12.1.3. Определение коэффициентов и свободных членов канонических уравнений в методе перемещений

 

Для определения коэффициентов и свободных членов канонических уравнений необходимо предварительно построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от единичных неизвестных перемещений узлов системы и от внешней нагрузки, используя таблицы реакций (приложение).

Элементами основной системы в методе перемещений являются статически неопределимые балки. Поэтому построение единичных и грузовых эпюр в основной системе метода перемещений сводится к определению усилий в однопролётных статически неопределимых балках от перемещений их концов и от нагрузки.

После построения единичных и грузовых эпюр изгибающих моментов в основной системе вычисляют коэффициенты r_ik и свободные члены R_i0канонических уравнений.

Существуют два способа определения коэффициентов:

1) статический;

2) перемножения эпюр.

Статический способ является основным в методе перемещений. Этот способ основан на использовании уравнений равновесия для определения реакций во введённых связях, которые и являются искомыми коэффициентами при неизвестных и свободными членами канонических уравнений.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные моменты во введённых плавающих заделках, определяют из условий равновесия вырезанных из основной системы узлов в виде Σm = 0.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные усилия во введённых стержневых связях, определяют из условий равновесия отсечённой части основой системы, содержащей эти связи.

Реактивное усилие считается положительным, если направление его действия совпадает с принятым направлением поворота или линейного смещения узла.

Способ перемножения эпюр целесообразно применять при расчёте рам с наклонными стойками, когда использование статического способа усложняется. Коэффициенты при неизвестных в этом способе определяют путём интегрирования (перемножения) соответствующих эпюр:

,

где _i, _k – эпюры от единичных перемещений введённых связей, построенные в основной системе метода перемещений.

Свободные члены канонических уравнений определяют по формуле

,

где – эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенная в любой статически определимой системе, образованной из заданной (т. е. в основной системе метода сил).

Следует заметить, что способ перемножения эпюр может быть применён в качестве контроля правильности вычисления коэффициентов и свободных членов канонических уравнений, полученных статическим способом.

 

12.1.4. Решение системы канонических уравнений

 

Найденные коэффициенты при неизвестных и свободные (грузовые) члены подставляют в канонические уравнения. В результате решения системы канонических уравнений получают угловые и линейные перемещения узлов заданной системы z₁, z₂ … z_n.

21….. Расчет неразрезной балки методом сил. Уравнение трех моментов

 

Неразрезной балкой называется статически неопределимая балка, опирающаяся в пролете на конечное число шар­нирных опор. Крайние сечения неразрезной балки могут быть сво­бодны, заделаны или шарнирно оперты. Одна из опор неразрезной балки имеет связь, препятствующую смещению балки вдоль ее оси.

Расчет неразрезной балки (рис.11.1, а) можно выполнить, как и любой статически неопределимой системы методом сил. Основ­ную систему для расчета неразрезной балки получим, удалив из нее связи, препятствующие взаимному повороту смежных сечений бал­ки над ее опорами, т.е. поместив шарниры в опорных сечениях балки (рис.11.1, б).

Неизвестными являются изгибающие моменты, возникающие в сечении неразрезной балки над опорами.

Выделим из основной системы четыре примыкающих друг к другу пролета со средней опорой номером n и построим единичные и грузовые эпюры (рис.11.2). Из анализа единичных эпюр видно, что в любом каноническом уравнении только три единичных коэф­фициента будут отличны от нуля. Напишем одно из канонических уравнений в общем виде:

.                                                                   (11.1)

Подсчитаем единичные и грузовые коэффициенты, применяя правило Верещагина «перемножения» эпюр:

                                                                       (11.2)

Подставим найденные коэффициенты в (11.1), получим:

                                                (11.3)

В случае балки постоянного сечения J₁ = J₂ =...= J_n = J_n+1 и введя обозначения X_n1 = M _n1; X_n = M_n; X_n+1 = M_n+1, получим:

.                                       (11.4)

Это и есть уравнение трех моментов для неразрезной балки постоянного сечения. В этом урав­нении неизвестными являются из­гибающие моменты на опорах. Если у неразрезной балки все опоры шар­нирные, то таких уравнений можно составить столько, сколько у балки промежуточных опор.

