Metodicheskie_rekomendatsii_k_vypolneniyu_KR_1
.pdf5.19.а)
в)
5.20.а)
в)
5.21.а)
в)
5.22.а)
в)
5.23.а)
в)
5.24.а)
в)
5.25.а)
в)
5.26.а)
в)
lim |
|
x3 +12x |
|
|
|
|
|
, |
||||
12x2 + x + |
14 |
|
||||||||||
x→∞ |
|
|
||||||||||
lim |
|
19x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→0 arctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
x2 − 4x +1 |
|
, |
|
|||||||
|
5 −3x + 4x2 |
|
|
|||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
4 tg5x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x→0 |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
x2 −7x +10 |
|
, |
|
|
||||||
|
5x + x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
7arcsin3x , |
|
|
|
|
|||||||
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
x3 + 4x2 + 4x |
, |
|||||||||
|
12x3 |
+ 6x2 |
|
|
|
|||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||
lim 11sin2x , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
x4 + 2x −1 |
|
|
, |
|||||||
|
|
|
|
18 |
|
|||||||
x→∞ x3 −7x2 + |
|
|
||||||||||
lim |
|
|
5 tg2 x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→0 1−cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
x2 + 3x + 5 |
|
, |
|
|
||||||
|
5x2 − 4x + |
1 |
|
|
||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
8arctg3x , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
x2 − 4x − 21 |
, |
|
|
|||||||
|
7x − |
3x2 |
|
|
|
|
|
|
||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
5sin5x , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→0 |
|
tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
2x3 + x +1 |
, |
|
|
|
|
|
||||
|
x3 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
sin2 3x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x→0 |
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
x2 − 21x + 38 |
|
, |
|||||||
|
|
x −18 −1 |
|||||||||||
|
x→19 |
|
|
|
|||||||||
г) |
lim |
|
|
9x − 22 3x+3 |
|
|
|||||||
|
|
9x + |
|
|
|
|
; |
|
|||||
|
x→∞ |
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
lim |
|
x2 −18x − 40 |
|
, |
||||||||
|
5 + x −5 |
|
|||||||||||
|
x→20 |
|
|
|
|||||||||
г) |
lim |
|
|
10x − 21 4−5x |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→∞ |
|
10x +19 |
|
|
|
|
|
|||||
б) |
lim |
|
|
25 − x − 2 |
|
, |
|||||||
|
24x − x2 − 63 |
|
|||||||||||
|
x→21 |
|
|
||||||||||
|
|
x −11 x−1 |
|
|
|||||||||
г) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→∞ |
x −10 |
|
|
|
|
|
|
|||||
б) |
lim |
|
x2 − 24x + 44 |
, |
|||||||||
|
3 − |
|
|
x − |
13 |
|
|
||||||
|
x→22 |
|
|
|
|
|
|
||||||
г) |
lim |
|
|
2x −8 6−4x |
|
|
|||||||
|
|
2x + |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||
|
x→∞ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
lim |
|
24 − x −1 |
|
, |
||||||||
|
22x − x2 + 23 |
|
|||||||||||
|
x→23 |
|
|
|
|||||||||
г) |
lim |
|
|
3x + 24 5−3x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||
|
x→∞ |
|
|
3x +1 |
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
lim |
|
x +1 − 5 |
|
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→24 x2 − 23x − 24 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
4x +1 6x−4 |
|
|
|||||||
г) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→∞ |
|
|
4x −5 |
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
lim |
|
625 − x2 |
