- •Раздел I. Элементы линейной и векторной алгебры Основы аналитической геометрии
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.6. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •2.6. Контрольные задания к главе 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.4. Прямая и плоскость в пространстве
- •3.5. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.6. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. Пределы и непрерывность
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к разделу II
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.4. Геометрический и механический смысл производной. Производные высших порядков
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теорема о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •ОТВЕТЫ
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Содержание
5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
Непрерывность функции в точке. Функция y = f (x) называется непре-
рывной в точке x0 , если:
1)эта функция определена в некоторой окрестности точки x0 ;
2)существует предел lim f (x) ;
→x0
3) этот предел равен значению функции в точке x0 , т.е. lim f (x) = f (x0 ) . |
||
|
|
x→x0 |
Последнее условие равносильно условию lim |
y = 0 , где x = x − x0 – при- |
|
|
x→0 |
|
ращение аргумента, y = f (x0 + |
x) − f (x0 ) – приращение функции, соответст- |
|
вующее приращению аргумента |
x , т.е. функция |
f (x) непрерывна в точке x0 |
тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Односторонняя непрерывность. Функция y = f (x) называется непрерыв-
ной слева в точке x0 , если она определена на некотором полуинтервале (a; x0 ]
и lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0 −0
Функция y = f (x) называется непрерывной справа в точке x0 , если она оп-
ределена на некотором полуинтервале [x0 ;a) и lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0 +0
Функция y = f (x) |
непрерывна в точке x0 |
тогда и только тогда, когда она |
||||||
непрерывна |
слева |
и |
справа |
в |
этой |
точке. |
При |
этом |
lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) = f (x0 ) . |
|
|
|
|
|
|||
x→x0 +0 |
x→x0 −0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
Непрерывность функции на множестве. Функция y = f (x) называется
непрерывной на множестве X , если она является непрерывной в каждой точке x этого множества. При этом если функция определена в конце некоторого промежутка числовой оси, то под непрерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или слева. В частности, функция y = f (x) называется не-
прерывной на отрезке [a;b], если она
237
1)непрерывна в каждой точке интервала (a;b);
2)непрерывна справа в точке a ;
3)непрерывна слева в точке b .
Точки разрыва функции. Точка x0 , принадлежащая области определения функции y = f (x) , или являющаяся граничной точкой этой области, называется
точкой разрыва данной функции, если f (x) не является непрерывной в этой точке.
Точки разрыва подразделяются на точки разрыва первого и второго рода:
1) Если существуют конечные пределы lim f (x) = f (x0 −0) и
x→x0 −0
lim |
f (x) = f (x0 + 0) , причем не все три числа f (x0 −0) , f (x0 + 0) , |
f (x0 ) равны |
|
x→x0 +0 |
|
|
|
между собой, то x0 |
называется точкой разрыва I рода. |
|
|
|
В частности, если левый и правый пределы функции в точке x0 |
равны меж- |
|
ду |
собой, но |
не равны значению функции в этой точке: |
f (x0 −0) = f (x0 + 0) = A ≠ f (x0 ) , то x0 называется точкой устранимого разрыва.
В этом случае, положив f (x0 ) = A, можно видоизменить функцию в точке x0
так, чтобы она стала непрерывной (доопределить функцию по непрерывности). Разность f (x0 + 0) − f (x0 −0) называется скачком функции в точке x0 .
Скачок функции в точке устранимого разрыва равен нулю.
2) Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва II рода. В точках разрыва II рода не существует или бесконечен хотя бы один из односторонних пределов f (x0 −0) и f (x0 + 0) .
Свойства функций, непрерывных в точке.
1) Если |
функции |
f (x) |
и g(x) непрерывны в точке x0 , то функции |
f (x) ± g(x) , |
f (x)g(x) и |
f (x) |
(где g(x) ≠ 0 ) также непрерывны в точке x . |
|
|||
|
|
g(x) |
0 |
|
|
|
2)Если функция u(x) непрерывна в точке x0 , а функция f (u) непрерывна
вточке u0 = u(x0 ) , то сложная функция f (u(x)) непрерывна в точке x0 .
238
3) Все основные элементарные функции (c , xa , ax , loga x , sin x , cos x , tg x , ctg x , sec x , cosec x , arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x ) непрерывны в каж-
дой точке своих областей определения.
Из свойств 1)–3) следует, что все элементарные функции (функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции) также непрерывны в каждой точке своих областей определения.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
1) (теорема о промежуточных значениях) Пусть функция f (x) определе-
на и непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда для любого числа C , заключенного
между числами f (a) и f (b) , ( f (a) < C < f (b) ) найдется хотя бы одна точка x0 [a;b], такая, что f (x0 ) =C .
2) (теорема Больцано – Коши) Пусть функция f (x) определена и непре-
рывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах значения различных знаков.
Тогда найдется хотя бы одна точка x0 [a;b], такая, что f (x0 ) = 0 .
3) (1-я теорема Вейерштрасса) Пусть функция f (x) определена и непре-
рывна на отрезке [a;b]. Тогда эта функция ограничена на этом отрезке.
