3. Определение реакций балок от перемещений связей и нагрузки

Рассмотрим ряд примеров расчета стержней на действие ряда внешних факторов – нагрузки и единичных перемещений для формирования библиотеки готовых решений. Для нас представляют интерес два типа стержней – жестко защемленные и с одной шарнирной опорой, а другой жесткой.

Рассмотрим жестко защемленный стержень (рис. 3). Пока­жем возможные внешние воздействия на него (си­ловые и осадка опор). Степень статической неопределимости будет: W = 6 – 31 – 20 = 3.

Стержень симмет­ричен, поэтому основную систему метода сил при­мем симметричной.

Построим эпюры изгибающих моментов от единичных неизвестных (рис. 3), при этом обратим внимание на то, что х₁ кососимметрично, а х₂, х₃ – симметричны.

Найдем коэффици­енты канонических урав­нений (без свободных членов), ибо они одина­ковы для всех случаев внешнего воздействия:

;

– эпюра  кососимметрична, а  симметрична;

– так как эпюра  нулевая;

.

Система канонических уравнений метода сил примет следующий вид:

.

Рассмотрим последовательно отдельные случаи внешнего воздействия.

1. Жестко защемленная балка под действием распределенной нагрузки (рис. 4).

Найдем свободные члены канонических уравнений:

;

.

Запишем канонические уравнения в явном виде:

,

откуда:

;

.

Откорректированная эпюра М₂ и окончательная эпюра М_ок показаны на рис. 4.

2. Жестко защемленная балка под действием сосредоточенной силы, приложенной в середине пролета (рис. 5).

Разложим внешнюю сосредоточенную силу на две рав­ных, чтобы учесть симметрию основной системы.

Найдем свободные члены канонических уравнений:

,.

Каноническое уравнение в явном виде:

, откуда

.

Откорректированная эпюра М₂ и окончательная эпюра М_ок показаны на рис. 5.

3. Жестко защемленная балка при повороте левой опоры на угол  (рис. 6).

Найдем свободные члены:

,

.

Система канонических уравнений в явном виде:

.

Решение:

, .

Откорректируем эпюры изгибающих моментов от единичных неизвестных и сложим:

Окончательная эпюра показана на рис. 6.

4. Жестко защемленная балка при линейном смещении правой опоры на .

Найдем свобод­ные члены:

; .

Каноническое уравнение:

,

откуда .

Откорректируем эпюру  (обратим внимание на знак найденного неизвестного усилия х₁). Окончательная эпюра показана на рис.

Дополните самостоятельно библиотеку готовых решений для данного типа стержня.

Рассмотрим балку с жестко защемленным левым концом и шарнирно опертым правым под действием различных силовых факторов (рис. 8).

Выберем основную систему метода сил (балка один раз статически неопределима) и построим эпюру от единичного неизвестного (рис. 8).

Каноническое уравнение:

.

Найдем значение коэффициента :

.

Рассмотрим ряд частных случай нагружения.

1. Балка загружена равномерно распределенной нагрузкой (рис. 9).

Эпюра изгибающих моментов от распределенной нагрузки показана на рис. 9.

Найдем свободный член :

.

Каноническое уравнение в явном виде:

,

откуда

.

Откорректированная эпюра М₁ и окончательная эпюра М_ок показаны на рис. 9.

2. Балка загружена сосредоточенной силой, приложенной в середине пролета (рис. 10) .

Эпюра М_Р показана на этом же рисунке.

Найдем свободный член :

.

Каноническое уравнение:

, откуда

.

Откорректированная эпюра М₁ и окончательная эпюра М_ок показаны на рис. 10.

3. Балка при единичном повороте защемления  (рис. 11).

Свободный член

(перемеще­ние противоположно приня­тому направлению неиз­вестного усилия х₁).

Каноническое урав­нение

, откуда

.

Откорректированная эпюра М₁ и окончательная эпюра М_ок показаны на рис. 11.

4. Балка при единичном вертикальном смещении левой опоры – защемления: (рис. 12).

Свободный член

(перемеще­ние противоположно при­ня­тому направлению неиз­вестного усилия х₁).

Каноническое уравнение

, откуда

.

Откорректированная эпюра М₁ и окончательная эпюра М_ок показаны на рис. 12.

Другие случаи нагружения рассмотрите самостоятельно.