Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Metodicheskie_rekomendatsii_k_vypolneniyu_KR_1

.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
18.02.2016
Размер:
661 Кб
Скачать

4) (u(x) v

 

 

(x))

= u (x)v(x) +u(x)v

(x) ;

 

 

 

 

 

 

5)

u(x)

=

u (x)v(x) −u(x)v (x)

.

 

 

 

 

v 2

(x)

 

 

v(x)

 

 

 

 

Правило дифференцирования сложной функции: если y = f (u(x)), т.е. y = f (u), u = u(x) , то y′(x) = f ′(u) u′(x) , где x – основной аргумент, u – промежуточный или вспомогательный аргумент.

Таблица производных основных элементарных функций.

1) (xα )= α xα−1, α R ; 2) (x)=1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) (

 

x )=

 

 

1

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) (a

 

)

 

 

= a

 

 

lna ;

 

 

 

 

 

 

 

6) (e

 

)

= e

 

;

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

(loga x)=

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

8) (ln x)=

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9) (sin x)= cos x ;

 

 

x lna

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

10)

(cos x)= −sin x ;

 

 

 

 

11)

(tgx)=

 

 

 

 

;

 

 

 

12)

(ctgx)= −

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13)

(arcsin x)=

 

 

 

 

 

; 14)

(arccos x)= −

 

 

 

; 15)

(arctgx)=

 

1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1− x2

 

 

1− x2

 

1+ x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16);

(arcctgx)= −

 

 

 

1

 

 

17)

(shx)= chx ;

 

 

 

 

 

 

18)

(chx)= shx ;

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1+ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19)

(thx)=

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

20)

(cthx)= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch2x

 

 

 

 

 

 

 

 

sh2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 22. Найти производные следующих функций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) y = x5 + 33 x2 − 2x x

 

2 + 3

 

 

 

− 4x + 6 ;

2) y = x2 ln x ;

3) y = arcsin x .

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

Решение. 1) Запишем функцию в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x5 + 33 x2 − 2x x

2 +

4x + 6 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x5 + 3 x3 − 2 x1−

2 + 3 x−1 − 2 x−2 − 4 x + 6 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x5 + 3 x3 − 2 x

 

 

2 + 3 x−1 − 2 x−2 − 4 x + 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользуемся основными правилами дифференцирования и табли-

цей производных:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

+ 3

x

3

− 2 x

2

+ 3 x

2 x

 

− 4 x

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

51

=

(

x5

)

 

 

x

2

 

 

3

(

3

)

(

2

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3

3

− 2 x 2

+

 

x−1

 

x−2 (4 x)+ 6′ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 5x5−1 +

3

2

 

2 −1

 

 

3

 

3 −1

+ 3 (−1)x−1−1 − 2 (−2)x−2−1 − 4

1+ 0 =

3

x3

− 2 −

x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 5x4 + 2x31 + 3x52 −3x−2 + 4x−3

4 = 5x4 +

 

2

+

3

3

+

 

4

− 4.

3 x

x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

x3

2) Воспользуемся правилом нахождения производной произведения и таблицей производных:

y′ = (x2 ln x)= (x2 )ln x + x2 (ln x)= 2x ln x + x2 x1 = 2x ln x + x.

3) Воспользуемся правилом нахождения производной частного и таблицей производных:

 

arcsin x

 

(arcsin x)x −arcsin x (x)

 

 

 

1

 

x −arcsin x 1

 

 

 

 

 

 

1− x2

 

y′ =

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

=

x

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

x

−arcsin x

1− x

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

1− x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2

 

 

3

 

 

3

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

1)

y

=

5x

 

+ 3 x

+

 

x5

x2 + x3 − 4 ;

2)

y

= 2x ln x + x ; 3)

 

 

 

 

y′ =

x −arcsin x

 

1− x2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

1− x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим дифференцирование сложной функции.

Запишем таблицу дифференцирования сложных элементарных функций. Пусть функция u = u(x) имеет производную.

