Metodicheskie_rekomendatsii_k_vypolneniyu_KR_1
.pdf4) (u(x) v |
|
′ |
′ |
|
′ |
|||
(x)) |
= u (x)v(x) +u(x)v |
(x) ; |
||||||
|
|
′ |
|
′ |
|
′ |
|
|
5) |
u(x) |
= |
u (x)v(x) −u(x)v (x) |
. |
|
|||
|
|
|
v 2 |
(x) |
|
|||
|
v(x) |
|
|
|
|
Правило дифференцирования сложной функции: если y = f (u(x)), т.е. y = f (u), u = u(x) , то y′(x) = f ′(u) u′(x) , где x – основной аргумент, u – промежуточный или вспомогательный аргумент.
Таблица производных основных элементарных функций.
1) (xα )′ = α xα−1, α R ; 2) (x)′ =1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) ( |
|
x )′ = |
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 ′ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
′ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
′ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
4) |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) (a |
|
) |
|
|
= a |
|
|
lna ; |
|
|
|
|
|
|
|
6) (e |
|
) |
= e |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7) |
(loga x)′ = |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
8) (ln x)′ = |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) (sin x)′ = cos x ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x lna |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
10) |
(cos x)′ = −sin x ; |
|
|
|
|
11) |
(tgx)′ = |
|
|
|
|
; |
|
|
|
12) |
(ctgx)′ = − |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
13) |
(arcsin x)′ = |
|
|
|
|
|
; 14) |
(arccos x)′ = − |
|
|
|
; 15) |
(arctgx)′ = |
|
1 |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1− x2 |
|
|
1− x2 |
|
1+ x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
16); |
(arcctgx)′ = − |
|
|
|
1 |
|
|
17) |
(shx)′ = chx ; |
|
|
|
|
|
|
18) |
(chx)′ = shx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
19) |
(thx)′ = |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
20) |
(cthx)′ = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
ch2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
sh2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 22. Найти производные следующих функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) y = x5 + 33 x2 − 2x x |
|
− |
2 + 3 |
− |
|
|
|
− 4x + 6 ; |
2) y = x2 ln x ; |
3) y = arcsin x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||
|
Решение. 1) Запишем функцию в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
3 − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x5 + 33 x2 − 2x x |
−2 + |
− |
4x + 6 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x5 + 3 x3 − 2 x1− |
2 + 3 x−1 − 2 x−2 − 4 x + 6 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x5 + 3 x3 − 2 x |
|
|
2 + 3 x−1 − 2 x−2 − 4 x + 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Воспользуемся основными правилами дифференцирования и табли- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
цей производных: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
+ 3 |
x |
3 |
− 2 x |
−2 |
+ 3 x |
− |
2 x |
|
− 4 x |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51
= |
( |
x5 |
) |
|
|
x |
2 ′ |
|
|
−3 |
′ |
( |
3 |
) |
( |
2 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
′ + 3 |
3 |
− 2 x 2 |
+ |
|
x−1 ′ − |
|
x−2 ′ −(4 x)′ + 6′ = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 5x5−1 + |
3 |
2 |
|
2 −1 |
|
|
3 |
|
− |
3 −1 |
+ 3 (−1)x−1−1 − 2 (−2)x−2−1 − 4 |
1+ 0 = |
|||||||||||||||
3 |
x3 |
− 2 − |
x |
|
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 5x4 + 2x−31 + 3x−52 −3x−2 + 4x−3 − |
4 = 5x4 + |
|
2 |
+ |
3 |
− |
3 |
+ |
|
4 |
− 4. |
||||||||||||||||
3 x |
x5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x3 |
2) Воспользуемся правилом нахождения производной произведения и таблицей производных:
y′ = (x2 ln x)′ = (x2 )′ ln x + x2 (ln x)′ = 2x ln x + x2 x1 = 2x ln x + x.
3) Воспользуемся правилом нахождения производной частного и таблицей производных:
|
arcsin x ′ |
|
(arcsin x)′ x −arcsin x (x)′ |
|
|
|
1 |
|
x −arcsin x 1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
|||||||||||||||||||||||
y′ = |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||
x |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
x |
−arcsin x |
1− x |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
4 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
Ответ: |
1) |
y |
= |
5x |
|
+ 3 x |
+ |
|
x5 |
− x2 + x3 − 4 ; |
2) |
y |
= 2x ln x + x ; 3) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
y′ = |
x −arcsin x |
|
1− x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 |
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим дифференцирование сложной функции.