|
|
, |
|
|
|
||||
|
2x −1 − |
7 |
|
|
|
||||||||
|
x→25 |
|
|
|
|
|
|||||||
г) |
lim |
|
|
5x −12 2−5x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||
|
x→∞ |
|
|
5x −7 |
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
lim |
2x2 + x −3 |
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
2 − x −1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) |
lim |
|
|
2x −1 x−1 |
; |
|
|
|
|
||||
|
|
2x + |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
11
5.27. |
а) |
lim |
|
x2 − x +1 |
|
, б) |
lim |
|
|
|
|
x − 2 −1 |
, |
|
|||||||||
|
2x3 + 5x2 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
x→2 x2 −3x + |
|
|
|
|||||||||||||||
|
в) |
lim |
arcsin6x |
, |
|
|
|
|
|
x −1 4−x |
|
|
|||||||||||
|
|
3x |
|
|
|
г) |
lim |
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
x + 3 |
|
|
|
|
|
||||||||
5.28. |
а) |
lim |
|
2x4 + x2 +1 |
, |
б) |
lim |
|
|
|
|
6 + x −3 |
, |
|
|||||||||
|
x4 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
x→3 x2 − 2x − |
|
|
|
||||||||||||
|
в) |
lim |
arctg3x |
, |
|
|
|
|
|
x + 2 5−x |
|
|
|||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
г) |
lim |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
x +1 |
|
|
|
|
|
||||||
5.29. |
а) |
lim |
|
3x2 + 6x −1 |
, |
б) |
lim −x2 + 6x −8 |
, |
|||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
2x +1 |
|
|
|
|
x→4 |
|
|
|
|
x + 5 −3 |
|
|
|||||||
|
в) |
lim |
tg8x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
3x −1 |
x+3 |
|
|||||||||
|
|
2x |
|
|
|
|
г) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3x −5 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.30. |
а) |
lim |
|
x3 + x −1 |
|
, |
б) |
lim |
|
5 + 4x − x2 |
, |
|
|||||||||||
|
3x3 + x2 +1 |
|
|
|
|
x −1 − 2 |
|
||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
x→5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
в) |
lim |
sin x |
, |
|
|
|
|
г) |
lim |
|
3x +12 6−x |
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x→0 tg5x |
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
3x + 7 |
|
|
|
|
Задание 6. В задачах 6.1.-6.30. найти производные y′x |
функций: |
||||||||||||||||||||||||||
6.1. |
а) y = 2x6 |
− |
1 |
|
|
+ x2 |
|
|
x3 , |
|
б) y = ctg5 2x arccos x2, |
||||||||||||||||
x5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
в) x = |
|
|
t |
, |
y = ln(t − 2), |
|
г) |
x − y + eyarctgx = 0; |
||||||||||||||||||
|
|
t |
− 2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.2. |
а) y = x |
x |
3 |
− |
1 |
x |
6 |
+ |
|
|
1 |
, |
|
б) |
y = |
arctg3 2−x |
, |
||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
x2 + x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
в) x = t −1, y = |
, |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) y2x = ex ; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6.3. |
а) y = 4x2 − |
1 |
|
|
+ x5 |
|
|
x, |
|
|
б) y = (sin x2 +1) arctg2 2x |
||||||||||||||||
x5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
в) x = |
|
|
cost |
|
|
|
, |
|
|
y = |
|
|
|
sint |
, |
г) x4 + y4 = x2y2; |
||||||||||
|
1 |
+ 2cost |
|
1 |
+ 2sint |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6.4. |
а) y = x |
7 − |
|
x2 |
|
+ |
|
4 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
б) y = cos3(3x) arctg(x3 ), |