 

 

α

 

 

 

 

 

 

α−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) (

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=αu u (x),

;

2) ( u ) =

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

3)

 

u (x)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

u

 

 

 

 

 

 

 

= −

u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u (x)

 

 

 

 

 

 

4) (u )

=

u

 

 

 

lna

 

 

 

 

 

5) (e )

=

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

(log u)

 

=

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

u (x) ;

 

 

 

 

u (x) ;

 

 

 

 

 

a

 

 

 

u lna

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7) (lnu)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8) (sinu)

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(cosu)

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= u (x) ;

 

 

 

cosu

 

 

9)

sinu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u (x);

 

 

 

 

 

 

u (x) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u (x)

 

 

 

 

 

=

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

u (x)

 

 

 

12)

(arcsinu)

=

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10)

(tgu)

 

 

 

 

cos2 u

u (x) ;

11)

(ctgu)

 

 

 

 

 

sin2 u

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1−u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13)

(arccosu)= −

 

 

 

; 14)

(arctg u)

=

u (x)

 

;

15)

(arcctg u)= −

 

u (x)

 

;

 

 

 

 

1−u2

1+u2

 

1+u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

52

 

 

1

 

 

 

16) (shu)

17) (chu)

18) (thu) =

 

u (x) ;

= chu u (x) ;

= shu u (x) ;

 

ch2u

 

 

 

 

 

 

 

19) (cthu)= −sh12u u′(x).

Если в заданной сложной функции выделить последовательность основных элементарных функций, ее составляющих, то нетрудно найти производную любой сложной функции, причем промежуточных аргументов может быть несколько.

 

Пример 23. Найти производные следующих функций:

 

 

1) y =103x−5 ; 2) y = cos3(8 −5x2 ) ; 3) y = e3x

7x2 + 3 ; 4) y =

x +ln(3x)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg2x

 

 

 

Решение. 1) Представим данную функцию в виде y =10u , u = 3x −5.

 

Тогда производная функции по аргументу x будет равна:

 

 

y

u

u

u

ln10 3 =10

3x−5

ln10 3 = 3ln10 10

3x−5

 

= (10

)u u

 

= (10 )u (3x −5)x =10

 

 

.

2) Представим функцию в виде: y = u3 , u = cosv , v = 8 −5x2 . Тогда по правилу дифференцирования сложной функции и таблице производных получим:

y′ = (cos3(8 −5x2 ))= (u3 )u (cosv )v (8 −5x2 )x = 3u2 (−sinv ) (−10x) =

=3cos2(8 −5x2 ) (−sin(8 −5x2 )) (−10x)= 30x cos2(8 −5x2 ) sin(8 −5x2 ).

3)Воспользуемся правилами нахождения производной произведения

ипроизводной сложной функции, а так же таблицей производных:

y′ = (e3x )7x2 + 3 + e3x ( 7x2 + 3 )=

 

 

 

= e3x (3x)7x2 + 3 + e3x

 

1

 

(7x2 + 3)=

 

 

 

 

7x2 + 3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

7x

 

 

= e3x 3 7x2 + 3 + e3x

14x = e3x

3

7x2 + 3 +

 

 

.

 

 

 

 

 

2 7x2 + 3

 

 

 

 

 

 

7x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3

4) Воспользуемся правилами нахождения производной частного и производной сложной функции, а так же таблицей производных:

 

 

 

y

′ = (x +ln(3x))tg2x (x +ln(3x)) (tg2x)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

(tg2x)2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

+

 

 

(3x)

tg2x (x

+ln(3x))

 

(2x)

 

 

3x

cos2(2x)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

tg2

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

53

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

(x +ln(3x))

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

(x +ln(3x))

 

 

 

 

1+

 

 

 

 

3

tg2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

+

 

 

 

 

tg2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2(2x)

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2(2x)

 

 

=

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg2 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg2 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упростим полученное выражение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2(x +ln(3x))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+

 

 

tg2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

x +1

 

cos

2

2x tg2x − 2x

(

x

 

+ln(3x)

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

cos (2x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg2 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x cos2

