- •Теория вероятностей Методические указания и задания для самостоятельной работы студентов
- •Рекомендовано к изданию Ученым советом
- •Глава 1. Случайные события
- •Классическое определение вероятности, геометрическая вероятность. Действия над событиями
- •2. Повторные испытания.
- •Глава 2. Случайные величины
Глава 2. Случайные величины
Литература: 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.М.: «Высшая школа», 2002. Гл. 4, 6.
2. Данко П.Е., Попов. А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: «Высшая школа», 1997. Ч. 1.Гл. 5.
3. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. М.: «Высшая школа», 1982. Ч.2. Гл. 3.
4. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевскмй В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: «Высшая школа», 1991. Гл. 3.
Дискретные случайные величины
Случайной величинойназывается величина, принимающая в результате испытания одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов, которые заранее не могут быть учтены.
Случайные величины могут быть двух видов: дискретные и непрерывные.
Случайная дискретная величинаможет принимать только отдельные изолированные значения. Например, дискретной случайной величиной является число студентов в аудитории.
Случайная дискретная величина Х считается заданной, если указано множество значений, которые она может принимать и вероятности появления каждого из этих значений. Эти соотношения между возможными значениями хiи вероятностями их появленияpi называютсязаконом распределения случайной дискретной величины.
Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.Математическим ожиданием дискретнойслучайной величиныназывается сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности: М(Х)==x1p1+x2p2+…+xnpn.
Свойства математического ожидания:
1) М(С)=С, где С – некоторое число.
2) М(СХ)=СМ(Х).
3) М(Х+У)=М(Х)+М(У).
4) М(Х-У)=М(Х)-М(У).
Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Дисперсией случайной дискретной величины Хназывается математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:D(X)= M[X-M(X)]2илиD(X)= M(X2)-[M(X)]2.
Свойства дисперсии:
1) D(C)=0.
2) D(CX)=C2D(X).
3) D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4) D(X-Y)=D(X)+D(Y).
Средним квадратическим отклонениемслучайной величины называют квадратный корень из дисперсии:σ(Х)=
Наиболее распространенными видами распределения дискретной случайной величины являются биноминальное и показательное.
Случайная величина Х имеет биноминальное распределение, если она принимает целочисленные значения от 0 допс вероятностямиpn(m)= p m q n-m. При этом М(х)=np,D(x)=npq.
Дискретная случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможными значениями являются все целые неотрицательные числа, а вероятность того, что случайная величина примет значениеm, определяется формулой Пуассонаpn (m) [am/m!] e-a, гдеa=np. При этомM(x)=np=a,D(x)=np=a.
1.1. Вероятность нормального расхода электроэнергии в некотором районе города равна 0,6. а) Составить закон распределения случайной величины Х – числа дней нормального расхода электроэнергии в ближайшие 4 дня; б) найти интегральную функцию распределения случайной величины Х и построить ее график; в) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение Х.
Решение.а) Число дней расхода электроэнергии Х – это дискретная случайная величина. Ее возможные значения по условию х1=0, х2=1, х3=2, х4=3, х5=4. Вероятность каждого возможного значения найдем по формуле Бернулли:
р1=р4(0)=
р2=р4(1)=
р3=р4(2)=
р4=р4(3)=
р5=р4(4)=
Теперь составим ряд распределения
-
xi
0
1
2
3
4
Pi
0,0256
0,1536
0,3456
0,3456
0,1296
и построим многоугольник распределения
б) Рассмотрим интервал х(-; 0]. Событие Хх для этого интервала является невозможным, так как нет ни одного отрицательного значения Х. Следовательно, р1(Хх)=0. На следующем интервале х(0;1] для Хх имеем Х=0. Вероятность этого события равна 0,0256; р2(Хх)=0,0256. На интервале х(1;2] Х может принимать значения Х=0 и Х=1. Следовательно, р3(Хх)=0,0256 + 0,1536=0,1792. Аналогично, р4(Хх)=0,0256 + 0,1536 + 0,3456=0,5248; р5(Хх)=0,0256 + 0,1536 + 0,3456 + 0,3456= 0,8704 и р6(Хх)=0,0256 + 0,1536 + 0,3456 + 0,3456 + 0,1296=1.
