Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Metodicheskie_rekomendatsii_k_vypolneniyu_KR_1

.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
18.02.2016
Размер:
661 Кб
Скачать

5.19.а)

в)

5.20.а)

в)

5.21.а)

в)

5.22.а)

в)

5.23.а)

в)

5.24.а)

в)

5.25.а)

в)

5.26.а)

в)

lim

 

x3 +12x

 

 

 

 

 

,

12x2 + x +

14

 

x→∞

 

 

lim

 

19x

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0 arctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

x2 − 4x +1

 

,

 

 

5 −3x + 4x2

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

lim

4 tg5x

,

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

x2 −7x +10

 

,

 

 

 

5x + x2

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

7arcsin3x ,

 

 

 

 

x→0

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

x3 + 4x2 + 4x

,

 

12x3

+ 6x2

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

lim 11sin2x ,

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

x4 + 2x −1

 

 

,

 

 

 

 

18

 

x→∞ x3 −7x2 +

 

 

lim

 

 

5 tg2 x

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0 1−cos x

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

x2 + 3x + 5

 

,

 

 

 

5x2 − 4x +

1

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

lim

8arctg3x ,

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

x2 − 4x − 21

,

 

 

 

7x

3x2

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

5sin5x ,

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

2x3 + x +1

,

 

 

 

 

 

 

x3 + x2

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

sin2 3x

,

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

3x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

lim

 

 

x2 − 21x + 38

 

,

 

 

x −18 −1

 

x→19

 

 

 

г)

lim

 

 

9x − 22 3x+3

 

 

 

 

9x +

 

 

 

 

;

 

 

x→∞

 

 

35

 

 

 

 

 

 

б)

lim

 

x2 −18x − 40

 

,

 

5 + x −5

 

 

x→20

 

 

 

г)

lim

 

 

10x − 21 4−5x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

10x +19

 

 

 

 

 

б)

lim

 

 

25 − x − 2

 

,

 

24x x2 − 63

 

 

x→21

 

 

 

 

x −11 x−1

 

 

г)

lim

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

x −10

 

 

 

 

 

 

б)

lim

 

x2 − 24x + 44

,

 

3 −

 

 

x

13

 

 

 

x→22

 

 

 

 

 

 

г)

lim

 

 

2x −8 6−4x

 

 

 

 

2x +

 

 

 

 

;

 

 

 

 

x→∞

 

 

3

 

 

 

 

 

 

б)

lim

 

24 − x −1

 

,

 

22x x2 + 23

 

 

x→23

 

 

 

г)

lim

 

 

3x + 24 5−3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

x→∞

 

 

3x +1

 

 

 

 

 

 

б)

lim

 

x +1 − 5

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→24 x2 − 23x − 24

 

 

 

 

 

4x +1 6x−4

 

 

г)

lim

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

4x −5

 

 

 

 

 

 

б)

lim

 

625 − x2

 

 

,

 

 

 

 

2x −1 −

7

 

 

 

 

x→25

 

 

 

 

 

г)

lim

 

 

5x −12 2−5x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

x→∞

 

 

5x −7

 

 

 

 

 

 

б)

lim

2x2 + x −3

,

 

 

 

 

 

 

2 − x −1

 

 

 

 

 

 

x→1

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

lim

 

 

2x 1 x−1

;

 

 

 

 

 

 

2x +

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

1

 

 

 

 

 

 

11

5.27.

а)

lim

 

x2 x +1

 

, б)

lim

 

 

 

 

x − 2 −1

,

 

 

2x3 + 5x2 − 2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x→∞

 

 

x→2 x2 −3x +

 

 

 

 

в)

lim

arcsin6x

,

 

 

 

 

 

x −1 4−x

 

 

 

 

3x

 

 

 

г)

lim

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

 

 

 

 

 

x→∞

x + 3

 

 

 

 

 

5.28.

а)

lim

 

2x4 + x2 +1

,

б)

lim

 

 

 

 

6 + x −3

,

 

 

x4 + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

x→3 x2 − 2x

 

 

 

 

в)

lim

arctg3x

,

 

 

 

 

 

x + 2 5−x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

г)

lim

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

x +1

 

 

 

 

 

5.29.