2x tg2 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x +1) cos2 2x

 

sin2x

− 2x

(x +ln(3x))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x cos2 2x

 

sin2 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (x +1) cos2x sin2x − 2x (x +ln(3x)) = (x +1) sin4x − 4x (x +ln(3x)).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x sin2 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x sin2 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

1)

y′ = 3ln10 103x−5 ;

 

 

 

 

2)

 

y′ = 30x cos2(8 −5x2 ) sin(8 −5x2 );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +1 sin4x − 4x

(

x +ln(3x)

 

 

 

3) y′ = e3x 3 7x2

+ 3 +

 

 

 

 

; 4) y

= (

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7x2 + 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x sin

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16. Производная функции, заданной параметрическими уравне-

ниями. Производная неявной функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если функция

 

 

 

y = y(x)

задана

 

параметрическими

 

 

 

 

уравнениями

x = x(t),

то производную функции находят по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = y(t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yx =

 

 

y (t)

 

=

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

3t

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 24. Найти производную

, если

 

 

t +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= t

2

+ 2t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3t

 

 

 

(3t )

(t +1) −3t

(t +

 

 

 

 

 

3(t +1) −3t

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (t)

=

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t

+1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t +1)2

 

 

 

 

(t +1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′(t) = (t2 + 2t )= 2t + 2 = 2(t +1).

 

dy

 

 

2(t +1)

 

2

 

2

 

Тогда,

=

y (t)

=

(t +1)

=

(t +1)3 .

dx

 

3

 

3

 

 

x (t)

 

 

 

 

 

 

dy

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

dx

=

3 (t +1)3 .

 

 

 

 

 

 

54

Пусть уравнение F(x,y ) = 0 определяет одну или несколько так называемых неявных функций y = y(x) . Будем считать, что эти функции дифференцируемы. Чтобы найти производную функции, заданной неявно, будем дифференцировать обе части уравнения F(x,y ) = 0 по x . Получим уравнение первой степени относительно y′, из него выразим производную y′(x) .

Пример 25. Найти yx из уравнения x3 + ln y x2 ey = 0 .

Решение. Берем производную по переменной x от обеих частей уравнения, получим:

3x2 + y1 y′−(2x ey + x2ey y)= 0 .

Слагаемые, содержащие y′, оставим в левой части уравнения, ос-

тальные перенесем вправо.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

y

 

y

 

2

 

 

 

 

y

 

 

 

x e

 

= 2xe

 

 

−3x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда следует, что производная равна y

(2xey −3x2 ) y

 

= 1− x2yey

.

 

Ответ: y

(2xey −3x2 ) y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1− x2yey

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17. Производные высших порядков.

Производной второго порядка (второй производной) функции y = f (x)

называется производная от ее производной, т. е. y′′ = (f ′(x))′ = f ′′(x). Если s = f (t) – закон прямолинейного движения материальной точки,

то s′ = f ′(t) есть скорость этого движения в момент времени t , а s′′ = f ′′(t) –

ускорение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производные высших порядков (третья, четвертая и т. д.) находятся

при последовательном дифференцировании:

 

 

 

 

 

 

y

′′′

′′

y

(4)

 

 

′′′

, …, y

(n)

= (f

(n−1)

 

 

 

= (f (x)) ,

 

= (f (x))

 

 

 

(x)) .

 

Если функция

y = y(x)

задана параметрически системой уравнений

x = x(t),

то производные

 

 

′′

 

′′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yx,

 

yxx,

yxxx, .... находятся по формулам:

y = y(t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′ ′

 

 

′′

 

 

 

 

 

 

y (t)

 

 

′′

 

(yx )t

′′′

=

(yxx )t

,

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yx =

, yxx =

 

, yxxx

 

 

 

 

 

 

x (t)

 

 

 

 

x (t)

 

 

x (t)

 

 

55

Пример 26. Найти все производные высших порядков от функции y = x5 − 4x3 + 7x 2 −8 .

Решение.

