Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебно-методическое пособие ВМ 2часть

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

x 1 x2 2x 1 x2 3x 0 ;

x 0 или x 3

Строим график кривых.

y x2 2x 1

y x 1

рис.5

3				3
S f2	x f1	x dx x 1 x2 2x 1 dx
0				0
	3	x	2	3x dx	x3	3		2	3		27	9
	3				x3	3			3		27	9
							x			9			(ед.кв.)

					3	2					2	2
	0								0
	0								0

2.4.2. Вычисление объемов тел вращения.

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y f x и прямыми y 0 , x a , x b , вращается вокруг оси ox , то объем тела

вращения вычисляется по формуле

Vx ab y 2 dx

Если фигура, ограниченная кривыми y1 b1 x и y2 b2 x 0 f1 x b2 x и прямыми x a , x b , вращается вокруг оси ox , то объем тела вращения находится по формуле

Vx ab y22 y12 dx .

П р и м е р Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ox фигуры, ограниченной кривой y 2 x 1 3 и прямой x 2 .

Р е ш е н и е

x 2

рис.6

2		2		1			2
2		2
	2	3				4
V y		dx x 1	dx		x 1				0		куб.ед. .
V y		dx x 1	dx	4	x 1		1	4	0	4	куб.ед. .
1		1		4			1	4		4
1		1

2.4.3.Вычисления длины дуги плоской кривой.

В зависимости от способа задания кривой вычисления длины дуги кривой используется формула:

							b							dx ;
									1		f x 2			dx ;
							a
Пример 46: Найти длину дуги кривой y 2													x3			от x 0		до x 1				y 0 .
																				1
Решение: Дифференцируя уравнение кривой, найдем y																				3		. Тогда,
																				3	x 2
																				2	x 2
																				2
1									3						3
									3						3

		9		4	2		9		2	1		8	13		2		8	8	13
		9		4	2		9		2	1		8	13		2		8	8	13
	1		xdx			1		x												13		1 .
	1		xdx			1		x												13		1 .
0		4		9 3			4			0		27	4				27 27		8

2.5. Несобственные интегралы.

Несобственными интегралами называют:

1)интегралы с бесконечными пределами;

2)интегралы от неограниченных функций.

Несобственный интеграл от функции f x в пределах от a до определяется равенством

	b
	f x dx lim f x dx
a	b a

Если этот предел существует и конечен, то собственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности - расходящимся.

Аналогично,

b	b
	f x dx lim f x dx
	a a
	b
	f x dx lim f x dx
	a a
	b	f x	имеет бесконечный разрыв в точке c отрезка a;b и
Если функция		f x	имеет бесконечный разрыв в точке c отрезка a;b и
непрерывна при a x c			и c x b , то по определению полагают
b	C E			b
	f x dx lim	f x dx lim		f x dx .
a	E 0	a	E 0 C E
				b	f c , a c b ) называется схо-
Несобственный интеграл				f x dx (где	f c , a c b ) называется схо-

дящимся, если существуют оба предела в правой части неравенства, и расходящимся, если не существует хотя бы один из них.

Привет 47: Вычислить интеграл или установить его расходимость. Решение:

1 dx

lim

lim 1

т.е. несобственный интеграл сходится.

Пример 48: Вычислить интеграл или установить его расходимость. Решение:

lim arctgb arctg 0

lim

lim arctgx

1 x

b 0

т.е. несобственный интеграл сходится.

П р и м е р : Вычислить интеграл или установить его расходимость. Р е ш е н и е

			подынтегральная					функция	1
0	x
1	dx		в точке x			0		неограничена,	f x x
			в точке x			0		неограничена,	f x x
			а поэтому				имеем
		1		dx		1	lim ln1 ln ,
		1
lim					lim ln x
lim					lim ln x
	0 x				0		0
	0 x

т.е. несобственный интеграл расходится.