4) (2-я теорема Вейерштрасса) Пусть функция f (x) определена и непре-
рывна на отрезке |
[a;b]. Тогда эта функция достигает на отрезке [a;b] |
своего |
||||
наибольшего |
и |
наименьшего |
значений, т.е. |
существуют |
такие |
точки |
x1, x2 [a;b], |
что |
для любой |
точки x [a;b] |
справедливы |
неравенства |
f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) .
Пример 5.17. Пользуясь определением непрерывности, доказать, что функция y = 3x2 + 2x −5 непрерывна в произвольной точке x0 числовой оси.
Решение: 1 способ: Пусть x0 – произвольная точка числовой оси. Вы-
числим сначала предел функции f (x) при x → x0 , применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций:
239
lim f (x) = lim(3x2 + 2x −5) = 3(lim x)2 + 2 lim x −5 = 3x 2 |
+ 2x |
−5. |
|||||
x→x0 |
x→x0 |
x→x0 |
x→x0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||
Затем вычисляем значение функции в точке x : f (x ) = 3x 2 |
+ 2x |
−5 . |
|||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Сравнивая полученные результаты, видим, |
что |
lim f (x) = f (x0 ) , что согласно |
|||||
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
определению и означает непрерывность рассматриваемой функции в точке x0 .
2 способ: Пусть |
x – приращение аргумента в точке x0 . Найдем соот- |
|||
ветствующее |
приращение |
функции: |
y = f (x0 + x) − f (x0 ) = |
|
3(x + x)2 + 2(x + x) −5 −(3x 2 + 2x −5) |
|
|||
0 |
0 |
0 |
0 |
|
= 6x x + ( x)2 |
+ 2 x = (6x + 2) x + ( x)2 . |
|
||
0 |
|
0 |
|
|
Вычислим теперь предел приращения функции, когда приращение аргу- |
||||
мента |
|
стремится |
к |
нулю: |
lim |
y = lim (6x + 2) |
x + ( x)2 = (6x + 2) lim |
x + ( lim x)2 = 0 . |
||
x→0 |
x→0 |
0 |
0 |
x→0 |
x→0 |
|
|
Таким образом, lim y = 0 , что и означает по определению непрерывность
x→0
функции для любого x0 R .
Пример 5.18. Найти точки разрыва функции f (x) и определить их род. В
случае устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности:
1)f (x) = 1 − x2 при x <3 ;
5x при x ≥ 3
2)f (x) = x2 + 4x +3 ;
x+1
|
5 |
|
|
|
|
3) |
f (x) = |
|
; |
|
|
x4 (x − 2) |
|||||
4) |
f (x) = arctg |
1 |
|
. |
|
(x −5) |
Решение: 1) Областью определения данной функции является вся число-
вая ось (−∞;+∞). На интервалах (−∞;3), (3;+∞) функция непрерывна. Разрыв возможен лишь в точке x = 3 , в которой изменяется аналитическое задание функции.
240
Найдем односторонние пределы функции в указанной точке:
f (3 −0) = lim (1 − x2 ) =1 −9 =8;
x→3−0
f (3 + 0) = lim 5x =15.
x→3+0
Мы видим, что левый и правый пределы конечны, поэтому x = 3 |
– точка |
||||
разрыва I |
рода |
функции |
f (x) . Скачок функции в |
точке |
разрыва |
f (3 + 0) − f (3 −0) =15 −8 = 7 . |
|
|
|
||
Заметим, |
что |
f (3) = 5 3 =15 = f (3 + 0) , поэтому в точке |
x = 3 |
функция |
f(x) непрерывна справа.
2)Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = −1, в которой она не определена. Преобразуем выражение для f (x) , разложив числитель
дроби на множители: |
f (x) = |
|
x2 |
+ 4x +3 |
= |
(x +1)(x +3) |
= x +3 при x ≠ −1. |
||
|
|
x +1 |
|
x +1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем односторонние пределы функции в точке x = −1: |
|||||||||
lim |
f (x) = lim |
f (x) = lim(x +3) = 2 . |
|
||||||
x→−1−0 |
x→−1+0 |
|
x→−1 |
|
|
|
Мы выяснили, что левый и правый пределы функции в исследуемой точке существуют, конечны и равны между собой, поэтому x = −1 – точка устранимо-
го разрыва функции f (x) = |
x2 |
+ 4x +3 |
. График функции представляет собой |
|
|
x +1 |
|
||
|
|
|
прямую y = x +3 с «выколотой» точкой M (−1;2) . Чтобы функция стала непре-
рывной, следует положить f (−1) = f (−1 −0) = f (−1+ 0) = 2 .
Таким образом, доопределив f (x) по непрерывности в точке x = −1, мы получили функцию f * (x) = x +3 с областью определения (−∞;+∞).
3)Данная функция определена и непрерывна для всех x , кроме точек
x= 0 , x = 2 , в которых знаменатель дроби обращается в ноль.