Таким образом, интегральная функция распределения F(x) имеет вид:
F(x)=
Построим график этой функции
в) Математическое ожидание числа дней нормального расхода электроэнергии найдем по формуле М(Х)=х1·р1+ х2·р2+…+ хn·рn, т.е
М(Х)=0·0,0256 + 1·0,1536 + 2·0,3456 + 3·0,3456 + 4·0,1296=2,4.
Дисперсию вычисляем по формуле D(Х)=М[X-M(X)]2:
D(X)=(0-2,4)2·0,0256 + (1-2,4)2·0,1536 + (2-2,4)2·0,3456 + (3-2,4)2·0,3456 + (4-2,4)2·0,1296=0,96.
Среднее квадратичное отклонение:
1.2. Вини Пуху захотелось полакомиться мёдом. Если он заберётся на дерево, то вероятность укуса пчелой равна 0.4. Составить закон распределения случайной величины Х, если наш герой забирается на 5 деревьев.
Решение. Х- количество укусов пчелой. Случайная величина Х имеет биноминальное распределение.
Р(х=0)=р*q5 =0.07776;
Р(х=1)= 5*0.4*0.64=0.2592;
Р (х=2)=10*0.16*0.216*=0.3456;
Р(х=3)= 10*0.064*0.36=0.2304;
Р(х=4)=5*0.0256*0.6=0.0768;
Р(х=5)= 0.01024;
х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
р |
0,07776 |
0,2592 |
0,3456 |
0,2304 |
0,0768 |
0,01024 |
Идёт охота на дикого зверя с помощью ловушки. Вероятность попасть в ловушку для волка-0.3, для медведя-0.5, для лисы и зайца-0.6. Найти закон распределения нормальной величины х - числа попавших в ловушку зверей.
Решение. р1=0,3; q1=0,7; р2=0,5; q2=0,5; р3=0,6; q3=0,4;
р(х=0)=р1р2р3=0.7*0.5*0.4=0.14; р(х=1)=р1q2q3+q1p2q3+q1q2p3=0.41; Р(х=2)= 0.36; Р(х=3)= 0.09.
-
х
0
1
2
3
p
0,14
0,41
0,36
0,09
В книге кулинарных рецептов имеется 6 рецептов приготовления первого блюда, 4 – второго блюда. Пять раз подряд выписывают наудачу взятые рецепты. Случайная величина х – число рецептов первых блюд. Составить закон распределения величины х, найти математическое ожидание и дисперсию.
Решение.
n=5, p=6/10=3/5=0.6, q=2/5=0.4.
p5(0)=0.010024, M(x)=n*p=5*0.6=3,
p5(1)=0.0768, D(x)=n*p*q=0.6*0.4*5=1.2.
p5(2)=0.2304,
p5(3)=0.3456,
p5(4)=0.2592,
p5(5)=0.07776.
-
X
0
1
2
3
4
5
р
0.01024
0.0768
0.2304
0.3456
0.2592
0.07776
1.5. Идёт игра в дартс. Вероятность попадания в центр для участника А-0,8, В-0,7. Всего пять попыток. Составить законы распределения числа попаданий для обоих игроков, если первым кидает игрок А, а также закон распределения общего числа попаданий.
Решение.
-
Число попаданий участника
0
1
2
3
Вероятность участника А
0,008
0,096
0,384
0,512
Вероятность участника В
0,09
0,42
0,49
--------
Общее число попаданий
0
1
2
3
4
5
Вероятность
0,00072
0,012
0,0788
0,2544
0,4032
0,25088
1.6. Предлагаются следующие правила игры: если играющий достанет из полного набора домино фишку, сумма очков на которой равна 3, 6 или 9, то получит приз в размере 9, 6 или 3 у.е. соответственно. В противном случае он отдает 2 у.е. Стоит ли соглашаться на игру?
