§2. Правила дифференцирования

Таблица дифференцирования основных элементарных функций

1. Дифференцирование явных функций.

Правила дифференцирования:

- постоянная, - дифференцируемые функции:

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

Производная сложной функции.

Пусть переменная является функцией от, а, в свою очередь, является функцией от:. Тогдаявляетсясложной функцией от независимой переменной :.

Если идифференцируемы, то(2.5)

Логарифмическая производная. Логарифмическая производная используется при дифференцировании функции . Логарифмической производнойназывается производная от логарифма этой функции:

.

Тогда

Если , то(2.6.)

Таблица дифференцирования основных элементарных функций

(2.7)

(2.8)

(2.9) (используем формулы

(2.10)

( 2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

(2.21)

2. Дифференцирование неявной функции.

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения не разрешенного относительно.

Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производнойподостаточно продифференцировать это уравнение по, рассматривая при этомкак функцию от, и полученное затем уравнение разрешить относительно.

3. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Зависимость между аргументом и функциейзадана параметрически в виде двух уравнений

где - вспомогательная переменная, называемая параметром. Не выражая явноот, можно найти производнуюпо:

(2.22)

4. Производные высших порядков.

Производной -го порядка (или-ой производной) называется производная отпорядка:

(2.23)

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Обозначения производных высших порядков функции

.

2.1. Найти производные функций:

а);

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Решение.

а) Используем правило (2.2), (2.1), и формулу (2.9) получим

.

б) Используя формулы (2.2), (2.9), (2.10), (2.7) имеем

в) Используя правило (2.3), и формулы (2.11), (2.13) получаем

г) При вычислении производной функции, равной произведению более двух функций, ее представляют в виде произведения двух функций :

Дважды используем правило (2.3):

Используем формулы (2.10), (2.15), (2.9):

д) Используется правило (2.4), (2.2), (2.1) и формулы (2.19) (2.7), (2.8). Имеем

. ►

2.2. Найти производные функций:

а); б);

в) ; г).

Решение.

В этих примерах рассматриваются производные сложных функций.

а) Введем функцию , тогда.

Используем правило (2.5), и формулу (2.14):.

.

б) Введем функцию , тогда.

Используем правило (2.5), и формулы (2.14), (2,9):

в) Введем функцию , тогда. Используем правило (2.5) и формулы (2.10), (2.17):

.

г) Правило вычисления производной сложной функции используется дважды. Введем функцию , тогдаи используем формулы (2.5) и (2.16):

Пусть , тогда

Используем правило (2.5), и формулу (2.12):

Тогда ►

2.3. Вывести формулу вычисления производной функции , где,- постоянная.

Использовать полученную формулу при вычислении производной функции .

Решение.

1. Можно использовать формулу (2.4) или (2.5). Согласно формуле (2.9) имеем .

Тогда .Поэтому

(2.24)

2) Введем , тогда

Используем формулу (2.24) и (2.18):

►

2.4. Найти производные функций

а);

б)

Решение.

а) Основание и показатель степени являются функциями от аргумента .

Используем метод логарифмического дифференцирования:

,

,

;

;

б) Производная вычисляется аналогично примеру. а) Проведем метод логарифмического дифференцирования:

;

;

;

;

;

;

. ►

2.5. Найти производную функции

в точке .

Решение.

В заданной функции является постоянной, а- переменной. Используем формулу

, тогда

Имеем . ►

2.6. Найти производную неявной функции

Решение.

Возьмем производную от левой и правой частей тождества, учитывая, что зависит от переменной:

,

,

,

,

.

Выразим из уравнения:

. ►

2.7. Найти производные ,функции, заданной параметрически.

Решение.

Найдем производные от заданных функций по переменной ;

,

Используем формулу (2.22) для нахождения производной функции по:

:

Найденная производная является функцией от переменной . Получили новую функцию, заданную параметрически:

Используем формулу (2.22). Тогда

:

Найдем производную от функции по переменной:

Имеем

. ►

2.8. Найти производную 3-го порядка функции

Решение. Последовательно дифференцируем функцию:

;

;

. ►

2.9. Найти производную - го порядка функции.

Решение. Для некоторых функций можно вывести формулу -ой производной.