При наличии на концах балки нагруженных консолей, изгибающие моменты на крайних опорах войдут в уравнение трех моментов, как из­вестные величины, а при отсутствии консолей эти моменты будут равны 0.

Рис.11.1

 

Рис.11.2

 

Если конец неразрезной балки защемлен, то для применения уравнения (11.4) необходимо, отбросив заделку, ввести с ее сто­роны дополнительный пролет =0 (рис.11.2). Такая система будет деформироваться также, как балка с жесткой заделкой.

Решая совместно, составленные таким образом уравнения, най­дем все неизвестные изгибающие моменты на опорах. Далее для построения эпюр M и Q, каждый пролет неразрезной балки рас­сматриваем как балку на двух шарнирных опорах, загруженных внешней нагрузкой и двумя опорными моментами. Ординаты эпюр могут быть подсчитаны по формулам:

,                                                                                (11.5)

где и ординаты эпюр М и Q от внешней нагрузки в основной системе.

Чтобы убедиться в правильности построения эпюр М и Q необ­ходимо провести проверку равновесия неразрезной балки по уравнениям: ;.

Для этого следует определить вертикальные опорные реакции неразрезной балки, используя эпюру Q: 

.                                                                                                      (11.6)

22….. Моментные фокусные отношения

Рассмотрим неразрезную балку, загруженную заданной нагрузкой только в одном пролете и известным нам способом построим эпюру изгибающих моментов (схематично показана на рис. 1).

Обратим внимание на особенность приведенной эпюры – наличие точек нулевых значений моментов в незагруженных пролетах. Они расположены слева и справа от загруженного пролета. Назовем их левыми и правыми моментными фокусами:

– левым (правым) моментным фокусом называется нулевая точка эпюры моментов в пролете при действии нагрузки справа (слева) от него.

Рассмотрим, влияет ли характер и величина нагрузки на положение моментных фокусов. Для этого проведем сечение через левую опору загруженного пролета и рассмотрим равновесие левой же отсеченной части (рис. 5.2). Влияние правой отсеченной части заменим известными усилиями M, Q  и N.

Вполне очевидно, что если N существует, то влияния на характер и величину изгибающего момента не окажет. Поперечная сила Q приложена на опоре и тоже не окажет влияния на изгибающий момент. Таким образом, изгибающие моменты в рассматриваемых пролетах будут зависеть только от величины опорного момента M₂. Учитывая, что в рассматриваемых пролетах закон изменения изгибающего момента линеен, то как бы не менялось значение опорного момента M₂, величина момента в пролетах изменяется пропорционально и положение моментных точек не изменится. Естественно, что сказанное справедливо и для правых моментных точек.

Моментным фокусным отношением назовем отношение между опорными моментами какого-либо незагруженного пролета (рис. 5.3).

Различают левое и правое фокусные отношения:

– левое , если загружен пролет справа;

­– правое , если загружен пролет слева.

Рассмотрим два соседних незагруженных пролета (рис. 5.4) в предположении, что нагрузка справа.

Запишем уравнение 3-х моментов для n-й опоры:

.

Разделим записанное уравнение на M_n:

.

Так как ранее было принято, что , то в нашем случае можем записать:

, .

Перепишем уравнение 3-х моментов с учетом введенных обозначений:

.

Найдем

Получили рекуррентную формулу вычисления левых фокусных отношений. Чтобы воспользоваться ей, надо знать хотя бы одно фокусное отношение.

Рассмотри крайний левый пролет с шарнирным опиранием (рис. 5.5). Найдем левое фокусное отношение для первого пролета:

.

Тогда фокусное отношение для второго пролета, при условии, что он не загружен:

и т.д..

Рассмотрим случай, когда крайний левый пролет имеет левую опору в виде защемления (рис. 5.6).

Заменим защемление нулевым пролетом бесконечной жесткости. Учтем, что для нулевого пролета . Получим:

.

Далее можно вычислить фокусные отношения для всех незагруженных левых пролетов.

Вполне верно будет обобщить полученные резуль­таты на правые фокусные отно­шения. Рекуррентная формула:

Для крайних правых незагруженных пролетов, в зависимости от типа опирания, справедливы ранее полученные результаты.