2.6. Задания для самостоятельной работы

1. (x2 1)(x 2 2)dx

3 x2

4. 1 cos 2 x dx

1 cos 2x

7. e 3x dx

10.
10.					4x 1dx
13.	sin(a bx)dx
16.					sin x			dx
16.		1			3cos x			dx
		1			3cos x
19.	e x3 x2 dx
22.					x 2		dx
22.			x			2	dx
			x			2
25.							dx

				sin		2	x cos	2	x
				sin			x cos		x

(tgx ctgx)2 dx

28.lnx x dx

x sin(1 x2 )dx

31.				x			dx


			x 1
34.						xdx

	3
	3		x 1						x 1
			x 1						x 1
			2
37.			2			x				dx



		3 x2			4			x3

39. ln xdx

xarctgxdx

42. arctgxdxx2 cos xdx

45. xdx

cos 2 x

48.cos ln xdx

e x sin xdx

2.3x e x dx

5.cos 3xdx

cos

11. 3

5 6xdx

14. (3 2x)4 dx

17.

cos x

sin

20. acos x sin xdx

23.

26.

a x x

29.

2 x

32.

x 1

35. x(2x 5)10 dx

38.

x 1

x 2dx

Интегрирование по частям

40.x ln(x 1)dx

43.(x2 x 1)e2 x dx

46.x cos2 xdx

49.arctg xdx

3.2sin 2 2xdx

6.sin 2x dx

9.(e 2 3e 2 )dx

12.			dx


			3 2x
			3 2x
15.			x		dx
15.			2		dx
		x	1
18. ctgxdx
21.		2arctgx				dx
21.		2				dx
		1 x
24.	1 sin 2x						dx
24.			sin	2	x		dx
			sin		x

27.

30.


33.		1 x	dx

		x
36.	4x 3			dx
	3
	(x 2)

41.

44.

47. e x dx

50.

51.

e x cos xdx

Интегрирование дробно-рациональных функций

52.

x 4

53.

2x 7

54.

2)(x

x 2

(x 1)3

55.

x 2

56.

3x 2a

57.

x 2 dx

58.

x2 2x 6

59.

60.

(x 1)(x

2)(x 4)

(x 3)

x5 1

8x2

61.

62.

63.

x 2 x 1

(x 2

4)(x2

2x) 5

64.

3x 1

4x 8

Интегрирование иррациональных функций

65.

66. 3

1 x dx

67.

1 x dx

x x

(2x 1)

2x 14

68.

69.

(x 3)dx

70.

(x 1)

(x 2)

2x 3

9x2 6x 2

71.

72.

73.

4x 1

12x 9x

x2 2x 5

74.

75.

5x 3

76.

x 1

8x 1

3x 4

x2 6x 8

77.

7x 9

78.

3x 2

79.

3 2x x

x 2

2x 5

9x2 6x 2

Применить подстановки Эйлера

80.			dx	81.	dx			82.


		2	4x 4			2
	x x		4x 4		(x 1) x		x 1

x2 x x2

83.

84.

3x 2

1 4x x

85.

32x x

(2x 3)4x x2

Интегрирование тригонометрических функций

86.		sin 4 x cos5 xdx
89.					cos			3 x		dx
		sin			2	x sin x

92.		cos5 x					dx

		sin x
95.	sin 2 x cos 2 xdx
98.	sin 4 xdx
101.		tg 7 xdx
104.		sin 3x sin xdx
107.		sin x sin 2x sin 3xdx
110.						dx


		1 sin x
113.			1 tgx						dx

				sin 2x

87.	sin 3 x			dx	88. sin 3 xdx
		3
	cos x		cos x

90.	cos3		x 1			dx
90.		sin	2	x		dx
		sin		x
93.			dx

		sin x cos			3	x
		sin x cos				x
96. cos 6 xdx
	4
99.		sin	x	dx
99.		2		dx
		cos	x