Рассмотрим точку x = 0 :
241
Поскольку в достаточно малой окрестности нуля функция принимает толь-
ко отрицательные значения, то f (−0) = lim |
|
5 |
= −∞ = f (+0) |
, т.е. точка |
|
x4 |
(x − 2) |
||||
x→−0 |
|
|
|||
x = 0 является точкой разрыва II рода функции |
f (x) . |
|
|
Рассмотрим теперь точку x = 2 :
Функция принимает отрицательные значения вблизи слева от рассматри-
ваемой точки и положительные – справа, поэтому |
f (2 −0) = |
lim |
5 |
= −∞, |
||||
x4 (x − 2) |
||||||||
|
|
|
|
|
x→2−0 |
|
||
f (2 + 0) = lim |
|
5 |
= +∞. Как и в предыдущем случае, в точке x = 2 |
функ- |
||||
x4 |
(x − 2) |
|||||||
x→2+0 |
|
|
|
|
|
ция не имеет ни левого, ни правого конечного пределов, т.е. терпит в этой точке разрыв II рода.
4) Данная |
функция |
терпит |
разрыв |
в |
точке |
|
x = 5 . |
При |
этом |
|||||||||
f (5 −0) = lim arctg |
1 |
|
|
|
= − |
π , f (5 + 0) = lim arctg |
|
1 |
|
= |
π |
, т.е |
x = 5 |
– точ- |
||||
(x −5) |
|
(x −5) |
2 |
|||||||||||||||
x→5−0 |
|
|
2 |
x→5+0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
ка разрыва |
I |
рода. |
Скачок |
функции |
в |
|
данной |
точке |
равен |
|||||||||
f (5 + 0) − f (5 −0) = |
π −(− |
π ) =π (см. рис. 5.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
•1 |
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
− |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.5.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
5.174. Пользуясь лишь определением, доказать непрерывность функции f (x) в
каждой точке x0 R :
242
а) f (x) = c = const ; |
|
б) f (x) = x ; |
|
в) f (x) = x3 ; |
|
г) f (x) = 5x2 − 4x +1; |
|
д) f (x) = sin x . |
|
|
|
5.175. Доказать, что функция |
f (x) = x2 |
+1 при x ≥ 0, |
является непрерывной на |
|
|
1 при x < 0 |
|
всей числовой оси. Построить график этой функции. |
|
||
5.176. Доказать, что функция |
f (x) = x2 |
+1 при x ≥ 0, |
не является непрерывной |
|
|
0 при x < 0 |
|
в точке x = 0 , но непрерывна справа в этой точке. Построить график функции f (x) .
−x2 + x +1 при x ≤ |
1 |
, |
||
5.177. Доказать, что функция f (x) = |
|
1 |
2 |
не является непре- |
|
2x + 2 при x > |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
рывной в точке x = |
1 |
, но непрерывна слева в этой точке. Построить график |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
функции f (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5.178. Построить графики функций |
|
|
|
|
|
|||||||||
а) y = |
|
|
x +1 |
|
|
; |
|
б) y = x + |
|
|
x +1 |
|
|
. |
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Какие из условий непрерывности в точках разрыва этих функций выполнены, и какие не выполнены?
5.179. Указать точку разрыва функции
sin x |
, при x ≠ 0 |
|
|
|
x |
. |
|
y = |
|
||
|
2, |
при x = 0 |
|
|
|
Какие из условий непрерывности в этой точке выполнены, и какие не выполнены?
243
1
5.180. Указать точку разрыва функции y = 2x и определить ее род. Найти lim y
x→±∞
и построить эскиз графика функции. Какие условия непрерывности в точке разрыва не выполнены?
Найти точки разрыва функции f (x) и определить их род. Построить гра-
фик данной функции.
5.181. f (x) = − |
6 . |
|
|
|
|
5.182. f (x) = tg x . |
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.183. f (x) = |
|
4 |
|
. |
|
|
5.184. f (x) = |
|
|
1 |
|
. |
|
|
4 |
− x2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2x |
|
|
|
|
||
5.185. f (x) = arctg |
|
|
a |
. |
5.186. f (x) = |
x3 |
− x2 |
. |
||||||
x |
− a |
2 |
x − |
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Найти точки разрыва функции |
f (x) и определить их род. В случае разрыва |
первого рода найти скачок функции в точках разрыва. В случае устранимого разрыва доопределить функцию « по непрерывности».
5.187. f (x) = |
|
1 |
. |
5.188. f (x) = |
1 |
||
x3 |
− x2 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
21−x +1 |
||||
|
|
|
|
|
1
|
3 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.189. f (x) = |
x−2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
1 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2x +5 при x < −1, |
|
|
|
|
||||||||||||||
5.191. f (x) = |
|
1 |
при x > −1 |
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
≤ x |
≤ |
π |
, |
|
|||
|
cos x при − |
2 |
4 |
|
|||||||||||||||
5.193. f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
π |
2 |
|
π |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
− |
при |
≤ x ≤π |
|
|||||||||||
|
x |
|
|
16 |
|
4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.195. f (x) = |
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
1−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
−e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.190. f (x)
5.192. f (x)
5.194. f (x)
5.196. f (x)
x + 2
= arctg(x + 2) .
=1 − xsin 1x .
= (1 + x)n −1 , n N . x
tg xarctg 1
= x −3 . x(x −5)
244