Учебно-методическое пособие ВМ 2часть
.pdf2.9. 6 2x ln 2 3 4x ln 4 . |
|
2.10. 2sin x (2x 3) cos x . |
|
|
2.11. (x2 4x 5)ex . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.12. |
3ln x |
3x 2 |
. |
|
|
2.13. |
|
ex ( c oxs s i nx) . |
|
|
2.14. |
|
a r c sxi n |
|
|
x |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|||||||
2.15. |
|
2x arctg x 1. |
2.16. |
|
3 2x 2x |
2 |
. 2.17. |
cos x(x2 1) 2x sin x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x |
2 x 1) |
2 |
|
|
|
|
(x2 |
1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2.18. |
|
|
|
2x 1 ln 2 |
|
. |
2.19. |
|
|
x2 1 ln x x2 ln x |
. |
|
2.20. 3cos3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
(2x 1)2 |
|
|
|
|
|
|
(x2 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
(2x 3) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2.21. |
3 |
. |
|
|
2.22. |
|
|
2.23. |
|
|
|
|
. 2.24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
6x 9x2 |
|
|
sin2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3ln 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2.25. |
|
|
. |
|
2.26. 10sinx ln10 cos x . |
|
2.27. |
e x2 (1 2x2 ) . |
2.28. |
3arcsin2 ( |
x |
) |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
1 x |
||||||||||
2.29. |
2 |
. |
|
|
|
|
2.30. e2x (2 cos3x 3sin 3x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.31. |
|
(10 x 10 x ) ln10 sin(10 x 10 x ) . |
|
|
2.32. sin 4x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2.33. |
|
|
|
2 sin 2x |
. |
|
2.34. |
x sin x cos x |
. |
|
|
2.35. |
|
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
cos2 (cos 2x) |
|
|
|
|
|
|
sin2 (x cos x) |
|
|
|
|
4 |
e2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.36. 3(x2 1)3x l
2.38.2(tg2x)
|
2x |
2 |
|
|
|
||
nx(2 1) |
|
|
|
. |
|||
|
2 |
|
|
|
|
||
|
x |
|
1 |
|
|||
|
|
|
2x |
4x |
|
ln tg2x |
|
. |
|
||
|
sin 4x |
2.37. (sin x)cos x 1(cos2 x sin2 x ln sin x) .
2.39. (x)x4 3 (4 ln x 1) . |
2.40. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(x) |
|
|
2 (ln x 2) 2.41. x |
|
e |
|
|
sin 3x |
x |
|
|
4 |
|
1 3ctg3x |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.42. |
|
|
4x |
|
. |
2.43. |
1 y 2 |
. |
|
|
2.44. |
|
|
2x sin y |
|
. 2.45. |
2xy y 2 3x2 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
2 |
|
y 2 |
|
|
|
|
|
x cos y |
sin y |
2xy 3y 2 |
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2.46. |
|
|
|
x |
|
. 2.47. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
2.48. 1; 1 |
. 2.49. |
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
ln y |
1 sin y |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.50. y 7x 3; y |
1 |
x |
|
71 |
. 2.51. y x 1; |
y x 1. |
|
|
2.52. |
arctg |
4 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
2.53. 2. 2.54. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 . |
|
2.55. –0,5. 2.56. –2. 2.57. 1. |
2.58. 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.59. y 3x2 4x 4; |
y 6x 4; y 6; y(n) |
0 |
при n 4 . |
2.60. |
y(4n 1) |
cosx, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y(4n 2) |
sin x, y(4n 3) |
cos x, y(4n) sin x, |
n 0 . |
2.61. |
4 |
|
dx |
|
. 2.62. |
dx |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.63. cos x dx . 2.64. 2x ln 2 dx . |
2.65. x sin x dx . 2.66. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.67. 19,56. |
2.68. 0,4557. 2.69. 8,0625. |
|
2.70. 5,0267. |
|
|
2.71.1. |
|
2.72. –0,02. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.73. 33,30 . |
2.74. |
47,90 . |
2.75. |
75,6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2.3. Неопределенный интеграл
2.1.1. Понятие неопределенного интеграла.