 

y

= 5x

4

−12x

2

+14x ;

y

′′

=

 

 

′ ′

 

= (5x

4

−12x

2

+

 

 

 

 

 

 

 

= 20x

3

 

− 24x +14 ;

 

 

 

 

 

 

 

(y )

 

 

 

14x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′′′ = (y′′)= (20x3 − 24x +14)= 60x2 − 24 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(4) = (y′′′)= (60x2 − 24)=120x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(5) = (y(4) )= (120x)=120 ; y(6) = y(7) =

 

 

 

= 0.

 

 

 

 

Пример 27. Найти первую и вторую производные функции, заданной

параметрически x = lnt,

y

=

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Первая производная находится по формуле y

x =

y (t)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (t)

= −

 

 

 

 

,

 

 

x (t) =

 

 

,

 

 

 

yx

=

 

 

= −

 

 

 

 

:

 

 

= −

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

t

 

dx

t2

 

t

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вторую производную найдем по формуле y′′xx =

d

2

y

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(yx )t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx2

 

 

 

xt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′ ′

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

(yx )t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

=

 

 

, тогда

 

 

=

 

 

 

 

 

 

:

 

 

=

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(yx )t

t

 

 

t2

yxx =

 

xt

 

 

t

2

 

t

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: y′′xx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18. Правило Лопиталя раскрытия неопределенных выражений.

 

Пусть функции f (x)

и ϕ(x) дифференцируемы в окрестности точки x0

и ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

f (x) = lim ϕ(x) = 0

( lim

f (x) = lim ϕ(x) = ∞) , т. е.

 

(x) ≠ 0. Если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

xx0

 

 

 

 

 

xx0

 

 

 

 

 

 

 

x

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

частное

 

 

 

в точке

 

 

x0

представляет собой неопределенность вида

ϕ(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

lim

=

lim

 

f (x)

 

при условии, что существует пре-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx

ϕ(x)

 

xx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

ϕ

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дел отношения производных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если частное

 

(x)

 

в точке x = x0 также имеет неопределенность вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

, то справедлива формула

 

 

 

 

или

 

 

и существует

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ′′(x)

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

56

 

 

 

′′

 

 

lim

f (x)

=

lim

f (x)

.

 

xx

 

xx

′′

0

ϕ (x)

 

0

ϕ

(x)

В случае неопределенностей вида

(0 ∞)

или (∞ − ∞) выражение под

знаком предела следует преобразовать алгебраически так, чтобы полу-

чить неопределенность вида

 

0

или

 

и далее воспользоваться

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

правилом Лопиталя.

В случае неопределенности вида (00 ), (0 ), (1) следует воспользо-

 

 

 

b

 

lnab

 

blna

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

lim f (x)

 

 

 

ваться тождеством a

= e

= e

и свойством e

= e

xx

.

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 28. Вычислить пределы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x3

−7x2 + 4x + 2

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

1) lim

;

2) lim

;

 

3) lim (1+ x)ln x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 −5x + 4

 

 

 

 

x→1

 

 

 

 

x

→0

x

 

ex −1

 

 

x

→∞

 

 

 

Решение. 1) Подставив х = 1 в функцию, получим неопределенность

вида 00 . Применим правило Лопиталя: найдем производные числителя и знаменателя; в полученное отношение производных подставим х=1:

 

x3

−7x2 + 4x + 2

 

0

 

(x3 −7x2 + 4x

+ 2)

 

lim

 

 

 

=

 

 

= lim

(x3 −5x + 4)

=

 

x3 −5x + 4

0

x→1

 

 

 

x→1

 

 

 

= lim

3x2 −14x +

4

=

3 −14 +

4

=

7

= 3,5.

 

 

 

3x2 −5

 

3 −5

 

2

 

 

 

x→1

 

 

 

 

 

 

 

2) Подставив х=0 в функцию, получим неопределенность вида (∞ − ∞).

