||
|
П р и м е р. Вычислить приближенно 1.034.01 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Р е ш е н и е. Искомое число будем рассматривать как значение функ- |
|||||||||||||||||||||||
ции z x y |
при x 1 0,3, y 4 0,1. Значение функции в точке 1; 4 равно |
|||||||||||||||||||||||
z 1; 4 14 |
1, x 0,03, |
y 0,01. Используя |
|
формулу (8.1), получим |
z dz yx y 1 x x y ln x y 4 1 0,03 1 ln1 0,01 0,12. Следовательно, 1,034.01 1 0,12 1,12 .
Задачи и упражнения
4.4. Найти частные производные функций:
а) z x3 y3 3xy ; |
|
|
|
б) |
z x2 sin 2x 4 y ; |
||||||||||||||||||||||||||
в) |
z |
|
|
x y |
; |
|
|
|
|
|
|
г) z x y ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x 3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
y4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z esin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
д) |
z |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
|
y |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
||
ж) z arcsin |
|
|
x2 y2 |
|
, x 0 , |
y 0; |
з) |
z ln sin |
; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и) z |
y |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к) z |
|
|
5x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
л) |
z arctg |
|
y |
; |
|
|
|
м) |
z |
cos x2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
н) u xy z ; |
|
|
|
|
|
|
|
о) u z xy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4.5. Найти полные дифференциалы следующих функций: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
а) z x3 y4 5x2 y ; |
|
|
б) z x2 y3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
в) |
z |
|
|
|
x2 |
y |
2 |
; |
|
|
|
г) |
z sin 2 x cos2 y ; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) z ln x3 y3 ; |
|
|
|
||||||||||||||||||
д) z yx y ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
z arctg |
|
x |
|
arcctg |
y |
|
||||||||||||
ж) |
z ln 1 |
|
|
|
|
; |
|
|
з) |
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|