Функция F x называется первообразной для функции f x на множестве , если в любой точке x функция дифференцируема и F x f x .
Совокупность F(x) c всех первообразных функций для данной функ- |
||
ции f x |
на множестве называется неопределенным интегралом от функ- |
|
ции f x |
и обозначается символом f x dx . Таким образом f x dx F x c . |
|
|
|
Основные свойства неопределенного интеграла: |
а) |
|
f x или d f x dx f x dx; |
f x dx |
||
|
|
|
б) dF x F x c; |
в) |
Af x dx A f x dx , где А R , А 0 ; |
|
|
||||||||||||||||
г) f x (x) dx f x dx x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица основных неопределенных интегралов: |
|||||||||||
1. |
xn dx |
|
|
xn 1 |
c , n 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1dx x c ; xdx |
x 2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||
0dx c ; |
c ; |
|
2 |
x c ,где x 0 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|||||||||
2. |
|
dx |
ln |
|
x |
|
c , x 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
a x dx |
|
|
c , a 0 , a 1; e x dx e x c . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
4.sin xdx cos x c ;
5.cos xdx sin x c ;
6. |
|
|
|
dx |
|
|
tgx c ; |
x |
|
n , |
n . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
cos |
2 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
|
|
|
dx |
|
|
ctgx c ; |
x n , |
n . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
arctgx c arcctgx c. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. |
|
|
dx |
|
|
|
1 |
arctg |
|
x |
c |
1 |
arccrg |
x |
c, a 0. |
|||||||||||||||
a |
2 |
x |
2 |
|
|
a |
|
a |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
arcsin x c arccos x c, |
|
x |
|
1. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
arcsin |
|
x |
c arccos |
x |
c; |
|
x |
|
|
|
a |
|
, a 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
ln |
x |
|
x2 a |
c, (a 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
случае знака «минус» должно быть |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
a |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
13. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
ln |
|
x a |
|
c, |
x a, a 0. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
x a |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
a |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2. Основные методы интегрирования
2.2.1. Непосредственное интегрирование.
Этот метод состоит в приведении данного интеграла к алгебраической сумме более простых интегралов, используя свойства в) и г) неопределенного интеграла, тождественные преобразования и таблицу основных интегралов.
П р и м е р. Найти интеграл x2 e 3 dx .
Ре ш е н и е.
x2 e 3 dx x6 3x4e 3x2e2 e3 dx x6dx 3e x4dx 3e2 x2dx e3 dx
= |
x7 |
|
3 |
ex5 |
e2 x3 e3 x c. |
|
|
||||
7 |
|
5 |
|
|
П р и м е р. Найти интеграл (x2 1)(x5 5x 1)dx . Р е ш е н и е.
(x2 |
1)(x5 |
5x 1)dx (x7 |
x5 5x3 x2 5x 1)dx |
||||||||||
|
x8 |
|
x6 |
|
5 |
x4 |
|
1 |
x3 |
|
5 |
x2 |
x c. |
|
|
|
|
|
|||||||||
8 |
6 |
|
4 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
П р и м е р. Найти интеграл |
|
|
|
x |
2 dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x2 dx |
|
|
x2 |
1 1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x arctgx c.; |
|||||||||||||||
x |
2 |
1 |
|
|
x |
2 |
1 |
x |
2 |
1 |
x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||
П р и м е р. |
|
Найти интеграл |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin 2 |
x cos2 |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
sin 2 |
x cos 2 x |
dx |
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
tgx ctgx c.; |
||||||||||||||||||||||
sin |
2 |
x cos |
2 |
x |
sin |
2 |
x cos |
2 |
x |
cos |
2 |
|
|
sin |
2 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
П р и м е р. |
|
Найти интеграл |
|
|
|
x8 |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е.
|
|
x8 |
|
dx (x6 x4 x2 1 |
|
1 |
)dx |
x7 |
|
x5 |
|
x3 |
x arctgx c . |
x |
2 |
x |
2 |
7 |
|
|
|||||||
|
1 |
|
1 |
5 |
3 |
|
2.2.2. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Если нахождение интеграла f (x)dx затруднительно, то пользуются
методом подстановки или методом замены переменной. При применении этого метода используют подстановки двух видов:
1) x (t) , где x (t) - монотонная непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t.