102.ctg 3 xdx

105.cos 2x cos 3x dx

108.sin 2 x cos xdx

111.			dx

		2 sin x sin 2x
		2 sin x sin 2x
114.	dx

	cos x
3	cos x

91.	sin	3	x
	sin		x	dx
		5		dx
	cos		x
94.			dx

	sin	3	x cos		3	x
	sin		x cos			x

97. sin 2 x cos 4 xdx

100.			dx

	sin	4	x cos	4	x
	sin		x cos		x

103.sin 2x sin 5xdx

106.cos x cos 2x cos 4x dx

109.				dx

	4 sin x 3cos x 5
	4 sin x 3cos x 5
112.		1 cos x			dx

		sin	3	x
		sin		x

115. 5 3sin x 7 cos x dx sin 2x

Разные задачи:

116.

sin

117. e3 x dx

118. (

cos x)2dx

xdx

sin x

ln(

x 1)

119.

120.

121.

x 1

)

122.

sin2 x cos x

123.

124.

1 sin2 x

x15 1

125.

126.

127. xe

x 2

1)dx

sin 2x 2sin x

1 cos2 x

128.

129.

cos x

130.

x2 1

tg 3 x

sin3

x cos3 x

x(x2 1)

131.

133.

5 4sin x

2x 1

2x x

135.

136.

134.

4 x

) 9

		137. sin6 xdx												138. cos x cos 3x cos 5xdx
												Применить формулу Ньютона-Лейбница
		3										2							1								4
		139. x3dx												140.	(x2				1					)dx			141.		xdx
		139. x3dx												140.	(x2				4					)dx			141.		xdx
		1										1							x								1
		1										1															1
		1				dx						1						dx									3
		142.				dx								143.				dx									144. ex / 3dx

						4 x				2							1 x			2
		0				4 x						0					1 x										0
		4										5				dx											4			dx
		145. sin 4xdx												146.		dx											147.			dx
		145. sin 4xdx												146.													147.
		0										4				x 1											0 1	2x 1
																											1
		2						dx							3			xdx									1		e	x
		148.						dx						149.				xdx									150.		e			dx
																															2 x
																						2									2 x
		1			x 2 x							1			0			4 x									0 1 e

		1				x	2	dx				2															1
		151.				x		dx						152. x cos xdx													153. arcsin xdx

						4 x				2
		0				4 x						0															0

		2																	3					xdx
		154. ln 2 xdx										155.																			156.
		154. ln 2 xdx										155.									sin2 x										156.
		1
																			4
1		dx
		dx


		8 2x x	2
1		8 2x x
2

		0					dx													6		sin2 x
		157.										158.														dx					159.
		157.			x2 x 1							158.											cos x			dx					159.
		0																		0

2		dx
		dx

	2cos x 3
0

		2				dx									2			x9
		160.										161.													dx
		160.		x x3								161.					(1 x5 )3								dx
		1													0
													Применение интеграла.
		162. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:
		а)				y			4		;	y 6 2x
		а)				y					;	y 6 2x
									x2
		б)				y x2 ; y 2x x2
		в)				y x2 2x 2 ; y 2 4x x2

		г)				y x ; y 4 3x ; y 0

163. Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями:

а)

y x2 ;

x y 2 0

б)

;

y 17 x2 (I четверть)

в)

y sin x ;

y cos x ;

x 0 ;

г)

;

y 3x

д) y2 2x 4 ; x 0

е) y x2 ; y 2x

164.Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y2 x , гиперболой xy 8 и отрезком прямой, соединяющим точку (8;1) гиперболы с точкой (8;-8) параболы.

165.Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y sin x , y 12 в

пределах одного периода функции sin x .

166. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y2 2x и прямой

x 2y 1 0 .

167. Найти площадь фигуры, заключенной между параболой y x2 4x 3 и касательными к ней в точках (0;-3) и (3;0).

168. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами y2 8x 16

иy2 24x 48.

169.Найти длину дуги кривой y2 x3 от x 0 до x 1( y 0) .