|||||||||
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
в) x = tgt, |
y = |
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
г) x − y2 + tg(x2y) = 0; |
||||||||||||
|
|
sin2t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
6.5. |
а) y = |
1 |
− 2x |
x3 + 4x3, |
||||
|
||||||||
|
|
|
x2 |
|
||||
|
в) |
x = 2(t − sint), y = 4(2 + cost), |
||||||
6.6. |
а) |
y = x6 − |
1 |
|
+ 2 6 x5 , |
|||
x6 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
в) x = t + sint, |
y = 2 + cost, |
6.7.а) y = 4x3 − 2x + x3 x2 ,
в) x = cost, y = lnsint,
6.8. |
а) y = 2x3 − |
|
1 |
|
+ 2x3 x, |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
в) x = 4 − sin |
πt |
, y = −4cos |
2 |
πt |
, |
||
|
6 |
|
|
6 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
6.9.а) y = 4x3 − 7xx + x35 −5x,
|
в) x = 8sin |
πt |
, |
y = −6cos πt |
, |
|
||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
6.10. |
а) y = x4 − |
3 |
|
+ x5 |
x, |
|
|
|
|
|||||||
|
x9 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
πt |
|
y = sin πt |
|
|
||||||||
|
в) x = 6 −cos |
, |
− 2, |
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|||
6.11. |
а) y = 7 − |
|
+ x3 x4 + x9, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x2 |
πt |
|
y = 4 − 6cos πt |
|
||||||||||
|
в) x = 2 −cos |
, |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
6.12. |
а) y = x2 − |
|
2x |
+ |
1 |
+ 5x , |
|
|
||||||||
|
3 x4 |
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
в) x = cost + t sint, |
y = sint −t cost, |
||||||||||||||
6.13. |
а) y = 3 x2 +12x6 x − 4x3, |
|
|
|||||||||||||
|
в) x = cos2t, |
|
y = |
|
2 |
|
|
, |
|
|
||||||
|
|
cos2 t |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.14. |
а) y = x5 + x3 |
|
x2 − |
1 |
|
, |
|
|
||||||||
|
5 x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
в) x = 1−t2 , y = |
1, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y = 3 |
x −3 |
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
||
б) exy + x2 + y3 = 2; |
|||||||||||
б) |
y = sin2(3x) −cos x3, |
||||||||||
г) ex + ey − 2exy =1; |
|||||||||||
б) |
|
|
|
ln(1+x2 ) |
x |
2 |
, |
|
|||
y = 2 |
|
|
|
|
|
||||||
г) |
xe |
− |
1 y |
+ ye |
− |
1 x |
= 2; |
|
|||
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||
б) |
y = |
|
tg x2 |
|
|
, |
|||||
ln(x2 − 2x |
+ 4) |
г) x4 - x2y2 + y4 - 5x2 + 5y2 - 1= 0;
б) y = x4 −3x2 sin5x ,
г) yx − 3 xy = x;
б) y = lnsin2x tg(x + 2) ,
г) sin2(2x − y2 ) = 3x + 2; б) y = 2x2 sinln(x + 4),
г) x2 −3xy + y2 + x −5y = 0;
б) |
y = |
|
x3 |
|
|
, |
|
sin x |
+ |
|
|||
|
2 |
|
1 |
|||
г) y2 cos x = sin(3x2 ) + y; |
||||||
б) |
y = arcsin |
|
x ex , |
г) x3 + 3xy2 + 2y2 −5x =1;
б) |
y = sin(ln x) 2x − x2 , |
||
г) |
x |
= tg(x2 − y); |
|
y |
|||
|
|
13
6.15. |
а) |
y = |
1 |
|
− |
4 |
|
|
|
+ x |
x6 , |
|
|
|
||||||
x2 |
|
|
x |
|
|
|
πt |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
в) |
x = −2cos |
πt |
, y = |
4 − 4sin |
2 |
, |
|||||||||||||
|
3 |
|
|
6 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.16. |
а) |
y = x8 + |
2 |
|
− x4 |
x3 , |
|
|
|
|||||||||||
x3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
в) |
x = sht, |
|
y = th2t, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
6.17. |
а) |
y = x3 |
|
x − |
|
|
2 |
|
|
+ 3 , |
