- •Раздел I. Элементы линейной и векторной алгебры Основы аналитической геометрии
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.6. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •2.6. Контрольные задания к главе 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.4. Прямая и плоскость в пространстве
- •3.5. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.6. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. Пределы и непрерывность
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к разделу II
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.4. Геометрический и механический смысл производной. Производные высших порядков
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теорема о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •ОТВЕТЫ
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Содержание
6.166. V = 64,808, dV = 60 . 6.167. R =8 . 6.168. 4dxx . 6.169. dxx . 6.170. cos x dx .
6.171. |
2x ln 2 dx . 6.172. 8x3dx . 6.173. |
6.176. |
−6x(1− x2 )2 dx . 6.177. ln x dx . |
− |
4dx |
. 6.174. (4 −2x2 )dx . |
6.175. x sin x dx . |
||
|
x3 |
4 − x2 |
|
||
|
6.178. arctgx + |
x |
|
dx . |
|
|
1+ x2 |
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
(4x +3)dx |
|
−x2 |
|
4tg 3 (x) dx |
|
||||
6.179. |
|
|
− |
|
|
dx .6.180. |
|
|
|
|
. 6.181. −2xe |
|
dx . 6.182. |
|
|
|
. |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
1− x2 |
|
1+ x |
|
1+ |
3x + 2x |
|
|
|
cos |
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.183. −5sin 5xdx . |
6.184. 19,56. |
6.185. 0,4557. 6.186. 0,8072. |
6.187. 5,9777. |
|||||||||||||
6.188. 1,4948. |
6.189. 8,0625. 6.190. 5,0267. 6.191. 4,0078. 6.192. 24,92. |
6.193.1. |
||||||||||||||
6.194. 1,1396. |
6.195. 0,0349. |
6.196. –0,02. |
6.197. 33,30 . |
6.198. |
47,90 . |
|||||||||||
6.199. |
75,6. |
6.200. |
0,3196. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 7 |
|
|
|
||||
7.1. с = |
2,25. |
7.2. нет. 7.3. Применима. 7.4. Применима. 7.5. а) c = ln−1 2; |
||||||||||||||
|
4 |
−π |
2 |
|
|
|
π |
|
|
15 |
|
23 |
c = −0,5 . |
|
|
|
б) c = |
|
|
|
. 7.6. а) c = |
4 |
; б) c = |
|
|
|
. 7.7. |
|
|
||||
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.8. arcsin(2x0 + 2 |
x) − arcsin(2x0 ) = 2 |
x(1 − 4c2 ) |
− |
1 |
|
|
c (x0 , x0 + |
x). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.10. y = −9 +17(x +1) − 9(x +1)2 + 2(x +1)3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
7.11. y = 7 +11(x −1) +10(x −1)2 + 6 ξ (x −1)3, где ξ (1, x). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.12. y = x − |
|
x3 |
|
|
+ R (x). 7.13. а) ex =1 + x + |
|
x2 |
+ |
x3 |
|
+ |
x4 |
+ R (x); |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
3! |
|
4! |
5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
б) sin x = x − |
|
x3 |
|
|
+ R (x); в) cos x =1− |
|
x2 |
|
+ |
|
x4 |
|
+ R (x); |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
4! |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
г) ln(1 + x) = x − |
x2 |
|
+ |
x3 |
+ |
x4 |
+ R (x); |
|
|
д) |
|
(1+ x)−2 =1−2x +3x2 −4x3 +5x4 + R (x). |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7.14. а) 0,5; б) 0,25. 7.16. |
|
|
1 |
. 7.17. –1. 7.18. |
1 |
|
. 7.19. 4. 7.20. − |
2 . 7.21. ln1,5. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
108 |
16 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.22. |
3 |
. 7.23. |
|
|
− |
1 |
. 7.24. |
1 |
. 7.25. |
2 |
6 |
. 7.26. 2. 7.27. |
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
6 |
6 |
3 |
0,5 ln |
. 7.28. 6. 7.29. 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
344
7.30. − 13. 7.31. 1. 7.32. 1. 7.33. 0. 7.34. –18. 7.35. ln(0,75). 7.36. 0. 7.37. 0.