а)

lim

 

3x2 + 6x −1

,

б)

lim x2 + 6x −8

,

 

 

x→∞

 

2x +1

 

 

 

 

x→4

 

 

 

 

x + 5 −3

 

 

 

в)

lim

tg8x

,

 

 

 

 

 

 

 

3x −1

x+3

 

 

 

2x

 

 

 

 

г)

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

3x −5

 

 

 

 

 

x→0

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

5.30.

а)

lim

 

x3 + x −1

 

,

б)

lim

 

5 + 4x x2

,

 

 

3x3 + x2 +1

 

 

 

 

x −1 − 2

 

 

 

x→∞

 

 

 

x→5

 

 

 

 

 

 

 

в)

lim

sin x

,

 

 

 

 

г)

lim

 

3x +12 6−x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0 tg5x

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

3x + 7

 

 

 

 

Задание 6. В задачах 6.1.-6.30. найти производные yx

функций:

6.1.

а) y = 2x6

1

 

 

+ x2

 

 

x3 ,

 

б) y = ctg5 2x arccos x2,

x5

 

 

 

 

 

 

в) x =

 

 

t

,

y = ln(t − 2),

 

г)

x − y + eyarctgx = 0;

 

 

t

− 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.2.

а) y = x

x

3

1

x

6

+

 

 

1

,

 

б)

y =

arctg3 2x

,

 

 

3

 

 

 

 

 

x

 

x2 + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) x = t −1, y =

,

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) y2x = ex ;

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

6.3.

а) y = 4x2

1

 

 

+ x5

 

 

x,

 

 

б) y = (sin x2 +1) arctg2 2x

x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) x =

 

 

cost

 

 

 

,

 

 

y =

 

 

 

sint

,

г) x4 + y4 = x2y2;

 

1

+ 2cost

 

1

+ 2sint

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.4.

а) y = x

7

 

x2

 

+

 

4

 

,

 

 

 

 

 

 

 

б) y = cos3(3x) arctg(x3 ),

 

3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) x = tgt,

y =

 

 

 

1

 

 

,

 

 

 

 

 

г) x − y2 + tg(x2y) = 0;

 

 

sin2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

6.5.

а) y =

1

− 2x

x3 + 4x3,

 

 

 

 

x2

 

 

в)

x = 2(t − sint), y = 4(2 + cost),

6.6.

а)

y = x6

1

 

+ 2 6 x5 ,

x6

 

 

 

 

 

 

 

в) x = t + sint,

y = 2 + cost,

6.7.а) y = 4x3 2x + x3 x2 ,

в) x = cost, y = lnsint,

6.8.

а) y = 2x3

 

1

 

+ 2x3 x,

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) x = 4 − sin

πt

, y = −4cos

2

πt

,

 

6

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

6.9.а) y = 4x3 7xx + x35 −5x,

 

в) x = 8sin

πt

,

y = −6cos πt

,

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

6.10.

а) y = x4

3

 

+ x5

x,

 

 

 

 

 

x9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πt

 

y = sin πt

 

 

 

в) x = 6 −cos

,

− 2,

 

 

 

 

1

 

6

 

 

 

 

 

6

 

 

6.11.

а) y = 7 −

 

+ x3 x4 + x9,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

πt

 

y = 4 − 6cos πt

 

 

в) x = 2 −cos

,

,

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

3

 

6.12.

а) y = x2

 

2x

+

1

+ 5x ,

 

 

 

3 x4

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

в) x = cost + t sint,

y = sint t cost,

6.13.

а) y = 3 x2 +12x6 x − 4x3,

 

 

 

в) x = cos2t,

 

y =

 

2

 

 

,

 

 

 

 

cos2 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.14.

а) y = x5 + x3

 

x2

1

 

,

 

 

 

5 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) x = 1−t2 , y =

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

б)

y = 3

x −3

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 3

 

 

 

 

б) exy + x2 + y3 = 2;

б)

y = sin2(3x) −cos x3,

г) ex + ey − 2exy =1;

б)

 

 

 

ln(1+x2 )

x

2

,

 

y = 2

 

 

 

 

 

г)

xe

1 y

+ ye

1 x

= 2;

 

 

2

 

 

2

 

б)

y =

 

tg x2

 

 

,

ln(x2 − 2x

+ 4)

г) x4 - x2y2 + y4 - 5x2 + 5y2 - 1= 0;