Решение. Фишку с суммой равной 3 можно достать двумя способами: (0+3),(1+2); 6-четырьмя способами (0+6),(1+5),(2+4),(3+3); 9-двумя способами (3+6),(4+5).
М(х)=9*2/28+6*4/28+3*2/28-2*20/28=8/28=2/7 т.к. математическое ожидание больше нуля, то можно сделать вывод о том, что играть стоит.
1.7. Сколько раз в среднем нужно бросать игральную кость до появления 6.
Решение. пусть р - вероятность появления 6, вероятность первого успеха отсюда равна q=1-p. Чем больше количество испытаний, тем больше искомая вероятность.
-
Количество испытаний
1
2
3
………
n
Вероятность
p
pq
Pq2
………
p*qn-1
Суммарная вероятность равна p+pq+pq2 +pq3 +….+pqn-1=p(1+q+q2+…+ + qn-1);
(1+q+q2+…qn-1)=1/(1-р)т.о. р/1-q=p/1-1+p=1; среднее число испытаний m до первого успеха по определению равно (М(х)):
(1) m=pq+2pq+3pq2…+npqn-1.
Для нахождения суммы такого ряда применим способ суммирования геометрических рядов:
(2) qm= pq+2pq2 +3pq3…+npqn-1q;
Вычитая (2) из (1) получим:
m-qm= p+pq+pq2+…+pqn-1 ;
m(1-q)=1; при этом 1-q=1 следовательно mp=1, откуда m=1/p=1/6.
Возможно другое решение задачи:
Если первое испытание неудачно, то условное среднее число испытаний равно 1+m, а если первое испытание удачно, то условное среднее число испытаний равно 1, т.о. n=p*1+q(1+m)=1+qm, откуда m=1/p=1/6.
1.8. Человеку предлагают сыграть в игру, заключающуюся в том, что из колоды в 36 карт достают две карты по одной и возвращают обратно. Выигрыш, номиналом в 4$ происходит тогда, когда появляется хотя бы один козырь. За игру человек платит 2$. Выгодно ли это?
Решение. Х=-; 2 и событие А – появление козыря.
р()=3/4*3/4=9/16; р(А)=7/16.
Тогда, М(Х)= 2*(7/16)+ (-2)*(9/16)= - 1/4.
М(х)=-1/4<0 следовательно играть не выгодно.
1.9. Выигрыш происходит в том случае, если из полного набора домино достают фишку, сумма очков которой равна 3, 6 или 9 и равен 3, 6 или 9 соответственно. Проигрыш равен 2. Выгодно ли играть и какова плата за участие, чтобы оно было безобидным.
Решение. Х=-; 3;6;9; три очка можно получить как 0+3 или 1+2
шесть как 0+6,1+5,2+4 или 3+3,
девять очков как 3+6 или 4+5.
Остальные 20 случаев проигрышные.
М(х)=9*2/28+6*4/28+3*2/28-2*20/28=2/7>0 значит это выгодно.
Допустим, что а – безобидное участие в игре. Х=-а; 3-а;6-а;9-а
М(х)=2/7-а откуда М(х)=0 т.о. а безобидно при а =2/7.
Абитуриент сдает 2 вступительных экзамена по математике и физике. Составить закон распределения случайной величины Х, числа полученных пятерок, если вероятность получения пятерки по математике равна 0,8, а по физике – 0,6.
Решение. Возможные значения Х есть 0, 1, 2.
Причем,
р(Х=0)=р()=0,2*0,4=0,8; р(Х=1)=р()=0,8*0,4+0,2*0,6=0,44;
р(Х=2)= р(А1А2)=0,8*0,6=0,48.
-
Х
0
1
2
р
0,08
0,44
0,48
1.11. Согласно американским статистическим таблицам смертности, вероятность того, что 25-летний человек проживет еще один год, равна 0,992 (следовательно, вероятность того, что он умрет, равна 0,008). Страховая компания предлагает такому человеку застраховать свою жизнь на год на сумму 1000$; страховой взнос равен 10$. Найти математическое ожидание прибыли компании.