Запишем таблицу дифференцирования сложных элементарных функций. Пусть функция u = u(x) имеет производную.
|
|
α ′ |
|
|
|
|
|
|
α−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) ( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
=αu u (x), |
; |
2) ( u ) = |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
3) |
|
u (x) |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
α R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
u ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u (x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4) (u ) |
= |
u |
|
|
|
lna |
|
|
|
|
′ |
|
5) (e ) |
= |
e |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
6) |
(log u) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
u (x) ; |
|
|
|
|
u (x) ; |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
u lna |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7) (lnu) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8) (sinu) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
(cosu) |
= − |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
||||||||||||
= u (x) ; |
|
|
|
cosu |
|
|
9) |
sinu |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u (x); |
|
|
|
|
|
|
u (x) ; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u (x) |
|
|
||||
|
|
|
′ |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
= − |
u (x) |
|
|
|
12) |
(arcsinu)′ |
= |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
10) |
(tgu) |
|
|
|
|
cos2 u |
u (x) ; |
11) |
(ctgu) |
|
|
|
|
|
sin2 u |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−u2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13) |
(arccosu)′ = − |
|
|
|
; 14) |
(arctg u)′ |
= |
u (x) |
|
; |
15) |
(arcctg u)′ = − |
|
u (x) |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1−u2 |
1+u2 |
|
1+u2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52
′ |
|
′ |
|
′ |
1 |
′ |
|
|
|
||||
16) (shu) |
′ |
17) (chu) |
′ |
18) (thu) = |
|
u (x) ; |
= chu u (x) ; |
= shu u (x) ; |
|
ch2u |
|
||
|
|
|
|
|
|
19) (cthu)′ = −sh12u u′(x).
Если в заданной сложной функции выделить последовательность основных элементарных функций, ее составляющих, то нетрудно найти производную любой сложной функции, причем промежуточных аргументов может быть несколько.
|
Пример 23. Найти производные следующих функций: |
|
|
|||||||||||
1) y =103x−5 ; 2) y = cos3(8 −5x2 ) ; 3) y = e3x |
7x2 + 3 ; 4) y = |
x +ln(3x) |
. |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2x |
|
|
|
Решение. 1) Представим данную функцию в виде y =10u , u = 3x −5. |
|||||||||||||
|
Тогда производная функции по аргументу x будет равна: |
|
|
|||||||||||
y |
′ |
u |
′ |
′ |
u ′ |
′ |
u |
ln10 3 =10 |
3x−5 |
ln10 3 = 3ln10 10 |
3x−5 |
|||
|
= (10 |
)u u |
|
= (10 )u (3x −5)x =10 |
|
|
. |
2) Представим функцию в виде: y = u3 , u = cosv , v = 8 −5x2 . Тогда по правилу дифференцирования сложной функции и таблице производных получим:
y′ = (cos3(8 −5x2 ))′ = (u3 )′u (cosv )′v (8 −5x2 )′x = 3u2 (−sinv ) (−10x) =
=3cos2(8 −5x2 ) (−sin(8 −5x2 )) (−10x)= 30x cos2(8 −5x2 ) sin(8 −5x2 ).
3)Воспользуемся правилами нахождения производной произведения
ипроизводной сложной функции, а так же таблицей производных:
y′ = (e3x )′ 7x2 + 3 + e3x ( 7x2 + 3 )′ = |
|
|
|
|||||||
= e3x (3x)′ 7x2 + 3 + e3x |
|
1 |
|
(7x2 + 3)′ = |
|
|
|
|||
|
7x2 + 3 |
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
7x |
|
|
= e3x 3 7x2 + 3 + e3x |
14x = e3x |
3 |
7x2 + 3 + |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
2 7x2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
7x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 |
4) Воспользуемся правилами нахождения производной частного и производной сложной функции, а так же таблицей производных:
|
|
|
y |
′ = (x +ln(3x))′ tg2x −(x +ln(3x)) (tg2x)′ |
= |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(tg2x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
′ |
|
|
1 |
|
′ |
||
|
|
1 |
+ |
|
|
(3x) |
tg2x −(x |
+ln(3x)) |
|
(2x) |
||
|
|
3x |
cos2(2x) |
|||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||
|
|
|
|
|
|
tg2 |
2x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
−(x +ln(3x)) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(x +ln(3x)) |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1+ |
|
|
|
|
3 |
tg2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
tg2x |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2(2x) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2(2x) |
|
|
= |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2 2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Упростим полученное выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2(x +ln(3x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
+ |
|
|
tg2x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
x +1 |
|
cos |
2 |
2x tg2x − 2x |
( |
x |
|
+ln(3x) |
) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
cos (2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x cos2 |
2x tg2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1) cos2 2x |
|
sin2x |
− 2x |
(x +ln(3x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x cos2 2x |
|
sin2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
= (x +1) cos2x sin2x − 2x (x +ln(3x)) = (x +1) sin4x − 4x (x +ln(3x)). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x sin2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Ответ: |
1) |
y′ = 3ln10 103x−5 ; |
|
|
|
|
2) |
|
y′ = 30x cos2(8 −5x2 ) sin(8 −5x2 ); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 sin4x − 4x |
( |
x +ln(3x) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3) y′ = e3x 3 7x2 |
+ 3 + |
|
|
|
|
; 4) y′ |
= ( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x sin |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
16. Производная функции, заданной параметрическими уравне- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ниями. Производная неявной функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Если функция |
|
|
|
y = y(x) |
задана |
|
параметрическими |
|
|
|
|
уравнениями |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = x(t), |
то производную функции находят по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = y(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′x = |
|
|
y (t) |
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
3t |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Пример 24. Найти производную |
, если |
|
|
t + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= t |
2 |
+ 2t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Решение. Находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
3t |
|
|
|
(3t ) |
(t +1) −3t |
(t + |
|
|
|
|
|
3(t +1) −3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x (t) |
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t |
+1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t +1)2 |
|
|
|
|
(t +1)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′(t) = (t2 + 2t )′ = 2t + 2 = 2(t +1).
|
dy |
|
′ |
|
2(t +1) |
|
2 |
|
2 |
|
|
Тогда, |
= |
y (t) |
= |
(t +1) |
= |
(t +1)3 . |
|||||
dx |
′ |
|
3 |
|
3 |
||||||
|
|
x (t) |
|
|
|
|
|
||||
|
dy |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
dx |
= |
3 (t +1)3 . |
|
|
|
|
|
|
54
Пусть уравнение F(x,y ) = 0 определяет одну или несколько так называемых неявных функций y = y(x) . Будем считать, что эти функции дифференцируемы. Чтобы найти производную функции, заданной неявно, будем дифференцировать обе части уравнения F(x,y ) = 0 по x . Получим уравнение первой степени относительно y′, из него выразим производную y′(x) .
Пример 25. Найти y′x из уравнения x3 + ln y − x2 ey = 0 .
Решение. Берем производную по переменной x от обеих частей уравнения, получим:
3x2 + y1 y′−(2x ey + x2ey y′)= 0 .
Слагаемые, содержащие y′, оставим в левой части уравнения, ос-
тальные перенесем вправо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
2 |
y |
|
y |
|
2 |
|
|
|||
|
|
y′ |
|
|
|
− x e |
|
= 2xe |
|
|
−3x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда следует, что производная равна y |
′ |
(2xey −3x2 ) y |
|
||||||||||||
= 1− x2yey |
. |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||
Ответ: y |
′ |
(2xey −3x2 ) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 1− x2yey |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. Производные высших порядков.
Производной второго порядка (второй производной) функции y = f (x)
называется производная от ее производной, т. е. y′′ = (f ′(x))′ = f ′′(x). Если s = f (t) – закон прямолинейного движения материальной точки,
то s′ = f ′(t) есть скорость этого движения в момент времени t , а s′′ = f ′′(t) –
ускорение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Производные высших порядков (третья, четвертая и т. д.) находятся |
||||||||||||||||
при последовательном дифференцировании: |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
y |
′′′ |
′′ |
′ |
y |
(4) |
|
|
′′′ |
′ |
, …, y |
(n) |
= (f |
(n−1) |
′ |
|
|
|
|
= (f (x)) , |
|
= (f (x)) |
|
|
|
(x)) . |
||||||||
|
Если функция |
y = y(x) |
задана параметрически системой уравнений |
||||||||||||||
x = x(t), |
то производные |
|
′ |
|
′′ |
|
′′′ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
yx, |
|
yxx, |
yxxx, .... находятся по формулам: |
|||||||||||||
y = y(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
′ ′ |
|
|
′′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
y (t) |
|
|
′′ |
|
(yx )t |
′′′ |
= |
(yxx )t |
, |
. |
||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
yx = |
, yxx = |
|
′ |
, yxxx |
′ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
x (t) |
|
|
|
|
x (t) |
|
|
x (t) |
|
|
55
Пример 26. Найти все производные высших порядков от функции y = x5 − 4x3 + 7x 2 −8 .