170.Вычислить длины дуг кривых:

а)

б)

в)

г)

y ln sin x от x		до x
	3		2

y 52 x4x 23 4 x3 между точками пересечения с осью ох.

y 1 ln cos x от x 0							до x
y 1 ln cos x от x 0							до x	6
	a		x	e	x
y	a	(ea			a	) между прямыми x a
y		(ea			a	) между прямыми x a
2

Несобственные интегралы

171. Вычислить несобственные интегралы:

а) cos xdx

б)

в)

arctgx

1 x

г) e x dx

д) xe x 2 dx

е)

172. Определить сходимость интегралов:

e x

а)

б)

в)

1 x

sin x

ln(x 1)

г)

д)

е)

x2 2x 2

173. Вычислить несобственные интегралы:

	6				dx
а)					dx


			3		(4 x)		2
	2		3		(4 x)
		e		dx
г)				dx
г)			x ln x
	1		x ln x
	1
Ответы:
1.	3			x13/ 3		3		x7 / 3	6x1/ 3
1.				x13/ 3				x7 / 3	6x1/ 3
	13					7

4. 32 ctgx x c

7. 13 e 3x c

10. 16 (4x 1)3 / 2 c

13. b1 cos(a bx) c

16. 13 ln 1 3cos x c

19. 13 ex3 c

22.x2 2x 4ln x 2 2

24. ctgx 2ln sin x c

	2		dx
б)			dx

		(x 1)2
	0
	2		x	5	dx
д)			x		dx

			4 x			2
	0		4 x

c 2.	3x ex	c
c 2.	ln x 1	c
	ln x 1
	5.	1	sin 3x c
	5.	3	sin 3x c
		3
	8.	1	tg5x c
	8.	5	tg5x c
		5


	11.		3 (5 6x)4							c
	11.			8						c
				8
					(3 2x)2
	14.								c
	14.			10					c
				10
	17.			1				c

					3sin3 x
	20.				acos x		c
	20.						c
					ln a
c	23.		x3			3x		9			ln
		3
								2		3
								2		3
	25.	ctgx tgx c

2		dx
в)		dx
	3
	3	x 1
0		x 1

е) x ln2 xdx

3.x sin x c

6.2cos 2x c

x x

9. 2e 2 6e 2 c


12.	3 2x c
15.		1					c
		1	ln		x2 1
	2		ln		x2 1
18.	2					c

	ln			sin x

21.arctg 2 x c

x3 c

																																				1				4a 1
																				1							a x									1				4a 1
																											a x
26.	ln				a x				a x a															ln								2									2					c
																																2									2

																			4a 1																1					4a 1
																			4a 1								a x								1					4a 1
																											a x
																																2									2

																													2				(ln x)3																			arcsin 2x
27.	2ctg 2x c																									28.													c										29.					c
																																3																				ln 2
		1		cos(1 x2 ) c
30.		1																								31. x 2 x 2ln																			x 1			c
30.	2																									31. x 2 x 2ln																			x 1			c
	2

																	x		2																								1 x				1	c
32.	2					x 2				2arctg							x		2		c					33. 2						1 x ln											1 x				1
32.	2					x 2				2arctg											c					33. 2						1 x ln
																		2																								1 x 1
				2									3	3								6	6																		6	6							3	3
34.				2			(x 1)3						3			(x 1)4						6			((x 1)7 x 1																6			(x 1)5					3		(x 1)2		c
34.							(x 1)3									(x 1)4									((x 1)7 x 1																			(x 1)5							(x 1)2		c
			3								4									7																					5								2
																															4x						5
35.	(2x 5)11(							1				x			5		) c									36.					4x						2	c
								1							5																						2

								24			528																			(x 2)2

37. 33 x 44 x 66																x 1212 x 12ln												12 x 1						c


38.																				1											x 2																2	c																												39. xln x x c
			2					x 2												1											x 2																2