|
|
|
|||||||
x x |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в) x = t2 + t, y = 3 t −1, |
|
|
|
||||||||||||||||
6.18. |
а) |
y = |
6 |
|
−3x3 + 2x |
x7 , |
|
|
|
|||||||||||
x4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) x = t3 −1, y = lnt, |
|
|
|
||||||||||||||||
6.19. |
а) y = |
x5 + |
|
|
|
|
4 |
|
|
− x3 , |
|
|
|
|||||||
x |
3 x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
в) x = t −1, y = |
|
1 |
|
, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t −1 |
|
|
|
6.20.а) y = x2 − x52x +147 x ,
в) x = et , y = arcsint,
6.21.а) y = 2 1x3 −3x5 + 6x3 x ,
в) |
x = sint, |
y = |
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
cost |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.22. а) y = x2 − |
1 |
|
+ |
|
x2 |
|
− 4 , |
||
2x3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x3 |
||||
в) |
x = cost + sint, |
y = sin2t, |
6.23.а) y = 4 − x3 x2 + x2 − x14 ,
в) x = cost, y = sin2 2t ,
6.24.а) y = 33 x2 − 2x + x−3 ,
в) x = cos2 t, y = tg2t,
б) y = ln(cos x) cos tg x ,
г) (x − y)2 + cos y2 = 4;
б) |
y |
= |
|
|
etgx |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
2x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
г) x |
y + y3 cos x = 3; |
|||||||||||||||||
б) y = ex2 −3x (x2 − x), |
||||||||||||||||||
г) |
y2 = x2 − xln y + 3; |
|
||||||||||||||||
б) |
y = |
ctg(3x2 + 2x) |
, |
|||||||||||||||
|
|
|
ln x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
г) x2 ln y − y2 ln x =1; |
|
|||||||||||||||||
б) |
y |
= |
|
earcsin x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x2 + |
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
г) |
y2 = |
y − x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x + y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
y |
= |
|
8arctg(x +1) |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 − 4x + 4 |
|
|
|
||||||||||
г) |
y2 sin x = cos(x − y); |
|||||||||||||||||
б) |
y |
= |
|
|
e−cos x |
|
, |
|
|
|
|
|||||||
|
ctg(2 x) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
г) |
ln y = arctg |
y |
; |
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
y |
= ln |
x2 |
−3x +1 |
, |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 |
+ 3x +1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
г) |
x2 + y2 = arctg |
y |
|
; |
||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
y = sin x2 (sin2 2x −1), |
г) y2 + x2 −cos(x2 y2 ) = 2;
б) |
y = (sin6x − 3x) x3 − x , |
|||
|
y |
= 5x +1; |
||
г) |
tg |
|
|
|
|
||||
|
x |
|
14
6.25. |
а) y = x5 − |
5 |
|
− x |
x5 , |
|
|
|
|
|
б) y = |
ln(x2 +1) |
|
, |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6x3 − 2x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
= −3sin2 πt |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
в) x = −4 −cos πt , |
|
y |
|
, |
г) x2 + ey − x ln y = 0; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.26. |
а) y = x2 − |
+ x3 3 x2 , |
|
|
|
б) y = 2ln(1+x2 ) sin x , |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
|
в) x = |
t, |
y = |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
г) xy = arctg |
; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1−t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
||||||||||
6.27. |
а) y = |
|
− |
|
|
|
|
+ 7 x , |
|
|
|