В этом случае f (x)dx f ( (t)) (t)dt;
2) u (x), где u - новая переменная. замены переменной при такой подстановке
f ( (x)) (x)dx f ( (x))d( (x)) f (u)du. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Эта процедура называется подведением функции |
|
u (x) |
под знак |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциала и, |
фактически, эквивалентна замене переменной x |
на новую |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменную |
u (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
П р и м е р. |
|
|
Найти интеграл |
arctgx |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
arctgx |
dx arctgx |
|
dx |
|
|
arctgxd arctgx arctgx u udu |
u 2 |
|
c |
1 |
arctg 2 x c. |
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
П р и м е р. |
|
|
Найти интеграл |
|
|
|
|
cos xdx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d sin x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
cos xdx |
|
|
|
|
|
d sin x |
|
|
sin x 2 u |
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 u c 2 |
|
2 sin x c. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 sin x |
|
|
|
|
|
2 sin x |
|
|
|
|
2 sin x |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
П р и м е р. |
|
|
Найти интеграл |
|
|
|
ln 2 x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е.
|
ln 2 x |
dx ln 2 |
x |
dx |
ln 2 xd ln x ln x u u 2 du |
u3 |
c |
ln 3 x |
c. |
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
x |
3 |
3 |
|
П р и м е р.
Ре ш е н и е.
Найти интеграл |
f (x) |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
f x |
dx |
df x |
|
f x u |
du |
ln |
|
u |
|
c ln |
|
f x |
|
c . |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
f x |
f x |
u |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пр и м е р. Найти интеграл x 2 dx .
x3 3
Р е ш е н и е. |
|
|
|
d x3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x2 dx 1 |
|
dx3 |
1 |
|
|
x |
3 |
3 u |
1 |
|
|
du 1 |
1 |
ln x |
3 |
3 c . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln u c |
|
|
||||||||
x3 3 |
3 |
x3 3 |
3 |
x3 3 |
|
3 |
u |
3 |
3 |
|
П р и м е р. Найти интеграл (2x 3)8 dx . Р е ш е н и е.
2x 3 8 dx |
1 |
2x 3 8 d 2x 3 2x 3 u |
1 |
u8 du |
u9 |
c |
1 |
2x 3 9 |
c. |
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
18 |
|
18 |
|
|
||
П р и м е р. |
|
Найти интеграл |
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е.