Решение.
|
y |
′ |
= 5x |
4 |
−12x |
2 |
+14x ; |
y |
′′ |
= |
|
|
′ ′ |
|
= (5x |
4 |
−12x |
2 |
+ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
= 20x |
3 |
|
− 24x +14 ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(y ) |
|
|
|
14x ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′′ = (y′′)′ = (20x3 − 24x +14)′ = 60x2 − 24 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(4) = (y′′′)′ = (60x2 − 24)′ =120x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(5) = (y(4) )′ = (120x)′ =120 ; y(6) = y(7) = |
|
|
|
= 0. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 27. Найти первую и вторую производные функции, заданной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
параметрически x = lnt, |
y |
= |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Первая производная находится по формуле y |
′x = |
y (t) |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
′ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
′ |
|
|
1 |
|
|
|
′ |
|
dy |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (t) |
= − |
|
|
|
|
, |
|
|
x (t) = |
|
|
, |
|
|
|
yx |
= |
|
|
= − |
|
|
|
|
: |
|
|
= − |
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
t |
|
dx |
t2 |
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Вторую производную найдем по формуле y′′xx = |
d |
2 |
y |
= |
|
|
|
′ |
|
|
′ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(yx )t . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
xt′ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ ′ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
(yx )t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
− |
|
|
|
= |
|
|
, тогда |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(yx )t |
t |
|
|
t2 |
yxx = |
|
xt′ |
|
|
t |
2 |
|
t |
t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Ответ: y′′xx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. Правило Лопиталя раскрытия неопределенных выражений. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пусть функции f (x) |
и ϕ(x) дифференцируемы в окрестности точки x0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и ϕ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f (x) = lim ϕ(x) = 0 |
( lim |
f (x) = lim ϕ(x) = ∞) , т. е. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x) ≠ 0. Если |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
частное |
|
|
|
в точке |
|
|
x0 |
представляет собой неопределенность вида |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ϕ(x) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
∞ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
то |
|
|
lim |
= |
lim |
|
f (x) |
|
при условии, что существует пре- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x |
ϕ(x) |
|
x→x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
ϕ |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
дел отношения производных. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если частное |
|
(x) |
|
в точке x = x0 также имеет неопределенность вида |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
′ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
, то справедлива формула |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
или |
|
|
и существует |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ϕ′′(x) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56
|
′ |
|
|
′′ |
|
|
lim |
f (x) |
= |
lim |
f (x) |
. |
|
′ |
|
|||||
x→x |
|
x→x |
′′ |
|||
0 |
ϕ (x) |
|
0 |
ϕ |
(x) |
|
В случае неопределенностей вида |
(0 ∞) |
или (∞ − ∞) выражение под |
знаком предела следует преобразовать алгебраически так, чтобы полу-
чить неопределенность вида |
|
0 |
или |
|
∞ |
и далее воспользоваться |
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∞ |
|
правилом Лопиталя.
В случае неопределенности вида (00 ), (∞0 ), (1∞ ) следует воспользо-
|
|
|
b |
|
lnab |
|
blna |
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
lim f (x) |
|
|
|
|
ваться тождеством a |
= e |
= e |
и свойством e |
= e |
x→x |
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 28. Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
|
x3 |
−7x2 + 4x + 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
1) lim |
; |
2) lim |
− |
; |
|
3) lim (1+ x)ln x . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x3 −5x + 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→1 |
|
|
|
|
x |
→0 |
x |
|
ex −1 |
|
|
x |
→∞ |
|
|
|
Решение. 1) Подставив х = 1 в функцию, получим неопределенность
вида 00 . Применим правило Лопиталя: найдем производные числителя и знаменателя; в полученное отношение производных подставим х=1:
|
x3 |
−7x2 + 4x + 2 |
|
0 |
|
(x3 −7x2 + 4x |
+ 2)′ |
|
||||||
lim |
|
|
|
= |
|
|
= lim |
(x3 −5x + 4)′ |
= |
|||||
|
x3 −5x + 4 |
0 |
||||||||||||
x→1 |
|
|
|
x→1 |
|
|||||||||
|
|
= lim |
3x2 −14x + |
4 |
= |
3 −14 + |
4 |
= |
7 |
= 3,5. |
|
|||
|
|
3x2 −5 |
|
3 −5 |
|
2 |
|
|||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
2) Подставив х=0 в функцию, получим неопределенность вида (∞ − ∞).