7.38. 1. 7.39. ∞. 7.40. − 23 . 7.41. –2. 7.42. 0,5. 7.43. –1. 7.44. ∞. 7.45. 16 . 7.46.
1. 7.47. 1. 7.48. 1. 7.49. 1. 7.50. 1. 7.51. e−2 . 7.52. 1. 7.53. 1. 7.54. Убывает при x (−∞;3) , возрастает при x (3; +∞). 7.55. Убывает при x (−1;7) , возрастает
при |
x (−∞;−1) (7; +∞). |
7.56. Возрастает при всех х. 7.57. Убывает при |
||||||
|
−∞; |
3 |
|
, возрастает |
при |
3 |
|
7.58. Убывает при x (1;+ ∞) , |
x |
2 |
|
x |
;+ ∞ . |
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
возрастает |
при |
x (−∞;1). |
7.59. |
Убывает |
при |
x (0;+ ∞)., |
возрастает |
при |
|||||||||||||||||||
x (−∞;0) . |
7.60. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
возрастает |
при |
x |
|
1 |
; |
|
|||||||||||
Убывает при x −∞; |
, |
|
3 |
+ ∞ . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.61. Убывает при |
x (0;+ ∞)., |
возрастает при |
x (−∞;0) . |
7.62. Убывает при |
|||||||||||||||||||||||
|
0; |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
7.63. |
Убывает при x (−∞; −1) (1; +∞) , |
||||||||||||
x |
e |
|
, возрастает при x |
; +∞ . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
возрастает |
при |
x (−1;1) . |
7.64. |
Убывает |
при x |
|
8 |
;3 |
|
возрастает |
при |
||||||||||||||||
|
7 |
, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
(3; ∞). 7.65. Убывает при x (0;1) (1;e) , возрастает при x (e; +∞). |
||||||||||||||||||||||
x |
−∞; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.66. Убывает при |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7.67. Убывает при |
||||||||||||||||
x |
2 |
; 2 , возрастает при |
x 0; |
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0; |
1 |
|
, |
возрастает при |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
при всех |
х. |
|
7.69. |
||||||||
x |
2 |
|
|
x |
|
; + ∞ . 7.68. Возрастает |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Убывает |
|
при всех |
х. |
|
7.70. |
|
x = 2 |
точка минимума. |
7.71. |
x = 4 |
|
точка |
максимума. 7.72. x =1 точка минимума, x = 0 не является экстремумом. 7.73.
x = 2 |
точка максимума. 7.74. x =1 точка максимума, x = 5 точка минимума. |
|||
7.75. |
x = −1 |
точка максимума, x = 3 точка минимума. 7.76. x = − 1 |
точка |
|
|
|
|
2 |
|
минимума, |
x = 1 |
точка максимума. 7.77. x = 3 точка минимума. 7.78. x = 0 |
||
|
|
2 |
|
|
точка максимума, |
x = 2 точка минимума. 7.79. x = 0 точка минимума, |
x = 6 |
||
точка максимума. 7.80. Экстремумов нет. 7.81. Экстремумов нет. 7.82. |
x = 2 |
345
точка максимума. 7.83. |
x = 0 точка минимума. 7.84. x = 0 точка максимума. |
|||||||||||||||
7.85. |
x = − 1 |
точка |
минимума, |
|
x = |
1 |
точка |
максимума. |
7.86. |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x = −π |
+ 2πn, n z точки минимума, |
x = |
|
3π |
+ 2πn, n z точки максимума. 7.87. |
|||||||||||
|
4 |
|
||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2πn, n z точки максимума, |
|
x =π + 2πn, n z |
точки минимума. |
7.88. |
||||||||||||
x = e точка максимума, |
7.89. x = 0 точка минимума. |
7.90. Экстремумов нет. |
||||||||||||||
7.91. Экстремумов нет. 7.92. x = −1 точка минимума, |
x =1 точка максимума. |
|||||||||||||||
7.93. Экстремумов нет. 7.94. |
x = ±1 |
точка |
максимума. |
7.95. x =8 |