|
dx |
|
cos xdx |
|
d (sin x) |
|
d (sin x) |
sin x u |
|
|
du |
|
|
1 |
ln |
|
1 u |
|
c |
1 |
ln |
|
1 sin x |
c |
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
cos x |
cos |
2 |
x |
cos |
2 |
x |
1 sin |
2 |
x |
1 |
u |
2 |
2 |
|
1 |
u |
2 |
|
1 sin x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
П р и м е р. |
Найти интеграл |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x 1; e x u 2 1; e2 x u 2 1 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 x |
|
|
|
dx |
u e x 1;u 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e2 x dx 2(u 2 |
1)2udu; e2 x dx 2u(u 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e x 1 |
|
1)du. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2u u 2 1 du |
2 u 2 1 du 2 u 2 du 2 du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
u3 2u c |
2 |
|
e x 1 |
|
|
|
2 e x 1 |
|
c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
П р и м е р. Найти интеграл |
|
|
|
|
|
|
x 2 dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a 2 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 dx |
|
|
|
|
x a sin t, |
|
|
t ;t arcsin |
|
|
x |
|
, dx a cos tdt; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
a 2 a 2 sin 2 |
t a |
|
1 sin 2 t a |
|
cos 2 t |
|
a cos t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a2 sin 2 t a cos tdt |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 cos 2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
1 cos 2t dt |
|
|
a2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
sin |
|
|
tdt |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
sin 2t |
|
c |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a cos t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
a 2 |
t |
a 2 |
|
sin 2t c |
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
sin |
2 arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
a |
4 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
2sin arcin |
|
|
cos arcsin |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
2 arcsin |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
c |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a2 |
|
|
x |
|
ax |
|
|
|
|
|
a2 x2 |
|
|
a2 |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
arcsin |
|
|
a 2 x2 |
c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р. Найти интеграл |
|
|
|
x |
|
dx . |
3 |
|
|
||||
|
||||||
|
x 1 |
Р е ш е н и е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 x t; |
|
|
|
|
|
|
|
t 3 t 5 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
t 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
x t |
|
; x |
t |
|
; |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
6 |
|
|
|
|
|
|
dt 6 t |
|
t |
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
dt |
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
t |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
t |
1 |
|
t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx 6t 5 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
7 |
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
6 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
t |
|
t |
2t |
6t 6arctgt c |
|
|
x |
|
x |
|
2 |
|
|
x 6 |
6 |
x 6arctg |
6 |
x c . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
5 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того чтобы проверить правильность нахождения неопределенного интеграла, необходимо найти производную полученной первообразной, которая должна быть равна подынтегральной функции.
2.2.3. Интегрирование по частям.
Пусть функции u x и (x) непрерывны вместе со своими производными на множестве и на этом множестве существует интеграл vdu. Тогда на этом множестве существует интеграл udv и справедлива формула интегри-
рования по частям
ud u du.
Для интегралов вида
Q(x)eaxdx, Q(x) sin axdx, Q(x) cos axdx,
где Q(x) - многочлен, в качестве u следует брать Q(x) , а в качестве dv - выражения eaxdx, sibaxdx, cos axdx соответственно.
В случае интегралов вида
Q(x) ln xdx, Q(x) arcsin xdx, Q(x) arccos xdx, Q(x)arctgxdx, Q(x)arcctgxdx
в квчестве u берут функции ln x, arcsin x, arccos x, arctgx, arcctgx, а в качестве dv - выражение Q(x)dx .
П р и м е р. Найти интеграл x ln xdx . Р е ш е н и е.
|
|
|
|
|
1 |
dx; dv xdx;v xdx |
x2 |
|
|
|
||||||||||||
|
x ln xdx |
u ln x; du |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x2 |
ln x |
x2 |
|
1 |
dx |
x2 |
ln x |
1 |
xdx |
x2 |
ln x |
1 |
x2 |
c . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
2 |
|
x |
2 |
2 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||
П р и м е р. |
Найти интеграл |
xe x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е .
xe x dx |
|
u x; |
du dx |
|
xe x e x dx xe x e x c . |
|||
|
|
|||||||
|
d e |
x |
dx; |
e |
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
Интегрирование по частям иногда приводит к интегралу, совпадающему с исходным или сводящемуся к нему. В этом случае интеграл находится из получающегося относительно исходного интеграла уравнения.