|
|
б) y = arcctg(x2 +1) ex , |
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
3 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
πt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
в) x = 4cos πt , |
|
y = 9sin |
− 4, |
|
г) x4 − xy2 + y3 − 4y + 5 = 0; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.28. |
а) y = |
3x |
2 |
− |
|
4 |
+ x |
4 |
x |
5 |
, |
|
|
|
б) y = |
сtg(x3 + x) |
, |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x +1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
в) x = 2 −3cos |
πt , |
|
|
y |
|
= 9cos πt , |
|
г) |
y |
= arctg |
y |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x |
|
x |
|
|
||||||
6.29. |
а) y = |
3 |
|
|
− x |
2 |
|
|
x − |
|
1 |
|
x |
3 |
, |
|
|
|
б) y = |
ln(2x −5) |
|
, |
||||||||||||||
x4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2x2 −3x − |
5 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
в) x = arcgt, |
y = t2 , |
|
|
|
|
|
|
|
г) ex sin y − ey cos x =1; |
||||||||||||||||||||||||||
6.30. |
а) y = 8x12 − x5 x2 − |
|
|
4 |
|
+ x6 , |
|
|
б) y = arctg x2 , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 4x |
|
|
|||||||||
|
в) x = cht, |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−y |
|
|
||||||||||
|
|
y = sh t, |
|
|
|
|
|
|
|
г) ln x + e x =1. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 7. В задачах 7.1.-7.30. найти уравнения касательной и нор-
мальной плоскости. |
|
|
|
|||
7.1. |
rG = (t − sint) |
i +(1− cost) Gj + 2sint kG, |
t0 = |
π . |
||
|
rG = 6t Gi + 3t2 Gj + t3 kG, |
|
|
2 |
||
7.2. |
|
t0 = 1. |
||||
7.3. |
rG = 2sint Gi + 3tgt Gj + 2cos t kG, |
|
t0 = |
π . |
||
|
rG |
= 3cht Gi + 3sht Gj + 3at kG, |
|
|
4 |
|
7.4. |
|
t0 = 0 . |
||||
7.5. |
rG |
= et Gi + e−t |
Gj + 2 t kG, |
|
t0 = 0 . |
|
7.6. |
rG = 2sin2 t Gi + 2cos2 t Gj + sin2t kG, |
t0 = |
π . |
|||
|
rG = ln(t −3) i − t Gj +(t2 −16) kG |
|
|
4 |
||
7.7. |
, |
t0 = 4 . |
||||
7.8. |
rG = (2 − t) Gi + |
25 − t2 Gj + t2 kG |
, |
t0 = 4 . |
15
7.9.rG = et Gi +(1+ t2 ) Gj + arctgt kG,
7.10.rG = et cos t Gi + et sint Gj + et kG,
7.11.rG = (t − sint) Gi +(1− cos t) Gj + 4sin 2t kG,
7.12.rG = (t3 −3) Gi +(t2 + 2) Gj +lnt kG,
7.13.rG = (t3 + 8t) i + t2 Gj +(5t5 + 3t) kG,
7.14.rG = 2t Gi −3t Gj +lntgt kG,
7.15.rG = 4t Gi +lnt Gj + t2 kG,
7.16. rG = lncos t Gi +lnsint Gj + 2 t kG,
7.17.rG = (cos t + t sint) Gi +(sint − t cos) Gj + t kG,
7.18.rG = (t2 +1) Gi + cos t Gj + et kG,
7.19.rG = (t +1)2 Gi + t3 Gj + t2 G,
7.20.G = (3t − t3 ) i + 3t2 Gj +(3t + t2 ) kG,+1 kr
7.21.rG = t Gi + t Gj +lnsint kG,
7.22.rG = ch22t Gi + sht2 cht Gj + sh2t kG,
7.23.rG = et sint Gi + Gj + et cos t kG,
7.24.rGG = (1+ 3tG+ 2t2 ) Gi G+(2 − 2tG+ 5t2 ) Gj +(1− t2 ) kG,
7.25.r = cos t i + sint j + cht k ,
7.26.rG = 5 − t2 Gi − (2t − t2 ) Gj + (5 − 2t2 ) kG,
7.27.rG = t2 Gi +(t3 − 2) Gj + t6 kG,
7.28.rG = t3 + 3 Gi −ln(2t −1) Gj + t3 kG,
7.29.rG = 2tgt Gi + 3cos t Gj + 3sint kG,
7.30. rG = et+1 Gi −(t2 −3t +1) Gj + 2t + 6 kG,
t0 = 1. t0 = 0 .
t0 = π.
t0 = 1.
t0 = 0 . t0 = π4 .
t0 = 1. t0 = π4 . t0 = π2 .
t0 = 0 . t0 = 0 .
t0 = 1. t0 = π2 .
t0 = 0 . t0 = 0 . t0 = 1. t0 = 0 .
t0 = 1. t0 = 1.
t0 = 1. t0 = π4 . t0 = −1.
Задание 8. В задачах 8.1.-8.30. провести полное исследование указанных функций и построить их графики.
