Глава 5. Ряды динамики

5.1. Методические рекомендации и решения типовых задач

Ряды показателей, которые характеризуют изменение социально-экономических явлений во времени, называют рядами динамики.

Различают интервальные и моментные ряды динамики. В интервальном ряду динамики показатели характеризуют размер явлений за определенный период (интервал) времени – месяц, квартал, год и т.д.

В моментном ряду динамики показатели характеризуют размер явлений на определенный момент времени - на начало или конец квартала, года и т.п.

При составлении рядов динамики необходимо учитывать условия сопоставимости показателей. Показатели в рядах динамики должны быть сопоставимыми по содержанию, времени, кругу охватываемых единиц, методологии определения, единицам измерения.

Показатели рядов динамики называются уровнями. Первый показатель ряда называется начальным уровнем, последний – конечным уровнем.

В результате сопоставления уровней динамических рядов вычисляются аналитические производные показатели. Они могут быть определены цепным и базисным способом. При цепном способе, каждый последующий уровень сопоставляется с предыдущим, при базисном – с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения.

Выделяют следующие аналитические производные показатели:

1. Абсолютный прирост (∆ Y) - разность значений двух уровней ряда динамики

• Базисный (∆Y_б) - исчисляется как разность между сравниваемым уровнем ряда Y_i и уровнем, принятым за постоянную базу сравнения Y₀;

∆ Y_б = Y_i – Y₀;

• Цепной (∆ Y_ц) - разность между сравниваемым уровнем ряда Y_i и уровнем, ему предшествующим Y_i-1

∆ Y_ц = Y_i – Y_i-1;

Где Y_i – значение показателя в i –м периоде; Y₀ – значение показателя в базисном периоде; Y_i-1 - значение показателя в предшествующем i–му периоде.

2. Темп роста (Тр) – отношение двух уровней. Может выражаться в виде коэффициента или в процентах;

• Базисный (Тр_б ) исчисляется как отношение сравниваемого уровня ряда Y_i и уровня, принятого за постоянную базу сравнения Y₀;

Т_б = ;

• Цепной (Тр_ц) – исчисляется как отношение сравниваемого уровня ряда Y_i и уровня, ему предшествующего Y_i-1 ;

Т_ц = ;

3. Темп прироста (∆Тп) отношение абсолютного прироста к сравниваемому уровню. Он характеризует абсолютный прирост в относительных величинах;

• Базисный (∆Тп _б) – исчисляется как отношение абсолютного базисного прироста ∆ Y_бi и уровня, принятого за постоянную базу сравнения Y₀;

∆Тп_{б =};

• Цепной (∆Т_ц) – исчисляется как отношение цепного прироста ∆ Y_ц и уровня, ему предшествующего Y_i-1;

∆Тп _ц = ;

Между показателями темпа роста и прироста существует взаимосвязь: темп прироста всегда на единицу меньше темпа роста, выраженного в коэффициентах, и на 100% меньше темпа роста, выраженного в %:

∆Тп_б= Тр_б – 1;

∆Тп_ц= Тр_ц – 1;

∆Тп_i= Тр_i*100 – 100;

4. Абсолютное значение 1% прироста (А_1%) – отношение абсолютного прироста к темпу прироста.

А_1% = ∆ Y_i / ∆Тп_i;

Абсолютное значение 1% прироста показывает насколько весом каждый процент прироста, какое абсолютное содержание за ним скрывается.

Между базисными и цепными показателями динамики существует следующая взаимосвязь:

- сумма цепных абсолютных приростов за определенный период времени равна базисному абсолютному приросту за весь этот период:

∆ Y_цI = ∆ Y_бi;

- последовательное произведение цепных темпов роста, выраженных в коэффициентах, за определенный период времени дает базисный темп роста за этот же период:

Тр_ц1 х Тр_ц2 … Тр_цi = Тр_бi

х=

Для получения обобщающей характеристики динамики изучаемых явлений рассчитываются средние показатели динамики.