																															x 2
																				2 ln											x 2												2
40.				x2				ln(x 1)															x2								1								1													c
				x2																			x2								1								1					ln			x 1
																																												ln			x 1
			2																	4											2x							2
			2																	4											2x							2
41.				x2				arctgx												1				arctgx													x			c													42. xarctgx									1				x2		1			c					43. (			x2		1	)e2 x
41.				x2				arctgx												1				arctgx													x			c													42. xarctgx									1	ln			x2		1			c					43. (			x2		1	)e2 x
			2																	2											2																												2																	2				2
			2																	2											2																												2																	2				2
				x2 sin x 2sin x 2x cos x c																																																			xtgx c															1		cos 2x				1	xsin
44.																																													45. ln				cos x														46.							1						1
44.																																													45. ln				cos x														46.						8							4
																																																						48.		x(cos(ln x) sin(ln x))																				4
																																																																											c
47.			2					xe x 2e													x c
47.			2					xe x 2e													x c
																																																											2
49.																																																					50.				e x (cos x sin x)													c
			arctg									x									x xarctg																					x c															e x (cos x sin x)
			arctg									x									x xarctg																					x c																	2
																																																											2
51.					e x ( cos x sin x)																																						c																52.						2ln			x 2					ln					x 3	c
					e x ( cos x sin x)
																2											2
																2											2
		ln					x 2							c
3ln	x 1	ln					x 2							c
			4x 8ln												x 1							ln														x2					c																											1	c
54.																														x						x2																		55. ln				x 2			ln			x				1
54.																														x																								55. ln				x 2			ln			x
																																2																																				x
				x a																												2																								6x2 4x 1												x

56.													ln x											ln				x a							c																			57.											c
																								ln				x a
				ax2																																																				12(x 1)4
				ax2							2																		a2																											12(x 1)4
58.															7ln										x 2								5ln											x 4							c
58.			3ln						x 1						7ln										x 2								5ln											x 4							c
59.				5																		5				ln				x 3																3x 1									c
				5				ln			x 1											5																								3x 1
			32					ln			x 1									32																						8(x 1)2
			32																	32																						8(x 1)2
60.				x2							127					ln			x 2												129							ln							x 2										x 64					c
				x2							127																				129																								x 64
				2							32																				32																						8(x2				4)
				2							32																				32																						8(x2				4)
61.				1		arctgx																			x								c
61.						arctgx																											c
			2														2(x2 1)
																																																																	1	)
																																																											2 3(x
				1														1															1												3					3									2 3(x															1
62.					ln					x 1											ln					(x								)2																				(2arctg											2		)									c
																																																																	2

			3													6															2												4							6									3																x
			3													6															2												4							6									3																x

63.327 arctg ( 2x 12) 14 ln((x 1)2 4) 18 arctg 2x 14 ln x2 4 c

64.52 arctg ( 2x 1) 32 ln(x2 4x 8) c

65.32 (2x 1)1/ 3 3(2x 1)1/ 6 3ln 6 2x 1 1 c

2x c

53.

								1 x
					3	(		1 x	)		2		1						1	2		(	1 x	)	2
					3			1 x													3		1 x		2
																					3		1 x

66. ln																	3arctg									c


																							3

	3 (			1 x			)4 3			(		1 x		)2	1
				1 x								1 x

			1 x								1 x

67. ln		1 x						1 x			2arctg					1 x		c
																1 x
	1 x							1 x
	1 x							1 x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.02.2016876.25 Кб2468Учебник по Истории.pdf
#
14.08.2019803.33 Кб51Учебник по переводу 3 курс.doc
#
14.11.20192.4 Mб71Учебник.Основы растениеводства.doc
#
20.02.20162.05 Mб27УЧЕБНО-МЕТОДИЧ. ПОСОБИЕ ПО ВМ_1.pdf
#
20.02.201611.55 Mб205Учебно-методическое пособие (лекционная часть).doc
#
20.02.20162.31 Mб25Учебно-методическое пособие ВМ 2часть.pdf
#
20.02.20161.86 Mб29Учебно-прктич. пособие по матем.pdf
#
07.11.20182.12 Mб141Учебное пособие по охране труда.doc
#
15.11.2018458.75 Кб4учебное пособие по дел док 1 (книга).doc
#
20.02.2016319.49 Кб52Учебное пособие по Межд. Экон.doc
#
20.02.2016624.64 Кб117Учебное пособие.doc