Приведем выражение под знаком предела к общему знаменателю. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
= (∞ − ∞) |
|
|
ex −1− x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
x(ex −1) |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
−1 |
|
|
|
|
x |
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Правило Лопиталя будем применять дважды:. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
ex −1− x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
ex −1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||||||||||
lim |
|
x(ex −1) |
= |
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
= |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + x |
2 |
|||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
0 |
|
x→0 ex −1+ xex |
|
0 |
|
x→0 2ex + xex |
|
x→0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
3) |
При x → ∞ получим неопределенность вида (∞0 ). Воспользуемся |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
lnab |
|
|
|
blna |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(x) |
|
|
lim f (x) |
|
|
|
|
|
||||||||
тождеством a |
= e |
= e |
и свойством |
lim e |
= e |
x→x |
|
: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ln(1+x) |
|
|
|
|
ln(1+x) |
|
|
|
lim |
ln(1+x) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
lim (1+ x)ln x = (∞0 )= lim eln x |
|
|
= lim e |
ln x |
= ex |
→∞ |
ln x . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57
Рассмотрим предел в показателе. При x → ∞ получим неопределен-
ность вида ∞∞ . Применим правило Лопиталя:
|
|
|
ln(1+ x) = |
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
x |
|
||
lim |
= lim |
1+ x |
= lim |
|
=1; |
|||||||||
|
+ x |
|||||||||||||
x→∞ |
ln x |
|
|
∞ |
x→∞ |
1 |
|
x→∞ 1 |
|
|||||
|
|
|
|
ln(1+x) |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
lim |
= e1 = e . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тогда: lim (1+ x)ln x |
= ex→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1) 3,5; 2) 0,5; е.
19. Векторная функция скалярного аргумента и ее производная. Уравнения касательной и нормальной плоскости.
Если каждому значению действительной переменной t D поставлен в соответствие вектор r (t) 3 то говорят, что на множестве D задана вектор-функция действительной переменной r = r (t).
Задание вектор-функции r = r (t) равносильно заданию трех скалярных функций x(t), y(t), z(t) – координат вектора r = r (t):
r (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k
Годографом вектор-функции r = r (t) называется множество точек, являющихся концами всех векторов r = r (t), которые приложены к началу координат. Параметрические уравнения годографа имеют вид x = x(t) , y = y(t), z = z(t) .
Производная r ′(t) есть вектор, направленный по касательной к годографу вектора r = r (t) в сторону возрастания параметра t .
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производную r (t) вектор-функции скалярного аргумента находят по |
|||||||||||||||
правилу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
′ |
′ |
|
|
′′ |
|
′′ |
′′ |
′′ |
|||||
r (t) = x (t) i |
+ y (t) j + z |
(t) k ; r |
|
(t) = x (t) i + y |
(t) |
j + z (t) k . |
|||||||||
Уравнение касательной к пространственной линии |
|
||||||||||||||
r (t) = x(t) i |
+ y(t) j + z(t) k |
в |
точке |
|
M0(x(t0 ), y(t0 ), |
z(t0 )) = M0(x0, y0,z0 ) |
|||||||||
определяется уравнениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x − x |
0 |
|
y − y |
0 |
|
z − z |
|
|
||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
0 |
. |
|
|
||
|
|
|
′ |
|
|
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|||
|
|
|
x (t0 ) |
|
y (t0 ) |
z (t0 ) |
|
|
Уравнение нормальной плоскости (плоскость, перпендикулярная к касательной линии r = r (t) в точке M0(x0, y0,z0 ) ) имеет вид:
x′(t0 ) (x − x0 ) + y′(t0 ) (y − y0 ) + z′(t0 ) (z − z0 ) = 0 .