1. Средний уровень ряда характеризует типичную величину абсолютных уровней. Он рассчитывается:

• в интервальном ряду по формуле средней арифметической простой:

где Y_{i –} значение показателя в i-м интервале времени; n –количество интервалов.

• в моментном динамическом ряду с равными промежутками времени между датами – по формуле средней хронологической:

_{где n количество моментов времени, на которые зафиксированы значения показателя( Yn).}

• В моментном ряду с неравными промежутками времени между датами – по формуле средней арифметической взвешенной:

_{где ti величина промежутка времени между двумя датами;}

-среднее значение признака на каждомi-м промежутке, рассчитывается по формуле средней арифметической простой:

_{где Yi и Yi+1 значения признака соответственно в начале и в конце интервала.}

2. Средний абсолютный прирост – обобщающий показатель скорости абсолютного изменения уровней динамического ряда:

_{где n – число уровней динамического ряда}

_{где n – число цепных абсолютных приростов}

3. Средний темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста для ряда динамики:

_{где n – число уровней динамического ряда}

где ПТр_цi – произведение цепных коэффициентов роста, n – количество коэффициентов.

4. Средний темп прироста – определяется на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста. При наличии данных о средних темпах роста, выраженных в виде коэффициентов, необходимо из коэффициентов вычесть единицу, а для выраженных в процентах – от темпа роста отнять 100%:

00%

Пример:

Сбербанк представил следующие показатели об остатках вкладов за 2010 и 2011 гг.

Остатки вкладов	2010 г.				2011 г.
	1 квартал	II квартал	III квартал	IV квартал	1.01	1.04	1.07	1.10	1.01 – 2012г.
Млн. руб.	160	190	250	280	220	240	270	300	320

Определите:

1. средние остатки вкладов за 2010 и 2011 гг.

2.изменение средних остатков (в абсолютных и относительных величинах).

Решение

Средние остатки вкладов за 2010 год определим по формуле

_{Средние остатки вкладов за 2011 год определим по формуле}

_{Изменение остатков: ∆Y=(270-220) =50млн. руб.}

∆Тп = ∆ Y / Y₀*100=50/220*100=22,7%

Пример:

Списочная численность работников фирмы в 2011 году составила: на 1 января 530 человек, на 1 марта 570, на 1 июня –520, на 1 сентября 430 человек, а на 1 января 2012 года 550 человек.

1. Вычислите среднегодовую численность работников фирмы за 2011 год.

2. Определите изменение численности в 2011 году по сравнению с 2010 (в абсолютных и относительных величинах), если известно, что среднегодовая численность работников фирмы за 2010 год составляла 503 человека.

Решение

Среднегодовая численность работников фирмы определим по формуле средней арифметической взвешенной

_{Изменение численности: ∆у= 510-503 = 7 чел.}

Пример:

Численность населения Республики Беларусь на начало года характеризуется следующими данными (тыс. чел.):

Показатели	2007	2008	2009	2010	2011
Численность населения РБ	9579	9542	9514	9500	9481

Для анализа динамики численности населения вычислите:

1. абсолютные приросты, темпы роста и прироста к 2007 году. Полученные данные представьте в виде таблицы.

2. среднегодовые: абсолютный прирост, темп роста и прироста.

Сделайте вывод.

Решение

Показатели ряда динамики

Показатели	2007	2008	2009	2010	2011
Абсолютный прирост тыс. чел.		-37	-65	-79	-98
Тем роста, %		99,6	99,3	99,2	99,0
Темп прироста, %		-0,4	-0,7	-0,8	-1,0

Среднегодовой абсолютный прирост (снижение):

_{Среднегодовой темп роста}

_{Среднегодовой темп прироста (снижения) 99,7% – 100% = -0,3%}

Вывод: ежегодно численность населения в республике уменьшается на 24,5 тыс. чел. что составляет 0,3%