Проводится последовательное дифференцирование функции:

;

;

. ►

Найти производные функций:

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16.

2.17.

2.18.

2.19.

2.20.

2.21.

2.22.

2.23.

2.24.

Найти производные от неявной функции;

2.25.

2.26.

2.27.

2.28.

Найти производные функций заданных параметрически:

2.29.2.30.

2.31.2.32.

Найти производные второго порядка функций:

2.34. 2.35.

2.36. 2.37.

Найти производные -го порядка функций:

2.38. 2.39.

2.40. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

§ 3. Геометрическое, механическое и экономическое приложения производной

1. Геометрический смысл производной. Если кривая задана уравнением , то есть угловой коэффициент касательной к кривой в точке .

Уравнение касательной к кривойв точкеимеет вид:

, (3.1)

а уравнение нормали

(3.2)

2. Механический смысл производной. Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону , где- пройденный путь,- время.Скорость изменения пути в момент равна.Ускорение точки в момент равно .

3. Экономический смысл производной. Пусть выражает объем производимой продукции за время. Производная объема произведенной продукции по времениестьпроизводительность труда в момент .

Эластичность функции определяется с помощью соотношения

(3.3)

Эластичность функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится одна переменная в результате изменения другой переменной на 1%.

Если эластичность спроса (по абсолютной величине) , то спрос считается эластичным, если- нейтральным, если- неэластичным относительно- цены (или дохода).

3.1. Составить уравнение касательной и нормали в точке к кривой, заданной неявно.

Решение. Задана точка , в которой проводится касательная к кривой. Тогда,. Найдем производную неявно заданной функции:

,

,

.

Определим производную в заданной точке:

.

Используем уравнение касательной (3.1)

,

Используем уравнение нормали (3.2)

. ►

3.2. Составить уравнение касательной к графику функции , параллельной прямой.

Решение. Угловой коэффициент данной прямой . Поэтому точкакривой, в которой касательная параллельна данной прямой, находится из уравнения. Тогда, откуда. Определяются значения функции в найденных точках:,. Уравнение касательной к кривой в точкеимеет вид

,

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

, . ►

3.3. Тело движется прямолинейно по закону . Определить скорость и ускорения тела в момент времени

Решение. Найдем первую и вторую производную функции :

, .

Находим скорость движения тела в момент времени :

.

Определим ускорение движения тела в момент времени

. ►

2.4. Объем производства описывается уравнением . Вычислить производительность труда в момент

Решение. Определим производную в момент :

, .

Производительность труда в момент равна. ►

2.5. Определить эластичность функции спроса , где- цена единицы товара. Выяснить при каких значениях цены спрос является эластичным, нейтральным и неэластичным.

Решение. По формуле (3.3) определим эластичность .

Спрос нейтрален, если . Решая это уравнение, имеем. Решение проводится при условии. При, выполняется неравенствои спрос является эластичнымпривыполняется неравенствои спрос уже будет неэластичным. ►

Составить уравнение касательной и нормали к кривой в указанных точках:

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10. Издержки производства зависят от объема продукциии вычисляются по формуле. Найти предельные издержки.

2.11.Найти эластичность функций ,

§ 4. Задачи для самостоятельной работы.

1. Используя определение производной, найти производные функций :

1.1.; 1.3.;

1.2.; 1.4.;

2. Используя основные правила дифференцирования и таблицу дифференцирования основных элементарных функций, найти производные следующих функций

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

2.11. 2.12.

2.13. 2.14.

2.15.

3. Найти значения производных в точкедля следующих неявно заданных функций:

3.1.;

3.2. ;

3.3. ;

3.4. ;

4. Используя понятие логарифмической производной, найти производные следующих функций:

4.1.; 4.2.;

4.3..

5. Найти производную следующих функций, заданных параметрически, в точке, для которой

5.1.; 5.2.;

6.Найти производные второго порядка для функций:

6.1.; 6.2.;

6.3.; 6.4.;

7.Показать, что функция удовлетворяет уравнению.

8. Составить уравнение касательной к кривой ; а) параллельной прямой

; б) перпендикулярных прямой

9.Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке

10.Задачи функции спроса и предложения, где- цена. Найти значения эластичной этих функций в точке равновесия.