|
|
П р и м е р. |
Найти интеграл e x sin xdx . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
e x u; |
|
|
du e x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
e x sin xdx |
|
|
|
e x |
cos x e x cos xdx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d sin xdx; |
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ex cos x 1 , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
u e x ; |
|
du e x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 e x cos xdx |
|
|
e x sin x e x sin xdx. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d cos xdx; |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex sin xdx ex cos x ex sin x ex sin xdx ; |
|
2 ex sin xdx ex cos x ex sin x c; |
||||||||||||||||||||||||||||
e |
x |
sin xdx |
1 |
e |
x |
sin x cos x c, |
|
где c |
1 |
c1 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
П р и м е р. |
Найти интеграл sin(ln x)dx . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
du cos ln x |
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
sin ln x dx |
u sin ln x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d dx; |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
du sin ln x |
1 |
dx |
|
|||||||||||||||||||
|
|
x sin ln x x cos ln x |
dx x sin ln x cos ln x dx |
u cos ln x ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du dx; |
x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x sin ln x (x cos ln x x sin ln x |
1 |
dx x sin ln x x cos ln x sin ln x dx . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Итак, |
sin ln x dx x sin ln x cos ln x sin ln x dx ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 sin ln x dx x sin ln x cos ln x c1 ; sin ln x dx |
x |
sin ln x cos ln x c . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часто при нахождении |
интеграла приходится применять различные |
|||||||||||||||||||||||||||||
методы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р. Найти интеграл e x dx . Р е ш е н и е .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
|
t u; |
du dt |
|
2 tet et dt 2tet 2et c |
|||
e |
|
|
|
|
|
2 et tdt |
|
|||||
x dx |
x t 2 |
|
||||||||||
t |
dt; |
e |
t |
|
||||||||
|
|
|
dx 2tdt |
|
d e |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e x ( x 1) c.
2.2.4. Интегрирование рациональных функций.
Функция вида |
R x |
Pn |
x |
|
, где |
Pn x |
и Qm x - многочлены соответст- |
|
Qm |
x |
|||||||
|
|
|
|
|
венно степени n и m , называется рациональной функцией.
Интегрирование рациональных функций с помощью метода разложения на простейшие дроби сводится к интегрированию многочленов и простейших рациональных функций следующих 4-х видов:
1. |
A |
; 2. |
B |
k 1 ; 3. |
Cx D |
; 4. |
|
x a |
(x a)k |
x 2 px q |
|||||
|
|
|
|
|
|
Mx N |
|
p 2 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
n |
|
4 |
|
px q |
|
q 0; n 1 .
Алгоритм интегрирования рациональных функций.
1. Если рациональная дробь неправильная (m > n), то путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов следует выде-
лить целую часть и представить дробь в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Pn |
|
x |
|
Fk |
x |
|
Pe x |
|
|
, |
e m |
. |
|
|
|
|
|
(2.1) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Qm x |
Qm x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. Разложить знаменатель Qm x на множители вида |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
px q , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x a |
|
x b |
|
|
|
|
|
|
q 0, , , , N |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
3. Разложить правильную дробь |
|
Pn |
на сумму простейших дробей: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Qm |
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Pl x |
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
B2 |
|
|
B |
|
|
|||||||||||
|
Qm x |
x a |
|
|
x a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x b |
2 |
|
(x b) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
x b |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
M1 x N1 |
|
|
|
|
|
M 2 x N2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M x N |
|
|
|
|
|
(2.2) |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
(x2 px q)2 |
|
|
(x2 px q) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 px q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Найти коэффициенты в разложении (2.2).
5.Почленно проинтегрировать каждую простейшую дробь. Рассмотрим, как интегрируются простейшие дроби.
I. |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ln |
|
x a |
|
c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
II. |
|
x a n dx |
|
x |
a 1 n c, n 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x a n |
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
Cx D |
Cx D |
|
|
|
|
|
p |
|
p 2 |
|
2 |
|
p |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
III. |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
x |
|
t; q |
|
a |
|
; x t |
|
; dx dt |
|
||||||||||
x2 |
px q |
|
p |
2 |
|
|
p 2 |
2 |
4 |
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C(t |
p |
) D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
cp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cp |
dt |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
t |
|
|
a |
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
c |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 t 2 |
a 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
cp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ln |
|
x |
2 |
|
px q |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
c ; если |
|
4q p |
2 |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
П р и м е р. |
Найти интеграл |
|
|
|
|
|
3x 2 |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 4x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x 2 |
|
|
dx |
|
|
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 t, |
|
|
|
3 t 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
x t 2, |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
4x |
6 |
x |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
x 2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
dt 8 |
|
|
|
|
ln |
t 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
ln |
|
x2 4x 6 |
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
c. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t 2 |
2 |
t 2 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание: Этот же прием можно использовать и в случае, когда корни квадратного трехчлена действительные.