Приведем выражение под знаком предела к общему знаменателю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

= (∞ − ∞)

 

 

ex −1− x

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

=

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

 

x(ex −1)

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

x

 

 

−1

 

 

 

 

x

→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правило Лопиталя будем применять дважды:.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex −1− x

 

 

0

 

 

 

 

 

ex −1

 

0

 

 

 

 

 

ex

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

lim

 

x(ex −1)

=

 

=

lim

 

 

 

 

 

 

=

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

=

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + x

2

x→0

 

 

 

0

 

x→0 ex −1+ xex

 

0

 

x→0 2ex + xex

 

x→0

 

 

3)

При x → ∞ получим неопределенность вида (0 ). Воспользуемся

 

 

 

 

b

 

 

 

lnab

 

 

 

blna

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(x)

 

 

lim f (x)

 

 

 

 

 

тождеством a

= e

= e

и свойством

lim e

= e

xx

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

ln(1+x)

 

 

 

 

ln(1+x)

 

 

 

lim

ln(1+x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim (1+ x)ln x = (0 )= lim eln x

 

 

= lim e

ln x

= ex

→∞

ln x .

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57

Рассмотрим предел в показателе. При x → ∞ получим неопределен-

ность вида . Применим правило Лопиталя:

 

 

 

ln(1+ x) =

 

 

1

 

 

 

x

 

lim

= lim

1+ x

= lim

 

=1;

 

+ x

x→∞

ln x

 

 

x→∞

1

 

x→∞ 1

 

 

 

 

 

ln(1+x)

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

1

 

lim

= e1 = e .

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда: lim (1+ x)ln x

= ex→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 1) 3,5; 2) 0,5; е.

19. Векторная функция скалярного аргумента и ее производная. Уравнения касательной и нормальной плоскости.

Если каждому значению действительной переменной t D поставлен в соответствие вектор r (t) 3 то говорят, что на множестве D задана вектор-функция действительной переменной r = r (t).

Задание вектор-функции r = r (t) равносильно заданию трех скалярных функций x(t), y(t), z(t) – координат вектора r = r (t):

r (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k

Годографом вектор-функции r = r (t) называется множество точек, являющихся концами всех векторов r = r (t), которые приложены к началу координат. Параметрические уравнения годографа имеют вид x = x(t) , y = y(t), z = z(t) .

Производная r ′(t) есть вектор, направленный по касательной к годографу вектора r = r (t) в сторону возрастания параметра t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производную r (t) вектор-функции скалярного аргумента находят по

правилу:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

′′

′′

′′

r (t) = x (t) i

+ y (t) j + z

(t) k ; r

 

(t) = x (t) i + y

(t)

j + z (t) k .

Уравнение касательной к пространственной линии

 

r (t) = x(t) i

+ y(t) j + z(t) k

в

точке

 

M0(x(t0 ), y(t0 ),

z(t0 )) = M0(x0, y0,z0 )

определяется уравнениями:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

0

 

y y

0

 

z z

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

=

 

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (t0 )

 

y (t0 )

z (t0 )

 

 

Уравнение нормальной плоскости (плоскость, перпендикулярная к касательной линии r = r (t) в точке M0(x0, y0,z0 ) ) имеет вид:

x′(t0 ) (x x0 ) + y′(t0 ) (y y0 ) + z′(t0 ) (z z0 ) = 0 .

58

Пример 29. Найти уравнения касательной и нормальной плоскости к го-

дографу векторной функции r

= 4sin2 t i

 

+4sint cost j

+2cos2 t k

при t =

π

.

 

4

 

Решение.

Канонические

 

 

 

уравнения

 

касательной

 

к

 

кривой

rG

= x(t)iG + y(t)Gj + z(t)kG

 

в точке M0(x0,y0,z0 ) имеют вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x − x

0

 

=

y − y

0

=

 

z − z

0

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (t0 )

 

 

y (t0 )

 

 

 

 

 

z (t0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а уравнение нормальной плоскости:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x′(t0 )(x − x0 )+ y′(t0 )(y − y0 )+ z′(t0 )(z − z0 )= 0 .

