Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Metodicheskie_rekomendatsii_k_vypolneniyu_KR_1

.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
18.02.2016
Размер:
661 Кб
Скачать

7. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу Anxn и вектор-столбец

x

 

 

0

 

1

 

 

 

 

X = x2

 

0

.

 

 

 

...

...

 

 

 

 

0

 

xn

 

 

 

Вектор X называется собственным вектором матрицы А, если существует такое действительное число λ ≠ 0 , что выполняется равенство

AX = λX .

(4)

Число λ называется собственным значением или собственным чис-

лом матрицы А.

Решим матричное уравнение

AX = λX;

AX λX =O ;

(A λE ) X = O.

Чтобы полученное уравнение имело ненулевое решение, необходимо,

чтобы матрица A λE была вырожденной т.е.

 

A λE = 0 .

(5)

Уравнение (5) называется характеристическим уравнением.

Из уравнения (5) находят собственные значения. Подставляя их в уравнение (4), находят собственные векторы матрицы А.

Пример 11. Найти собственные числа и собственные векторы матри-

8

5

3

 

 

0

2

−6

 

цы A =

.

 

0

−1

1

 

 

 

Решение. Запишем матрицу A λE .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

5 3

 

 

1 0 0

8

5 3

λ 0 0

 

 

 

0

2 −6

 

 

 

0

1 0

 

 

0 2 −6

 

 

0 λ 0

 

=

A λE =

 

λ

 

=

 

 

 

0

−1 1

 

 

 

0

0 1

 

 

0

 

−1 1

 

 

0 0 λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

λ

5

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

0

 

2 − λ

 

−6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

−1

 

1− λ

 

 

 

 

 

Составим характеристическое уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 − λ

 

5

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2 − λ

 

−6

= 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

−1

 

1− λ

 

 

 

 

 

 

 

31

 

8 − λ

5

3

 

 

(

 

)

 

((

 

 

)

(

 

)

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2 − λ −6

 

 

8 − λ

 

2 − λ

 

− 6

 

 

 

=

 

 

 

 

 

1− λ

 

 

=

 

0

−1

1− λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (8 − λ) (2 −3λ + λ2 − 6)= (8 − λ) (λ2 −3λ − 4)= 0.

Решим полученное уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8 − λ) (λ2 −3λ − 4)= 0;

 

 

 

 

 

 

 

λ = 8 или λ2 −3λ − 4 = 0; λ

= −1; λ

= 4.

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

λ1 = 8 , λ2 = −1, λ3 = 4 – собственные значения матрицы А.

Для каждого из полученных собственных значений найдем собствен-

ные векторы матрицы А.

 

 

 

 

 

8 −8

5

 

3

0

5 3

 

2 −

8

 

 

 

1) Если λ = 8 , то A λE = 0

−6

= 0

−6 −6

0

−1

1−8

0

−1 −7

и матричное уравнение выглядит:

 

 

 

 

 

0

5

3

x

 

 

0

 

 

0

−6

−6

1

 

 

0

 

 

x2

 

=

.

 

0

−1

−7

 

 

 

0

 

 

x3

 

 

 

Этому уравнению соответствует однородная система линейных урав-

5x2 + 3x3 = 0;

нений −6x2 − 6x3 = 0;

x2 −7x3 = 0.

Из второго уравнения x2 = −x3 , тогда оставшиеся два уравнения будут

иметь вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−5x

3

+ 3x

3

= 0;

 

−2x

3

= 0;

x

 

= 0, x

 

= 0, x = m, m , m ≠ 0.

 

 

 

 

 

3

2

x3 −7x3 = 0;

 

−6x3 = 0;

 

 

1

 

 

 

 

 

 

m

Тогда вектор X1 = 0

0

, m , m ≠ 0 – собственный вектор матрицы А.

8 +1

5

3

 

9 5 3

 

 

0

2 +1

−6

 

 

0

3 −6

 

2) Если λ = −1, то A λE =

 

=

 

 

0

−1

1+

 

 

0

−1 2

 

 

1

 

 

32

и матричное уравнение выглядит:

 

 

 

 

 

9

5

3

x

 

 

0

 

 

0 3

−6

1

 

 

0

 

 

x2

 

=

.