IV.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (t |
p |
|
N |
|||||||
|
|
Mx N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mx N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
x |
t, q |
|
a |
2 |
, dx dt |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x |
2 |
px |
q) |
n |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
(t |
2 |
a |
2 |
) |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
((x |
)2 |
q |
|
|
|
|
)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mp |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 n |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Mp |
|
|
|
dt |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
a |
|
d t |
|
a |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
t 2 a 2 |
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
t 2 |
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
Mp |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
a |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
t 2 a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Интеграл I n |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
можно вычислить с помощью тригонометриче- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t 2 |
a 2 n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ской |
|
подстановки t ktgz |
или путём повторного интегрирования по частям |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
свести его к интегралу вида III. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
П р и м е р. |
|
|
Найти интеграл |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(t |
2 |
|
1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
I 2 |
|
|
dt |
|
|
; здесь n 1, |
|
a 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t 2 |
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Применим интегрирование по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4tdt |
; dv dt; v dt t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
4 |
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
; du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(t |
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t |
|
|
1) |
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt
|
|
|
t |
|
4 |
(t 2 |
1) 1 |
dt |
|
|
t |
|
4 dt 4 |
|
|
1 |
|
dt |
|
|
t |
|
4t 4arctgt c. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(t |
2 |
1) |
2 |
t |
2 |
1 |
|
(t |
2 |
1) |
2 |
t |
2 |
1 |
(t |
2 |
1) |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пр и м е р. Найти интеграл x5 2dx .
x3 x
Р е ш е н и е.
x5 2
x3 x dx
1)Выделим целую часть: x5 2 x2 1 x 2 .
x3 x x3 x
2) |
Разложим |
знаменатель |
дроби |
на |
множители: |
||
x3 x x x2 |
1 x x 1 x 1 . Следовательно, |
x 2 |
|
x 2 |
|
||
|
|
. |
|
||||
x3 x |
x x 1 x 1 |
|
3) Разложим коэффициентами:
x 2 |
|
A |
|
|
x(x 1)(x 1) |
x |
|||
|
|
полученную правильную дробь с неопределенными
B |
|
|
C |
. |
x 1 |
|
|||
|
x 1 |
4) Найдем коэффициенты A, B, С. Есть несколько способов отыскания коэффициентов:
а) метод неопределенных коэффициентов. Суть этого метода разъясним на нашем примере.
Приводим правую часть к общему знаменателю: |
|
||||||||
|
x 2 |
|
|
A x2 |
1 B x 1 x Cx x 1 |
. |
|
||
|
x(x 1)(x 1) |
|
x x 1 x 1 |
|
|||||
Следовательно, |
|
|
x 2 |
|
|
( A B C)x2 (B C)x ( A) |
. |
||
x(x 1)(x 1) |
x x 1 x 1 |
Освободившись от знаменателей, получим равенство
x 2 (A B C)x2 (B C)x A
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов А,В,С
|
0 A B C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 B C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, из которой получим |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
A 2 ; B |
3 |
; |
C |
1 |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
б) способ частных значений. |
|
|
|
|||||||||||
Так как |
x 2 |
|
|
|
A |
|
B |
|
|
C |
|
|
||
x(x 1)(x 1) |
|
|
x |
|
x 1 , |
|
||||||||
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|||||||
то умножив обе части равенства на знаменатель исходной дроби, полу- |
||||||||||||||
чим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 A x 1 x 1 B x 1 x C x 1 x. |
(2.3) |