б) y = x4 −3x2 sin5x ,

г) yx 3 xy = x;

б) y = lnsin2x tg(x + 2) ,

г) sin2(2x − y2 ) = 3x + 2; б) y = 2x2 sinln(x + 4),

г) x2 −3xy + y2 + x −5y = 0;

б)

y =

 

x3

 

 

,

 

sin x

+

 

 

2

 

1

г) y2 cos x = sin(3x2 ) + y;

б)

y = arcsin

 

x ex ,

г) x3 + 3xy2 + 2y2 −5x =1;

б)

y = sin(ln x) 2x x2 ,

г)

x

= tg(x2 − y);

y

 

 

13

6.15.

а)

y =

1

 

4

 

 

 

+ x

x6 ,

 

 

 

x2

 

 

x

 

 

 

πt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

x = −2cos

πt

, y =

4 − 4sin

2

,

 

3

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.16.

а)

y = x8 +

2

 

x4

x3 ,

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

x = sht,

 

y = th2t,

 

 

 

 

 

6.17.

а)

y = x3

 

x

 

 

2

 

 

+ 3 ,

 

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) x = t2 + t, y = 3 t −1,

 

 

 

6.18.

а)

y =

6

 

−3x3 + 2x

x7 ,

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) x = t3 −1, y = lnt,

 

 

 

6.19.

а) y =

x5 +

 

 

 

 

4

 

 

x3 ,

 

 

 

x

3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) x = t −1, y =

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t −1

 

 

 

6.20.а) y = x2 x52x +147 x ,

в) x = et , y = arcsint,

6.21.а) y = 2 1x3 −3x5 + 6x3 x ,

в)

x = sint,

y =

 

 

 

1

,

 

 

cost

 

 

 

 

 

 

 

6.22. а) y = x2

1

 

+

 

x2

 

− 4 ,

2x3

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

в)

x = cost + sint,

y = sin2t,

6.23.а) y = 4 − x3 x2 + x2 x14 ,

в) x = cost, y = sin2 2t ,

6.24.а) y = 33 x2 2x + x−3 ,

в) x = cos2 t, y = tg2t,

б) y = ln(cos x) cos tg x ,

г) (x − y)2 + cos y2 = 4;

б)

y

=

 

 

etgx

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

2x +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) x

y + y3 cos x = 3;

б) y = ex2 −3x (x2 x),

г)

y2 = x2 − xln y + 3;

 

б)

y =

ctg(3x2 + 2x)

,

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) x2 ln y − y2 ln x =1;

 

б)

y

=

 

earcsin x

 

 

 

 

 

 

 

x2 +

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

г)

y2 =

y − x

;

 

 

 

 

 

 

 

x + y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

y

=

 

8arctg(x +1)

,

 

 

 

 

 

x2 − 4x + 4

 

 

 

г)

y2 sin x = cos(x − y);

б)

y

=

 

 

e−cos x

 

,

 

 

 

 

 

ctg(2 x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

ln y = arctg

y

;

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

y

= ln

x2

−3x +1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

+ 3x +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

x2 + y2 = arctg

y

 

;

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

y = sin x2 (sin2 2x −1),

г) y2 + x2 −cos(x2 y2 ) = 2;

б)

y = (sin6x − 3x) x3 x ,

 

y

= 5x +1;

г)

tg

 

 

 

 

x

 

14

6.25.

а) y = x5

5

 

x

x5 ,

 

 

 

 

 

б) y =

ln(x2 +1)

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x3 − 2x

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

= −3sin2 πt

 

 

 

 

 

 

 

в) x = −4 −cos πt ,

 

y

 

,

г) x2 + ey − x ln y = 0;

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.26.

а) y = x2

+ x3 3 x2 ,

 

 

 

б) y = 2ln(1+x2 ) sin x ,

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

в) x =

t,

y =

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

г) xy = arctg

;

 

 

 

 

1−t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

6.27.

а) y =

 

 

 

 

 

+ 7 x ,

 

 

 

 

 

б) y = arcctg(x2 +1) ex ,

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

3 x4

 

 

 

 

 

 

 

 

πt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) x = 4cos πt ,

 

y = 9sin

− 4,

 

г) x4 − xy2 + y3 − 4y + 5 = 0;

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.28.