 

0

−1 2

 

 

 

0

 

 

x3

 

 

 

Этому уравнению соответствует однородная система линейных урав-

9x + 5x

2

+ 3x

3

= 0;

 

1

 

 

 

нений

 

3x2

− 6x3

= 0;

 

 

x2

+ 2x3 = 0.

 

 

Очевидно, что система содержит два одинаковых уравнения: второе и

9x + 5x

 

+ 3x

 

= 0;

третье, поэтому ее можно переписать в виде:

1

 

2

 

3

 

 

 

x2 + 2x3 = 0.

Отсюда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9x

+ 5x

 

+ 3x

 

= 0;

 

9x

+10x

 

+ 3x

 

= 0;

x

= −13 x

;

 

1

 

2

 

3

 

 

1

 

3

 

3

 

1

9

3

 

 

 

x2 + 2x3 = 0;

 

x2

= 2x3;

 

 

 

 

x2 = 2x3;

 

 

 

 

 

 

x3 = 9k, x2 =18k, x1 = −13k, k , k ≠ 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

−13k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда вектор X2 =

18k , k

, k ≠ 0 – собственный вектор матрицы А.

 

 

 

 

 

 

9k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 − 4

 

5

 

 

3

4

5 3

 

 

0

 

2 − 4

 

−6

 

 

0

−2 −6

 

3) Если λ = 4 , то A λE =

 

 

 

=

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

−1 −3

 

 

 

 

−1 1− 4

 

и матричное уравнение выглядит:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

5

3

x

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

−2

−6

1

 

=

 

0

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

.

 

 

 

 

 

0

−1

−3

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

Этому уравнению соответствует однородная система линейных урав-

4x + 5x

2

+ 3x

3

= 0;

 

1

 

 

 

нений

 

− 2x2

− 6x3

= 0;

 

 

x2

−3x3

= 0.

 

 

Очевидно, что система содержит два одинаковых уравнения: второе и

4x + 5x

 

+ 3x

 

= 0;

третье, поэтому ее можно переписать в виде:

1

 

2

 

3

 

 

 

x2

−3x3

= 0.

33

Отсюда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x + 5x

 

+ 3x

 

= 0;

 

4x −15x

 

+ 3x

 

= 0;

 

x = 3x

;

 

1

 

2

 

3

 

 

 

1

 

 

3

 

3

 

1

3

 

 

 

x2 −3x3 = 0;

 

x2

= −3x3;

 

 

 

 

x2 = −3x3;

 

 

 

 

x3 = t, x2 = −3t, x1 = 3t, t , t ≠ 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

3t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда вектор X3 =

−3t , t

, t ≠ 0 – собственный вектор матрицы А.

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

−13k

 

3t

 

 

 

 

 

 

Ответ: X1

=

0

, X

2

=

 

18k

, X3

=

−3t , m,k,t

, m ≠ 0,k ≠ 0, t ≠ 0.

 

 

 

0

 

 

 

 

9k

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналитическая геометрия

8. Векторы в 2 u 3. Скалярное произведение векторов.

Вектором называют направленный отрезок или упорядоченную пару (тройку) чисел. Векторы, параллельные одной прямой или лежащие на прямой, называются коллинеарными. Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, называются компла-

нарными.

Проекцией вектора AB на ось Ox называется длина отрезка CD этой оси, заключенного между основаниями перпендикуляров, прове-

денных из начальной и конечной точек вектора AB , взятая со знаком плюс, если направление отрезка CD совпадает с направлением оси проекции (рис. 2), и со знаком минус, если эти направления противоположны (рис. 3).

 

 

B

 

 

B

 

 

A

 

α

 

 

 

α

 

 

x

 

 

A

x

0 C

 

 

 

 

 

D

0

D

C

 

 

 

 

Рисунок 2

 

 

 

Рисунок 3

 

Проекция вектора на ось равна длине вектора, умноженной на косинус угла между вектором и осью:

прOx AB =| AB | cosα.

Проекции вектора на координатные оси называются координатами

вектора: a = (x;y;z); AB = (xB xA;yB yA;zB zA ).

Линейными операциями над векторами называют сложение и вычи-

тание векторов, умножение вектора на постоянное число.