точка |
|||||||||||
максимума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.96. |
Наименьшее значение |
y(−2) = −73, |
наибольшее значение |
y(1) =8 . |
||||||||||||
7.97. |
Наименьшее значение |
y(2) = −7 , |
|
наибольшее значение |
y(4) =13 . |
|||||||||||
7.98. |
Наименьшее значение |
|
4 |
= − |
32 |
|
, |
наибольшее значение |
y(2) = 0 . |
|||||||
y |
|
27 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.99. |
Наименьшее значение |
|
1 |
=1,75 , |
|
наибольшее значение |
y(2) = 58 . |
|||||||||
y |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.100. |
Наименьшее значение |
y(2) = −29 , |
|
наибольшее значение |
y(−2) = 35 . |
|||||||||||
7.101. |
Наименьшее значение |
y(−2) = −21, |
наибольшее значение |
y(2) = 7 . |
||||||||||||
7.102. |
Наименьшее значение |
|
y(2) = −1, |
|
наибольшее значение |
y(0) = 3. |
||||||||||
7.103. |
Наименьшее значение |
|
y(3) = 2 , |
|
наибольшее значение |
y(1) = 10 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7.104. |
Наименьшее значение |
|
y(1) = −2 , |
|
наибольшее значение |
y(0) = 0 . |
||||||||||
7.105. |
Наименьшее значение |
y(3) = 4,5, |
|
наибольшее значение |
y(2) = 8 . |
|||||||||||
7.106. |
Наименьшее значение |
|
y(1) = −3, |
|
наибольшее значение |
y(0) = 0 . |
||||||||||
7.107. |
Наименьшее значение |
y(1) = −1, |
|
наибольшее значение y(0) = y(4) = 0 . |
||||||||||||
7.108. |
Наименьшее значение |
|
y 1 = 5 , |
|
наибольшее значение |
y(1) = 7 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.109. |
Наименьшее значение |
y(−1) = −1, |
наибольшее значение |
y(0) =1. |
||||||||||||
7.110. |
Наименьшее значение y(3) = |
7 , наибольшее значение y(0) = y(6) = 4 . |
346
7.111. Наименьшее значение |
y(2) = ln 4 − 2 , наибольшее значение |
y(1) = ln 2 . |
|||||||||
7.112. Наименьшее значение |
π |
|
= − |
π |
, наибольшее значение |
|
− |
π |
= |
π |
. |
y |
|
2 |
y |
|
2 |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
7.113. Наименьшее значение |
y(0) = 0 , наибольшее значение |
π |
|
= |
π |
−1. |
|
y |
4 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
7.114. Наименьшее значение |
|
|
π |
|
|
7π |
= −1,5 , наибольшее значение |
||||
y |
− |
|
= |
|
|
|
|||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
π |
|
= 3 . 7.119. |
12 = 6 + 6. |
7.120. 16 |
= 4 4 . 7.121. 1 : 2. 7.122. (1; 1). |
||||||
y |
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.123. |
α |
= 2 |
2π . |
7.124. D = H = 10 см. |
7.125. 4 4 2 . |
7.126. |
Функция |
||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выпукла при |
x (−∞;1) , вогнута при |
x (1;+∞), |
x =1 точка перегиба. |
7.127. |
|||||||||||||||||
Функция |
выпукла |
при |
x (−1;1) , |
вогнута |
при |
x (−∞; −1) (1;+∞), |
x = ±1 |
||||||||||||||
точки |
перегиба. 7.128. |
Функция |
выпукла |
при |
x (−∞;1) , вогнута при |
||||||||||||||||
x (1;+∞), |
x =1 |
точка |
перегиба. |
7.129. |
|
Функция |
выпукла |
при |
|||||||||||||
x (−∞; −3) (2; +∞) , |
вогнута |
при |
|
x (−3;2), |
x = 2, |
x = −3 |
точки |
перегиба. |
|||||||||||||
7.130. |
Функция выпукла при |
x (−2; 2) , |
вогнута при x (−∞; −2) (2; + ∞) , |
||||||||||||||||||
x = ±2 |
точки перегиба. 7.131. Функция выпукла при x (−∞; − 2) , вогнута при |