а) y =

3x

2

 

4

+ x

4

x

5

,

 

 

 

б) y =

сtg(x3 + x)

,

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x +1

 

в) x = 2 −3cos

πt ,

 

 

y

 

= 9cos πt ,

 

г)

y

= arctg

y

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

x

 

x

 

 

6.29.

а) y =

3

 

 

x

2

 

 

x

 

1

 

x

3

,

 

 

 

б) y =

ln(2x −5)

 

,

x4

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

2x2 −3x

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) x = arcgt,

y = t2 ,

 

 

 

 

 

 

 

г) ex sin y − ey cos x =1;

6.30.

а) y = 8x12 x5 x2

 

 

4

 

+ x6 ,

 

 

б) y = arctg x2 ,

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + 4x

 

 

 

в) x = cht,

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

y = sh t,

 

 

 

 

 

 

 

г) ln x + e x =1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 7. В задачах 7.1.-7.30. найти уравнения касательной и нор-

мальной плоскости.

 

 

 

7.1.

rG = (t − sint)

i +(1− cost) Gj + 2sint kG,

t0 =

π .

 

rG = 6t Gi + 3t2 Gj + t3 kG,

 

 

2

7.2.

 

t0 = 1.

7.3.

rG = 2sint Gi + 3tgt Gj + 2cos t kG,

 

t0 =

π .

 

rG

= 3cht Gi + 3sht Gj + 3at kG,

 

 

4

7.4.

 

t0 = 0 .

7.5.

rG

= et Gi + e−t

Gj + 2 t kG,

 

t0 = 0 .

7.6.

rG = 2sin2 t Gi + 2cos2 t Gj + sin2t kG,

t0 =

π .

 

rG = ln(t −3) i − t Gj +(t2 −16) kG

 

 

4

7.7.

,

t0 = 4 .

7.8.

rG = (2 − t) Gi +

25 − t2 Gj + t2 kG

,

t0 = 4 .

15

7.9.rG = et Gi +(1+ t2 ) Gj + arctgt kG,

7.10.rG = et cos t Gi + et sint Gj + et kG,

7.11.rG = (t − sint) Gi +(1− cos t) Gj + 4sin 2t kG,

7.12.rG = (t3 −3) Gi +(t2 + 2) Gj +lnt kG,

7.13.rG = (t3 + 8t) i + t2 Gj +(5t5 + 3t) kG,

7.14.rG = 2t Gi −3t Gj +lntgt kG,

7.15.rG = 4t Gi +lnt Gj + t2 kG,

7.16. rG = lncos t Gi +lnsint Gj + 2 t kG,

7.17.rG = (cos t + t sint) Gi +(sint − t cos) Gj + t kG,

7.18.rG = (t2 +1) Gi + cos t Gj + et kG,

7.19.rG = (t +1)2 Gi + t3 Gj + t2 G,

7.20.G = (3t − t3 ) i + 3t2 Gj +(3t + t2 ) kG,+1 kr

7.21.rG = t Gi + t Gj +lnsint kG,

7.22.rG = ch22t Gi + sht2 cht Gj + sh2t kG,

7.23.rG = et sint Gi + Gj + et cos t kG,

7.24.rGG = (1+ 3tG+ 2t2 ) Gi G+(2 − 2tG+ 5t2 ) Gj +(1− t2 ) kG,

7.25.r = cos t i + sint j + cht k ,

7.26.rG = 5 − t2 Gi − (2t − t2 ) Gj + (5 − 2t2 ) kG,

7.27.rG = t2 Gi +(t3 − 2) Gj + t6 kG,

7.28.rG = t3 + 3 Gi −ln(2t −1) Gj + t3 kG,

7.29.rG = 2tgt Gi + 3cos t Gj + 3sint kG,

7.30. rG = et+1 Gi −(t2 −3t +1) Gj + 2t + 6 kG,

t0 = 1. t0 = 0 .

t0 = π.

t0 = 1.

t0 = 0 . t0 = π4 .

t0 = 1. t0 = π4 . t0 = π2 .

t0 = 0 . t0 = 0 .

t0 = 1. t0 = π2 .

t0 = 0 . t0 = 0 . t0 = 1. t0 = 0 .

t0 = 1. t0 = 1.

t0 = 1. t0 = π4 . t0 = −1.

Задание 8. В задачах 8.1.-8.30. провести полное исследование указанных функций и построить их графики.