 

 

 

 

 

 

В данном случае x(t) = 4sin2 t , y(t) = 4sint cos t , z(t) = 2cos2 t ,

 

 

 

 

 

x0 = x(t0 ) = x

 

π

 

 

4 sin

2

π

= 4

 

1

 

2

 

= 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

=

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0 = y(t0 ) = y

 

π

=

 

4sin

 

π

cos

π

= 4

 

 

 

 

1

 

 

1

= 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

2

 

π

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z0 = z(t0 ) = z

4

 

=

 

2cos

 

 

4

= 2

 

 

 

 

 

 

 

=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

2

 

= 8sint cos t =

4sin2t ;

 

 

 

 

 

= 4sin

= 4 1 = 4;

 

x (t) = (

4sin

t)

x (t0 )

= x

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

π

= 0 ;

 

 

 

y (t) =

(4sint cos t) = (2sin2t) = 4cos2t

, y (t0 ) = y

 

= 4cos

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

= −4cos t sint

= −2sin2t

 

 

 

 

 

 

π

= −2sin

π

= −2 .

 

z (t) = (2cos

 

t)

; z (t0 ) = z

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

x − 2

=

y − 2

 

= z −1 – уравнения касательной,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

0

 

 

 

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

(x − 2)+ 0(y − 2)− 2

(z −1)= 0 или 4x − 2z − 6 = 0 – уравнение нормаль-

ной плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

x − 2

=

y − 2

= z −1

 

– уравнения касательной, 4x − 2z − 6 = 0 –

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение нормальной плоскости.

20. Полное исследование функции. Построение графика функции.

Функция y = f (x) называется монотонно возрастающей (монотонно убывающей) на множестве D , если для любых x1 < x2 , x1, x2 D выпол-

няется неравенство f (x1) < f (x2 ) (f (x1 > f (x2 )). Если для любых x1 < x2 , x1, x2 D выполняется неравенство f (x1) ≤ f (x2 ) (f (x1) ≥ f (x2 ) ), то функ-

ция называется неубывающей (невозрастающей) на множестве D .

Постоянная функция является одновременно и неубывающей и невозрастающей.

59

Для того, чтобы функция y = f (x) была возрастающей (убывающей) для x D , необходимо и достаточно, чтобы f ′(x) была положительной

(отрицательной) на этом множестве.

Экстремумы функции.

Точка x = x0 называется точкой локального максимума (минимума), если существует такая окрестность точки x0 , что для всех x из этой ок-

рестности выполняется неравенство f (x) < f (x0 ) (f (x) > f (x0 )). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Значение функции в точке экстремума называется экстремумом (максимумом или минимумом).

Необходимое условие экстремума. Если функция y = f (x) в точке x0

имеет экстремум, то ее производная f ′(x0 ) или равна 0, или не существует. Точку x0 называют критической точкой.

Экстремум может достигаться только в критических точках, но не всякая критическая точка функции является точкой экстремума.

Достаточные условия экстремума.

Теорема (первый достаточный признак локального экстремума).

Пусть функция y = f (x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку x = x0 , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки x0 ). Если при переходе (слева направо) через критическую точку x0 производная f ′(x) меняет знак с «плюса» на «минус», то в точке x0 функция y = f (x) имеет макси-

мум; если же с «минуса» на «плюс», – то минимум; если знака не меняет, то экстремума нет.

Теорема (второй достаточный признак локального экстремума).

Пусть функция y = f (x) дважды

дифференцируема и f (x0 ) = 0 ,

f ′′(x0 ) ≠ 0 , тогда функция в точке x0

имеет экстремум: максимум, если

f ′′(x0 ) < 0 , и минимум, если f ′′(x0 ) > 0.

 

Пример 30. Найти интервалы возрастания и убывания, точки экстремума и экстремальные значения функции y = x3 −3x2 .

Решение. Найдем производную функции: y′ = 3x2 − 6x = 3x(x − 2) . Производная положительна, если выполнено неравенство y′ > 0 , т.е. x(x − 2) > 0 x (−∞; 0) (2; + ∞) .

Производная отрицательна,

если выполнено неравенство y′ < 0 , т.е.

x(x − 2) < 0 x (0; 2) .

 

 

 

знаки производной

+

+

0

2

х

 

поведение функции

Значит, при x (−∞; 0) (2; +∞) функция возрастает, а при x (0, 2) – убывает. Следовательно, x = 0 – точка максимума, x = 2 – точка минимума.

60

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]