Глава 2. Приложение производной

§1. Дифференциал функции

1. Если функция имеет производнуюв точке, то полное приращение функцииможно записать в виде, где- бесконечно малая функция при, т.е..

Дифференциалом первого порядка функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

(1.1)

Если , то, поэтому для дифференциал обычно записывается в виде

(1.2)

При достаточно малых приращениях аргумента дифференциал функции мало отличается от полного приращения:.

Это свойство используется при вычислении приближенных значений функций:

(1.3)

2. Дифференциалом -го порядка называется дифференциал от дифференциала

-го порядка.

(1.4)

Имеет место соотношение

(1.5)

1.1. Найти дифференциал функции .

Решение. Найдем производную функции

Обратимся к формуле (1.2)

. ►

1.2. Вычислить приближенно

Решение. Требуется найти приближенное значение функции в точке. Ближайшей точкой к значению,, в которой значение функции вычисляется легко, является.

Найдем приращение независимой переменной;

.

Найдем значение функции и ее производной в точке :

Используем формулу (1.3).

,

,

. ►

1.3. Найти дифференциал третьего порядка от функции

Решение. Используем формулу (1.5)

;

;

. ►

Вычислить приближенные значения:

1.4.; 1.5.; 1.6..

Найти дифференциалы функций:

1.7.;

1.8..

Найти дифференциалы второго порядка функций:

1.9.; 1.10.

§2. Правило лопиталя

1. Теорема (правила Лопиталя). Предел отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношений их производных, если последний существует:

2. Правило Лопиталя можно при раскрытии неопределенности :

или

.

3. Если имеется неопределенность илиможно перейти к неопределенностии далее использовать пункт 2.:

, где .

2.1. Найти

Решение. Имеет место неопределенность . Применим правило Лопиталя:

2.2. Найти

Решение. Так как и, можно применять правило Лопиталя:

.

Неопределенность осталась. Применим правило Лопиталя еще раз:

. ►

2.3. Найти предел, используя правило Лопиталя

Решение. Найдем пределы основания и показатели степени: . Имеем неопределенность. Перейдем к основанию:

.

В показатели степени имеем неопределенность . Перейдем к неопределенности:

.

Используем правило Лопиталя

Используем правило Лопиталя

Имеем, ►

Найти пределы, используя правило Лопиталя:

2.4. ;2.5. ;

2.6. ;2.7. .

§3. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции

1. Достаточное условие монотонности. Если функция непрерывна на отрезкеи имеет в каждой точке интервалаположительную производную, то эта функциявозрастает на отрезке

Если функция непрерывна на отрезкеи имеет в каждой точке интервалаотрицательную производную, то эта функцияубывает на отрезке

Запишем достаточное условие монотонности в таблицу

Знак при	Поведение функции на	Обозначение
+	возрастает
-	убывает

(3.1)

2. Точка в которой функциянепрерывна и при этом односторонние производные неравны.

называются угловыми.

В угловых точках функция не имеет производной, в этих точках нарушается гладкость графика функции

Рис. 1

На рисунке 1 изображен график функции точкииявляются угловыми.

3. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими.

4. Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точкии имеет производнуюприпричем при переходе через эту точку производная меняет знак. Тогда точкаявляетсяточкой максимума (минимума), если при увеличении аргумента знак производной меняется в этой точке с положительного на отрицательный (с отрицательного на положительный).

Пусть . Достаточное условие экстремума изобразим на рисунках:

знак (3.2);

- точка (точка максимума)

Рис. 2

знак (3.3).

- точка (точка минимума)

Рис. 3