8.1.

y =

x2

+1

;

8.2. y =

 

x2

−1

;

8.3.

y =

x2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

x −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.4.

y =

x

2

 

 

;

 

 

8.5. y =

 

x2

;

 

8.6. y =

 

x2

 

 

;

x +

1

 

 

1

x

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

8.7. y =

 

x2

+ 2

;

 

 

 

 

8.8. y =

x2

 

− 2

;

 

 

8.9. y =

 

 

x

2

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x − 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.10. y =

 

x

2

 

;

 

 

 

 

8.11. y =

 

 

x

2

;

 

 

 

8.12.

y

=

 

x2

 

 

 

 

;

2

x

 

 

 

 

 

x

+ 2

 

 

 

x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.13.

y =

x

2 + 3

;

 

8.14. y =

 

x

2 −3

;

 

8.15.

y =

 

x2

 

 

;

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

+ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.16. y =

 

x

2

 

;

 

 

 

 

8.17. y =

 

 

x

2

;

 

 

 

8.18.

y =

 

x2

 

 

 

 

;

x

3

 

 

 

 

3

x

 

 

 

x

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.19.

y =

x

2 + 4

 

;

 

8.20. y =

 

x

2 − 4

;

 

8.21.

y =

 

x2

 

 

 

;

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

+ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.22. y =

 

x

2

 

 

;

 

 

 

 

8.23. y =

 

 

x

2

 

;

 

 

 

8.24.

y

=

 

x2

 

 

 

 

 

;

x

4

 

 

 

 

 

4

x

 

 

 

 

x

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.25.

y =

2x

2 +1

;

8.26. y =

 

−2x2 −1

;

8.27.

y =

 

x2

 

 

 

 

 

;

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

2x +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.28. y

=

 

x

2

 

 

 

 

 

;

8.29. y =

 

 

x

2

 

 

 

;

 

 

8.30.

y =

 

x2

 

 

 

 

 

.

−2x

1

1

 

2x

 

 

2x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рекомендации к выполнению заданий контрольной работы

Основы линейной алгебры

1. Матрицы и операции над ними.

Прямоугольная таблица, состоящая из m ×n элементов произвольной природы, называется матрицей.

Матрицы обычно обозначают прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, … и записывают в виде

a11

a12

...

a1n

 

a11

a12

...

a1n

 

a

a

...

a

 

, или

a

a

...

a

 

, или сокращенно

A = 21

22

 

2n

A = 21

22

 

2n

 

 

...

...

 

 

 

 

...

...

 

 

... ...

 

 

... ...

 

 

am1

am2

...

amn

 

am1

am2

...

amn

 

A = (aij ), i =1,m, j =1,n .

aij называют элементами матрицы. Если элементы матрицы числа,

то матрицу называют числовой, если векторы – векторной, функции – функциональной и т.д. В дальнейшем будем рассматривать только числовые матрицы.

Элементы матрицы нумеруются двумя индексами: номер строки и номер столбца, в которых стоит элемент.

17

Количество строк и столбцов матрицы определяют ее размерность, т.е. если у матрицы m строк и n столбцов, то говорят, что матрица размерности m на n и записывают: Am×n .

Говорят, что две матрицы равны, если равны их размерности и соответствующие элементы этих матриц.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается О.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей строкой

или вектор-строкой, из одного столбца – матрицей столбцом или вектор-столбцом.

Матрица, у которой число строк и столбцов одинаковое, называется квадратной матрицей. Квадратную матрицу, у которой n строк называют матрицей порядка n. У квадратных матриц выделяют главную и побочную диагонали. Элементы a11, a22, a33, ...,ann образуют главную диаго-

наль, элементы a1n, a2n−1, ...,an1 – побочную диагональ.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов глав-

ной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной матрицей и обозначается Е.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю. Различают верхнюю и нижнюю треугольные матрицы.

Действия над матрицами:

Транспонирование.

Замена строк матрицы соответствующими столбцами называется транспонированием. Транспонированную матрицу обозначают AT .

 

1

0

 

 

1

4

−1

 

4

−2

 

T

Например, если A =

 

, то A

=

0

−2

3

 

 

−1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сложение матриц.