||||||||||||||||||||
x (−2; +∞) , |
|
x = −2 |
точка |
перегиба. |
7.132. |
Функция |
выпукла |
при |
|||||||||||||
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
при |
|
|
− |
5 |
; |
5 |
|
x = ± |
5 |
точки |
|
x −∞; − |
|
|
|
|
; +∞ , вогнута |
|
x |
|
|
, |
|
||||||||||
|
|
12 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
12 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
перегиба. |
7.133. Функция выпукла при |
x (−∞; −3 0,5) (0;1), вогнута при |
|||||||||||||||||||
x (−3 0,5;0) (1; +∞) , |
x = 0, x =1, x = −3 0,5 |
|
точки перегиба. |
7.134. Функция |
|||||||||||||||||
выпукла |
при |
|
x (−∞; − |
1,5) (0; |
1,5), вогнута |
при |
|
x (− |
1,5;0) ( 1,5; + ∞), |
||||||||||||
x = 0, |
x = ± 1,5 |
точки |
перегиба. |
7.135. Функция выпукла |
при |
x (1; + ∞), |
|||||||||||||||
вогнута при |
x (−∞;1), |
x =1 точка перегиба. 7.136. Функция выпукла при |
|||||||||||||||||||
x (0; 1), |
вогнута |
при |
x (1; + ∞), |
x =1 |
точка |
перегиба. |
7.137. |
Функция |
|||||||||||||
выпукла |
при |
|
x (0; e1,5 ), |
вогнута |
|
при x (e1,5 ; +∞), |
|
x = e1,5 |
точка |
перегиба. |
347
7.138. Функция выпукла при |
x (−∞; −1) (1; +∞). 7.139. Функция выпукла |
при x (0; e−1,5 ), вогнута при |
x (e−1,5 ; +∞), x = e−1,5 точка перегиба. 7.140. |
Функция выпукла при x (−∞;1), вогнута при x (1; + ∞), x =1 точка перегиба.
7.141. Функция выпукла при x (4; +∞), вогнута при x (−∞; 4), x = 4 точка перегиба. 7.142. Функция выпукла при x [0; +∞). 7.143. Функция выпукла
при x (−1;1) , вогнута при x (−∞; −1) (1; + ∞) , x = ±1 точки перегиба. 7.144. |
|
x =1 вертикальная асимптота, y =1 горизонтальная асимптота. |
7.145. x = 2 |
вертикальная асимптота, y = 2x +5 наклонная асимптота. |
7.146. y = 2 |
горизонтальная асимптота. 7.147. x = ±2 вертикальная асимптота, y = 2x при
x → +∞, |
y = −2x при |
x → −∞. |
7.148. |
y =1 горизонтальная асимптота. |
7.149. |
||||
y = x − 1 |
при |
x → +∞, |
y = −x + |
1 при |
x → −∞. 7.150. Асимптот нет. |
7.151. |
|||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x = 0 вертикальная асимптота, |
y = 0 горизонтальная асимптота. |
|
|||||||
7.185. 2000. |
7.186. 1600. |
7.187. 200. |
7.188. 1000. |
7.189. 20. |
7.190. 50. |
|
7.191. 200. 7.192. 100. 7.193. x = 20, p =800, c = 450 . 7.194. 4980. 7.195. P = 750,
′ |
1 |
|
′ |
1 |
′ |
= 0 , |
′ |
= − |
|
1 |
|
. |
7.196. |
R = 2394, |
|||||||||
|
|
|
|
|
12 |
|
|||||||||||||||||
P (900) = 3 , |
P (1600) = 8 , |
P (2500) |
P (3600) |
|
|||||||||||||||||||
′ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
R (14) |
= 2416 |
. 7.197. − |
3 . 7.198. –0,0003. |
7.199. − |
23 . 7.200. |
− |
3 . 7.201. − |
|
. |
||||||||||||||
38 |
|||||||||||||||||||||||
7.202. |
|
|
а) |
уменьшится |
на 0,4%; |
б) уменьшится |
|
на |
2%. |
7.203. |
1; |
40 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
7.204. |
|
|
1 |
; |
2 |
. 7.205. 0; 2. 7.206. 0,5; |
0,5. 7.207. 1; |
0,5. |
7.208. |
|
ax |
. |
|||||||||||
10 |
35 |
|
(ax +b) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7.209. |
|
|
(ad −bc)x |
7.210. n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(ax +b)(cx + d) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
348