8.1. |
y = |
x2 |
+1 |
; |
8.2. y = |
|
−x2 |
−1 |
; |
8.3. |
y = |
x2 |
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
x −1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.4. |
y = |
x |
2 |
|
|
; |
|
|
8.5. y = |
|
x2 |
; |
|
8.6. y = |
|
x2 |
|
|
; |
|||
x + |
1 |
|
|
1 |
− x |
|
|
−x − |
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
8.7. y = |
|
x2 |
+ 2 |
; |
|
|
|
|
8.8. y = |
−x2 |
|
− 2 |
; |
|
|
8.9. y = |
|
|
x |
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8.10. y = |
|
x |
2 |
|
; |
|
|
|
|
8.11. y = |
|
|
x |
2 |
; |
|
|
|
8.12. |
y |
= |
|
x2 |
|
|
|
|
; |
||||||||||||
2 |
− x |
|
|
|
|
|
x |
+ 2 |
|
|
|
−x − |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
8.13. |
y = |
x |
2 + 3 |
; |
|
8.14. y = |
|
−x |
2 −3 |
; |
|
8.15. |
y = |
|
x2 |
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
+ 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8.16. y = |
|
x |
2 |
|
; |
|
|
|
|
8.17. y = |
|
|
x |
2 |
; |
|
|
|
8.18. |
y = |
|
x2 |
|
|
|
|
; |
|||||||||||||
x |
− |
3 |
|
|
|
|
3 |
− x |
|
|
|
−x − |
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8.19. |
y = |
x |
2 + 4 |
|
; |
|
8.20. y = |
|
−x |
2 − 4 |
; |
|
8.21. |
y = |
|
x2 |
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
+ 4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8.22. y = |
|
x |
2 |
|
|
; |
|
|
|
|
8.23. y = |
|
|
x |
2 |
|
; |
|
|
|
8.24. |
y |
= |
|
x2 |
|
|
|
|
|
; |
|||||||||
x |
− |
4 |
|
|
|
|
|
4 |
− x |
|
|
|
|
−x − |
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8.25. |
y = |
2x |
2 +1 |
; |
8.26. y = |
|
−2x2 −1 |
; |
8.27. |
y = |
|
x2 |
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2x + |
1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
8.28. y |
= |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
; |
8.29. y = |
|
|
x |
2 |
|
|
|
; |
|
|
8.30. |
y = |
|
x2 |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
−2x − |
1 |
1 |
− |
|
2x |
|
|
2x − |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рекомендации к выполнению заданий контрольной работы
Основы линейной алгебры
1. Матрицы и операции над ними.
Прямоугольная таблица, состоящая из m ×n элементов произвольной природы, называется матрицей.
Матрицы обычно обозначают прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, … и записывают в виде
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
||
a |
a |
... |
a |
|
, или |
a |
a |
... |
a |
|
, или сокращенно |
A = 21 |
22 |
|
2n |
A = 21 |
22 |
|
2n |
||||
|
|
... |
... |
|
|
|
|
... |
... |
|
|
... ... |
|
|
... ... |
|
|
||||||
am1 |
am2 |
... |
amn |
|
am1 |
am2 |
... |
amn |
|
A = (aij ), i =1,m, j =1,n .
aij называют элементами матрицы. Если элементы матрицы числа,
то матрицу называют числовой, если векторы – векторной, функции – функциональной и т.д. В дальнейшем будем рассматривать только числовые матрицы.
Элементы матрицы нумеруются двумя индексами: номер строки и номер столбца, в которых стоит элемент.
17
Количество строк и столбцов матрицы определяют ее размерность, т.е. если у матрицы m строк и n столбцов, то говорят, что матрица размерности m на n и записывают: Am×n .
Говорят, что две матрицы равны, если равны их размерности и соответствующие элементы этих матриц.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается О.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей строкой
или вектор-строкой, из одного столбца – матрицей столбцом или вектор-столбцом.
Матрица, у которой число строк и столбцов одинаковое, называется квадратной матрицей. Квадратную матрицу, у которой n строк называют матрицей порядка n. У квадратных матриц выделяют главную и побочную диагонали. Элементы a11, a22, a33, ...,ann образуют главную диаго-
наль, элементы a1n, a2n−1, ...,an1 – побочную диагональ.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов глав-
ной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной матрицей и обозначается Е.
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю. Различают верхнюю и нижнюю треугольные матрицы.
Действия над матрицами:
Транспонирование.
Замена строк матрицы соответствующими столбцами называется транспонированием. Транспонированную матрицу обозначают AT .
|
1 |
0 |
|
|
1 |
4 |
−1 |
||
|
4 |
−2 |
|
T |
|||||
Например, если A = |
|
, то A |
= |
0 |
−2 |
3 |
|
||
|
−1 |
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Сложение матриц.
Суммой матриц А и В называется матрица С, каждый элемент которой
равен сумме |
|
соответствующих |
|
элементов матриц А и В, т.е. |
|||||||
cij = aij + bij , i = |
1,m |
, j = |
1,n |
. |
|
|
|
|
|
||
|
1 2 |
0 −3 |
|
|
|
1 |
−1 |
||||
Например: |
|
|
|
+ |
|
= |
2 |
. |
|||
|
3 4 |
−1 3 |
|
|
7 |
Заметим, что сложение может быть выполнено только для матриц с одинаковой размерностью.
Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы А и действительного числа λ называется матрица В, каждый элемент которой равен произведению соответст-
вующего элемента матрицы А на число λ , т.е. bij = aij λ, i =1,m, j =1,n.
18
|
1 2 0 1 |
3 |
3 |
6 |
0 3 |
|||
Например: |
−1 2 6 0 |
|
= |
−3 |
6 |
18 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
Произведение матриц.
Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Например, матрица Am×n согласована с матрицей Bn×k .
Умножение матрицы А на матрицу В может быть выполнено только тогда, когда матрица А согласована с матрицей В.
Произведением матрицы Am×n на матрицу Bn×k называется матрица Cm×k , каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матри-
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
цы В, т.е. cij = ∑ais bsj , i = |
|
, j = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
1,m |
1,k |
|
|
|
|
|
|
|
|||
s=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
−1 |
1 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
−3 |
|
||||
Пример 1. Найти произведение матриц A = |
|
и B = |
3 |
4 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
3 |
−2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
1 1+ (−1) 3 1 2 |
+ (−1) 4 |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
−1 |
1 |
2 |
|
−2 |
−2 |
|||||||||
|
0 |
−3 |
|
|
|
0 1+ (−3) 3 0 2 |
+ (−3) 4 |
|
|
−9 |
−12 |
|
|||
|
|
|
= |
|
|
= |
. |
||||||||
|
3 |
−2 |
|
3 |
4 |
|
|
3 1+ (−2) 3 3 2 |
+ (−2) 4 |
|
|
−3 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
−2 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−9 |
−12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
−3 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из существования произведения A B ,вообще говоря, не следует существование произведения B A . В случае, если AB = BA , матрицы А и
Вназывают перестановочными.
Возведение в степень.
Операция возведения в степень может быть выполнена только для
квадратных матриц An = A A ... A .
|
|
|
|
|
n раз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 2 |
|
1 2 |
1 2 |
1 1+ 2 3 1 2 + 2 4 |
|
7 10 |
|||||||||
Например: |
2 |
4 |
|
= |
|
3 4 |
|
= |
3 |
1+ 4 3 3 |
2 |
+ 4 4 |
|
= |
15 22 |
|
|
|
|
3 4 |
|
|
|
|
|
2. Определители.
Основной числовой характеристикой квадратной матрицы является определитель (детерминант). Определитель квадратной матрицы Anxn
обозначают: , det A , A .
19
Для матрицы А первого порядка определитель det A равен ее элементу a11.
Для матрицы А второго порядка определитель det A записывают в ви-
де det A = a11 a12 и вычисляют по правилу:
a21 a22
|
|
|
|
|
det A = |
a11 |
a12 |
= a a |
−a |
a . |
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
11 |
22 |
12 |
21 |
Например: |
|
1 |
2 |
|
=1 4 − 2 3 = 4 − 6 = −2. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для матрицы А третьего порядка определитель det A записывают в
виде det A = |
a11 |
|
a12 a13 |
и вычисляют по правилу: |
|||
a21 |
|
a22 a23 |
|||||
|
a31 |
|
a32 |
a33 |
|
|
|
det A = |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
= a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − |
|
|
|
||||||
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
|||
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−a13a22a31 −a12a21a33 −a32a23a11. |
Правило вычисления определителя третьего порядка называют пра-
вилом треугольника или правилом Саррюса. Это правило можно запи-
сать с помощью схемы (рис.1): со знаком «плюс» берут произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах треугольников, основания которых параллельны главной диагонали; со знаком «минус» – произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали.
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1 |
|
|
|
|
||
Пример 2. Вычислить определитель |
|
1 |
2 |
4 |
|
. |
||||||
|
|
|||||||||||
|
0 |
−1 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
1 |
4 |
|
|
Решение. Воспользуемся правилом Саррюса. |
||||||||||||
|
|
1 |
2 |
4 |
|
=1 (−1) 4 + 2 2 (−3)+ 0 1 4 − 4(−1)(−3)−0 2 4 −1 2 1 = |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
0 −1 |
2 |
|
||||||||
|
|
−3 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −4 −12 + 0 −12 −0 − 2 = −30. |
|
|
|
Ответ: –30. |
20