34

Если векторы a и b заданы своими координатами a = (x1;y1;z1),

b = (x2;y2;z2 ), то a ± b = (x1 ± x2;y1 ± y2;z1 ± z2 ).

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

a b =| a | | b | cosϕ; a b =| a | прab =| b | прba.

Отметим, что a b = 0 тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны или хотя бы один из них нуль-вектор.

Из формулы скалярного произведения векторов легко получить формулу для определения угла между векторами:

cosϕ =

a b

.

 

 

| a | | b |

Если векторы a и b заданы

своими координатами a = (x1;y1;z1),

b = (x2;y2;z2 ), то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат:

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2.

Если вектор a задан своими координатами a = (x1;y1;z1), то его длину можно найти по формуле:

a = x12 + y12 + z12 .

Механический смысл скалярного произведения. Если материаль-

ная точка, на которую действует сила F , совершает перемещение вдоль вектора s , то работа А силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения: A = F s.

9. Векторное произведение векторов.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов с общим началом называется правой, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой.

Векторным произведением вектора a на вектор b называется век-

тор a ×b , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах | a ×b |=| a | | b | sinα , который перпенди-

кулярен плоскости векторов a и b и направлен так, чтобы тройка векторов a, b, a ×b была правой.

Отметим, что a ×b = 0 тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны или хотя бы один из них нуль-вектор.

35

Если векторы a и b заданы своими координатами a = (x1;y1;z1), b = (x2;y2;z2 ), то их векторное произведение равно

 

i

j

k

 

a ×b =

x1

y1

z1

.

 

x2

y2

z2

 

Механический смысл векторного произведения. Пусть некоторое твердое тело неподвижно закреплено в точке А, а в точке В этого тела приложена сила F . В этом случае возникает вращающий момент, численно равный произведению | AB | | F | sinα. В механике его принято

называть моментом силы: M = AB ×F .

10. Смешанное произведение трех векторов.

Смешанным произведением трех векторов называется число, которое получится, если первые два вектора перемножить векторно и результат скалярно умножить на третий вектор: (a ×b) c = a b c .

Отметим, что смешанное произведение векторов a b c = 0 тогда и

только тогда, когда векторы компланарны или хотя бы один из них нульвектор.

Смешанное произведение некомпланарных векторов a, b, c по моду-

лю численно равно объему параллелепипеда, построенного на векто- рах-сомножителях. Оно положительно, если тройка векторов правая, и отрицательно, если она левая.

Если векторы a , b и c заданы своими координатами a = (x1;y1;z1), b = (x2;y2;z2 ), c = (x3;y3;z3 ), то смешанное произведение равно опреде-

лителю

x1 y1 z1 a b c = x2 y2 z2 .

x3 y3 z3

Пример 12. Даны четыре точки: A(4;7;8), B(–1;13;0), C(2;4;9), S(1;8;9).

Найти:

6)угол между ребрами AB и AS;

7)площадь грани АВС;

8)объем пирамиды SABC.

Решение.

1)Для нахождения угла между ребрами AB и AS воспользуемся форму-

лой:

JJG

JJJG

JJJG JJJG

AB AS

cos ϕ = cos(AB,AS) =

 

JJJG

 

 

JJJG

.

 

 

AB

 

AS

 

36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JJG

JJG

Найдем координаты и длины векторов AB и AS :

JJJG

 

− x

 

; y

 

− y

 

; z − z

 

) = (−1− 4; 13 −7; 0 −8) = (−5; 6; −8);

AB = (x

 

 

 

 

 

 

JJJG

B

 

 

 

A

 

B

 

 

A

B

A

 

 

 

 

 

JJJG

AS = (xS − xA; yS − yA; zS − zA ) = (1− 4; 8 −7; 9 − 8) = (−3; 1; 1);

= x2 + y2 + z2 =

(−5)2 + 82 +(−8)2 =

25

+ 36 + 64 = 125 ≈11,180;

AB

 

 

 

 

JJJG

=

 

(−3)2 +12 +12 =

9 +1

+1 =

11 ≈ 3,317.

 

 

 

 

 

 

 

 

AS

 

Тогда cos ϕ =

−5 (−3) + 6 1−8 1

=

13

 

 

≈ 0,351.