Суммой матриц А и В называется матрица С, каждый элемент которой

равен сумме

 

соответствующих

 

элементов матриц А и В, т.е.

cij = aij + bij , i =

1,m

, j =

1,n

.

 

 

 

 

 

 

1 2

0 −3

 

 

 

1

−1

Например:

 

 

 

+

 

=

2

.

 

3 4

−1 3

 

 

7

Заметим, что сложение может быть выполнено только для матриц с одинаковой размерностью.

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А и действительного числа λ называется матрица В, каждый элемент которой равен произведению соответст-

вующего элемента матрицы А на число λ , т.е. bij = aij λ, i =1,m, j =1,n.

18

 

1 2 0 1

3

3

6

0 3

Например:

−1 2 6 0

 

=

−3

6

18 0

.

 

 

 

 

 

Произведение матриц.

Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Например, матрица Am×n согласована с матрицей Bn×k .

Умножение матрицы А на матрицу В может быть выполнено только тогда, когда матрица А согласована с матрицей В.

Произведением матрицы Am×n на матрицу Bn×k называется матрица Cm×k , каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матри-

n

 

 

 

 

 

 

 

цы В, т.е. cij = ais bsj , i =

 

, j =

 

.

 

 

 

 

 

 

 

1,m

1,k

 

 

 

 

 

 

 

s=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

−1

1

2

 

 

 

 

 

 

0

−3

 

Пример 1. Найти произведение матриц A =

 

и B =

3

4

.

 

 

 

 

 

3

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

1 1+ (−1) 3 1 2

+ (−1) 4

 

 

 

 

 

1

−1

1

2

 

−2

−2

 

0

−3

 

 

 

0 1+ (−3) 3 0 2

+ (−3) 4

 

 

−9

−12

 

 

 

 

=

 

 

=

.

 

3

−2

 

3

4

 

 

3 1+ (−2) 3 3 2

+ (−2) 4

 

 

−3

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−2

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−9

−12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из существования произведения A B ,вообще говоря, не следует существование произведения B A . В случае, если AB = BA , матрицы А и

Вназывают перестановочными.

Возведение в степень.

Операция возведения в степень может быть выполнена только для

квадратных матриц An = A A ... A .

 

 

 

 

 

n раз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2 2

 

1 2

1 2

1 1+ 2 3 1 2 + 2 4

 

7 10

Например:

2

4

 

=

 

3 4

 

=

3

1+ 4 3 3

2

+ 4 4

 

=

15 22

 

 

 

 

3 4

 

 

 

 

 

2. Определители.

Основной числовой характеристикой квадратной матрицы является определитель (детерминант). Определитель квадратной матрицы Anxn

обозначают: , det A , A .

19

Для матрицы А первого порядка определитель det A равен ее элементу a11.

Для матрицы А второго порядка определитель det A записывают в ви-

де det A = a11 a12 и вычисляют по правилу:

a21 a22

 

 

 

 

 

det A =

a11

a12

= a a

a

a .

 

 

 

 

 

 

a21

a22

11

22

12

21

Например:

 

1

2

 

=1 4 − 2 3 = 4 − 6 = −2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

Для матрицы А третьего порядка определитель det A записывают в

виде det A =

a11

 

a12 a13

и вычисляют по правилу:

a21

 

a22 a23

 

a31

 

a32

a33

 

 

 

det A =

 

a11

a12

a13

 

= a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13

 

 

 

a21

a22

a23

 

 

 

 

a31

a32

a33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a13a22a31 a12a21a33 a32a23a11.

Правило вычисления определителя третьего порядка называют пра-

вилом треугольника или правилом Саррюса. Это правило можно запи-

сать с помощью схемы (рис.1): со знаком «плюс» берут произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах треугольников, основания которых параллельны главной диагонали; со знаком «минус» – произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали.

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1

 

 

 

 

Пример 2. Вычислить определитель

 

1

2

4

 

.

 

 

 

0

−1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3

1

4

 

 

Решение. Воспользуемся правилом Саррюса.

 

 

1

2

4

 

=1 (−1) 4 + 2 2 (−3)+ 0 1 4 − 4(−1)(−3)−0 2 4 −1 2 1 =

 

 

 

 

0 −1

2

 

 

 

−3

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −4 −12 + 0 −12 −0 − 2 = −30.

 

 

 

Ответ: –30.

20

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]