58
Пример 29. Найти уравнения касательной и нормальной плоскости к го-
дографу векторной функции r |
= 4sin2 t i |
|
+4sint cost j |
+2cos2 t k |
при t = |
π |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. |
Канонические |
|
|
|
уравнения |
|
касательной |
|
к |
|
кривой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
rG |
= x(t)iG + y(t)Gj + z(t)kG |
|
в точке M0(x0,y0,z0 ) имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − x |
0 |
|
= |
y − y |
0 |
= |
|
z − z |
0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (t0 ) |
|
|
y (t0 ) |
|
|
|
|
|
z (t0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а уравнение нормальной плоскости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x′(t0 )(x − x0 )+ y′(t0 )(y − y0 )+ z′(t0 )(z − z0 )= 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
В данном случае x(t) = 4sin2 t , y(t) = 4sint cos t , z(t) = 2cos2 t , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x0 = x(t0 ) = x |
|
π |
|
|
4 sin |
2 |
π |
= 4 |
|
1 |
|
2 |
|
= 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
= |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y0 = y(t0 ) = y |
|
π |
= |
|
4sin |
|
π |
cos |
π |
= 4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
= 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
2 |
|
π |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
z0 = z(t0 ) = z |
4 |
|
= |
|
2cos |
|
|
4 |
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||
|
′ |
2 |
|
= 8sint cos t = |
4sin2t ; |
|
|
′ |
|
|
|
′ |
= 4sin |
= 4 1 = 4; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x (t) = ( |
4sin |
t) |
x (t0 ) |
= x |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
π |
|
|
|
π |
= 0 ; |
|
|
||
|
y (t) = |
(4sint cos t) = (2sin2t) = 4cos2t |
, y (t0 ) = y |
|
= 4cos |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
2 |
|
|
′ |
= −4cos t sint |
= −2sin2t |
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
π |
= −2sin |
π |
= −2 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
z (t) = (2cos |
|
t) |
; z (t0 ) = z |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
x − 2 |
= |
y − 2 |
|
= z −1 – уравнения касательной, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
(x − 2)+ 0(y − 2)− 2 |
(z −1)= 0 или 4x − 2z − 6 = 0 – уравнение нормаль- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ной плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ответ: |
x − 2 |
= |
y − 2 |
= z −1 |
|
– уравнения касательной, 4x − 2z − 6 = 0 – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение нормальной плоскости.
20. Полное исследование функции. Построение графика функции.
Функция y = f (x) называется монотонно возрастающей (монотонно убывающей) на множестве D , если для любых x1 < x2 , x1, x2 D выпол-
няется неравенство f (x1) < f (x2 ) (f (x1 > f (x2 )). Если для любых x1 < x2 , x1, x2 D выполняется неравенство f (x1) ≤ f (x2 ) (f (x1) ≥ f (x2 ) ), то функ-
ция называется неубывающей (невозрастающей) на множестве D .
Постоянная функция является одновременно и неубывающей и невозрастающей.
59
Для того, чтобы функция y = f (x) была возрастающей (убывающей) для x D , необходимо и достаточно, чтобы f ′(x) была положительной
(отрицательной) на этом множестве.
Экстремумы функции.
Точка x = x0 называется точкой локального максимума (минимума), если существует такая окрестность точки x0 , что для всех x из этой ок-
рестности выполняется неравенство f (x) < f (x0 ) (f (x) > f (x0 )). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Значение функции в точке экстремума называется экстремумом (максимумом или минимумом).
Необходимое условие экстремума. Если функция y = f (x) в точке x0
имеет экстремум, то ее производная f ′(x0 ) или равна 0, или не существует. Точку x0 называют критической точкой.
Экстремум может достигаться только в критических точках, но не всякая критическая точка функции является точкой экстремума.
Достаточные условия экстремума.
Теорема (первый достаточный признак локального экстремума).
Пусть функция y = f (x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку x = x0 , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки x0 ). Если при переходе (слева направо) через критическую точку x0 производная f ′(x) меняет знак с «плюса» на «минус», то в точке x0 функция y = f (x) имеет макси-
мум; если же с «минуса» на «плюс», – то минимум; если знака не меняет, то экстремума нет.
Теорема (второй достаточный признак локального экстремума).
Пусть функция y = f (x) дважды |
′ |
дифференцируема и f (x0 ) = 0 , |
|
f ′′(x0 ) ≠ 0 , тогда функция в точке x0 |
имеет экстремум: максимум, если |
f ′′(x0 ) < 0 , и минимум, если f ′′(x0 ) > 0. |
|
Пример 30. Найти интервалы возрастания и убывания, точки экстремума и экстремальные значения функции y = x3 −3x2 .
Решение. Найдем производную функции: y′ = 3x2 − 6x = 3x(x − 2) . Производная положительна, если выполнено неравенство y′ > 0 , т.е. x(x − 2) > 0 x (−∞; 0) (2; + ∞) .
Производная отрицательна, |
если выполнено неравенство y′ < 0 , т.е. |
|
x(x − 2) < 0 x (0; 2) . |
|
|
|
знаки производной |
|
+ |
– |
+ |
0 |
2 |
х |
|
поведение функции |
Значит, при x (−∞; 0) (2; +∞) функция возрастает, а при x (0, 2) – убывает. Следовательно, x = 0 – точка максимума, x = 2 – точка минимума.
60