 

125

11

 

 

 

 

 

 

 

 

125

11

 

 

 

2) Площадь грани АВС найдем по формуле:

SABC = 1 AB × AC .

JJG2

Найдем координаты вектора AC:

JJJG

AC = (xC − xA; yC − yA; zC − zA ) = (2 − 4; 4 −JJG7; 9 −JJG8) = (−2; − 3; 1) .

Найдем векторное произведение векторов AB и AC:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

j

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB × AC =

−5

 

6

 

−8

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−2

−3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= i (6 1−(−8) (−3)) − j ((−5) 1−(−8) (−2)) + k ((−5) (−3) − 6 (−2)) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −18i + 21j + 27k.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда площадь грани АВС равна:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SABC =

1

 

AB × AC

 

=

 

1

(−18)2 + 212

+ 272

=

 

1494

 

38,652

=19,326 (ед2 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Найдем объем пирамиды SABC:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V =

1

JJJG JJJG JJJG

 

JJJG

JJJG

JJJG

 

 

x1

y1

z1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB AC AS

, AB

AC AS =

x

2

y

2

z

2

 

 

 

 

пир

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JJJG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JJG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

y3

z3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (x

; y

; z

 

 

) = (−2;−3;1);

 

 

 

AB = (x ; y ; z ) = (−5;6;−8) ; AC

 

 

 

 

1

1

1

JJJG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AS = (x3; y3; z3 )

= (−3;1;1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JJJG

 

JJJG

JJJG

=

 

−5

 

6

−8

 

= 20 − 6 + 88 =102.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB AC AS

 

−2

−3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vпир =

1

102 =17 (ед3 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37

11. Прямая на плоскости.

Выпишем различные виды уравнения прямой L на плоскости:

1. L: Ax + By +C = 0 – общее уравнение прямой, вектор n =(A;B) перпендикулярен прямой и называется ее нормальным вектором.

2.L: A(x x0 ) + B(y y0 ) = 0 – уравнение прямой с нормальным вектором (A; B) , проходящей через точку M0(x0;y0 ).

3.L : ax + by =1 – уравнение прямой «в отрезках».

4. L : y = k x + b – уравнение прямой с угловым коэффициентом k = tgϕ , где ϕ – угол между прямой L и положительным направлением оси Ox.

5.L : y y0 = k(x x0 ) – уравнение прямой с угловым коэффициентом k = tgϕ , проходящей через точку M0(x0;y0 ).

6.L : x = x0 + mt, – параметрические уравнения прямой L, где вектор

y = y0 + nt,

s = (m;n) параллелен прямой L и называется направляющим вектором прямой, параметр t .

7.

L :

x x0

 

=

y y0

 

 

– уравнение прямой с направляющим вектором

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

n

 

 

s = (m;n) , проходящей через точку M0(x0;y0 ).

8.

L :

x x1

=

y y1

– уравнение прямой, проходящей через две за-

 

 

 

 

x

2

x

 

 

y

2

y

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

данные точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2 ).

Углом между двумя прямыми называют угол между их нормальными векторами.

1) Пусть прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями:

L1 : A1x + B1y +C1 = 0 , L2 : A2x + B2y +C2 = 0 ,

тогда угол между прямыми

определяется по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosϕ =

n1 n2

 

 

=

 

 

A1A2 + B1B2

 

 

.

| n1 | | n2

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 2

+ B 2

A 2

+ B

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

2

2

 

Условие перпендикулярности этих прямых: A1A2 + B1B2 = 0 .

Условие параллельности:

 

A1

 

=

 

B1

.

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

L1 : y = k1x + b1 и

2) Пусть прямые L1

и

L2

заданы

уравнениями:

L2 : y = k2x + b2 , тогда угол между прямыми определяется по формуле:

tgϕ = k2 k1 . 1+ k1k2

Условие перпендикулярности этих прямых: k1 k2 = −1.

38

A2 + B2

Условие параллельности: k1 = k2 .

Расстояние от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By +C = 0 определя- ется по формуле d = | Ax1 + By1 +C | .

Пример 13. Даны вершины треугольника АВС: А(4;3), В(–3;–3), С(2;7). Найти:

1)длину стороны АС;

2)длину высоты ВН, проведенной из вершины В;

3)уравнение высоты ВН;

4)уравнение медианы СМ, проведенной из вершины С;

5)сделать чертеж.

Решение.

 

 

 

JJG

1) Длину стороны АС найдем как длину вектора

AC:

JJJG

= (xC − xA; yC

− yA ) = (2

− 4; 7 −3)

= (−2; 4);

AC

 

JJJG

= (−2)2 + 42 = 4 +16

= 20 ≈ 4,472.

 

AC

2) Для нахождения длины высоты ВН составим уравнение прямой (АС). Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки A(x1;y1) и C(x2;y2 ):

(AC) :

x x1

 

=

 

y y1

 

(AC) :

x − 4

=

y −3

(AC) :

x − 4

=

y −3

.

 

 

 

 

 

 

2 − 4

7 −3

−2

 

 

x

2

x y

2

y

1

 

 

 

 

4

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найденное уравнение прямой (АС) можно записать в виде:

 

 

 

(AC) :

 

x − 4

=

y −3

 

 

(AC) :

x − 4

=

y −3

(AC) : 2x + y −11 = 0.

 

 

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

−1

2

 

 

 

 

 

 

Тогда, расстояние от точки В(–3; –3) до прямой (AC) : 2x + y −11 = 0 :

d = | 2 (−3) +1 (−3) −11|

=

| −20 |

= 4 5 ≈ 8,944.

22 +12

 

5

 

JJJG3) Высота ВН перпендикулярна прямой (АС). Следовательно, вектор AC BH и является нормальным вектором прямой (ВН). Составим урав-

нение высоты ВН, пользуясь уравнением прямой, заданной нормальным

JJJG

вектором AC = (−2; 4) , проходящей через заданную точку B(−3;−3):

(BH): − 2(x −(−3)) + 4(y −(−3)) = 0 −(x + 3) + 2(y + 3) = 0 − x + 2y + 3 = 0. 4) Найдем координаты середины отрезка АВ по формуле:

 

x

A

+ x

 

y

A

+ y

C

 

 

4

−3

 

3

−3

1

 

 

xM =

 

C

;

yM =

 

 

 

M

 

 

;

 

 

 

M

 

; 0

.

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39

 

y

 

 

 

Для составления уравнения меди-

 

7

 

 

C

 

 

 

 

 

аны СМ воспользуемся формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнения прямой, проходящей че-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рез две точки С(2;7) и M

2

; 0

:

 

3

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(CM):

x − 2

=

y −7

 

x − 2

=

y −7

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

1 2 − 2 0 −7

−3 2

 

−7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(CM): 14x −3y −7 = 0.

 

 

 

–3

 

0

 

M 1 2

4

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) Решение задачи проиллюстри-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

руем на рис. 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

–3

Рисунок4

 

12. Плоскость.

Общее уравнение плоскости имеет вид Ax + By +Cz + D = 0, где n = (A;B;C) называют нормальным вектором плоскости, причем выпол-

няется условие A2 + B2 +C2 ≠ 0 .

Существуют различные способы задания плоскости, выпишем соот-

ветствующие им уравнения:

 

 

 

 

 

 

1. A(x x0 ) + B(y y0 ) +C(z z0 ) = 0 –

уравнение плоскости с извест-

ными нормальным вектором n = (A;B;C)

и точкой M0(x0;y0;z0 ),

принад-

лежащей плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

x

+

y

+ z =1

 

уравнение

плоскости

в «отрезках»,

причем

 

 

a

 

 

 

 

 

b

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

x x1

y y1

 

 

 

z z1

 

= 0 – уравнение плоскости, проходящей че-

 

 

 

 

 

 

x2 x1

y2 y1

z2 z1

 

 

 

x3 x1 y3 y1 z3 z1

 

 

 

 

 

 

 

 

рез три заданные точки Mi (xi ;yi ;zi ),

(i =1,2,3) .

 

 

 

Рассмотрим две плоскости: α: A1x + B1y +C1z + D1 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и β: A2x + B2y +C2z + D2 = 0 .

 

Углом между двумя плоскостями α

и β

называется угол между их

нормальными векторами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosϕ =

 

 

n1 n2

 

=

 

A1A2 + B1B2 +C1C2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1

 

n2

 

 

 

A12 + B12 +C12 A22 + B22

+C22

 

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]