Решение. Величина прибыли Х есть случайная величина со значениями +10$ и -990$. Составим таблицу распределения вероятностей:
-
х
+10
-990
р
-0,992
0,008
М(Х)=10*0,992-990*0,008=2.
Ожидаемая средняя прибыль положительна, что дает возможность страховой компании продолжить дело, оставляя резервный капитал для выплаты страховых сумм, производить административные расходы, получать прибыль.
Игра в рулетку. На колесе рулетки имеется 38 одинаково расположенных разметок: 00, 0, 1, 2,…,36. Игрок может поставить 1$ на любой номер. Если его номер выиграл, игрок получает 36$ (35$ выигрыша плюс 1$ ставки). Найти математическое ожидание выигрыша.
Решение. Составим таблицу распределения вероятностей:
-
х
-1
+35
р
37/38
1/38
М(Х)= - 37/38+35/38= - 1/19.
Игра не является «справедливой», игорный дом должен обеспечивать себе средний доход на «накладные расходы» и риск.
Найти M(Z) и D(Z) для случайной величины Z, если Z=3X-4Y и M(X)=2, D(X)=3, M(Y)=6, D(Y)=5.
Решение. M(Z)=M(3X-4Y)=M(3X) – M(4Y)=3M(X) – 4M(Y)=3*3 – 4*6= = -18.
D(Z)=D(3X-4Y)=D(3X) – D(4Y)=9D(X)+16D(Y)=9*3+16*5=107.
1.14. Распределение дискретной случайной величины Х определяется следующим образом: p(xi)=1/5,i= -2, -1, 0, 1, 2. Найти распределение и математическое ожидание величины: а) у=-х; б) у=х.
1.15. Распределение случайной величины Х определяется формуламиp(x=k)=C/k(k+1),k=1,2,… Найти а) постоянную С; б) p(x3).
Распределение дискретной случайной величины Х определяется формулами p(x=k)=4/k(k+1)(k+2),k=1,2,… Найти математическое ожидание величины Х.
1.17. Человек потерял четыре пуговицы от пиджака в траве. Вероятность того, что он окончит свой поиск после очередной найденной пуговицы, равна 0,3. Составить закон распределения числа пуговиц, которые найдёт человек.
1.18. Имеются три урны. В первой два белых и один черный шар, во второй три белых и один черный, в третьей – четыре белых и один черный. Заключается пари. Выигрыш происходит при появлении белого шара. Найти:
а) минимальный выигрыш, если проигрыш равен 600.
б) минимальный проигрыш при выигрыше в 200.
в) возможен ли в данной ситуации спор с равными суммами.
1.19. Случайная величина Х задана рядом распределения
-
х
-2
-1
0
1
2
3
р
0,1
0,15
0,25
0,25
0,15
0,1
Найти р(х-1), р(-1 х 2), р(х 2). Найти М(х), D(x). Построить таблицу распределения для случайной величины у=2х+3. Найти М(у), D(y).
1.20. Найти M(Z) и D(Z) для случайной величины Z, если Z=6X+2Y и M(X)=2, D(X)=3, M(Y)=6, D(Y)=5.
1.21. За дом внесен страховой взнос 200 рублей. Вероятность ему сгореть в данной местности для такого типа домов оценивается, как 0,01. В случае, если дом сгорит, страховая компания должна выплатить за него 10000 рублей. Какую прибыль в среднем ожидает получить компания? На какую прибыль сможет рассчитывать компания, если для получения страховой суммы в размере 10000 она будет брать взнос 100 рублей.
1.22. Вероятность того, что студент учится на «хорошо» и «отлично» равна 0,6. Составить закон распределения числа студентов, которые учатся на «хорошо» и «отлично» среди четырех студентов.
1.23. В ящике среди 6 деталей 4 стандартные. Извлечены 3 детали. Составить закон распределения извлеченных стандартных деталей.
1.24. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули 2 шара одновременно. Найти закон распределения числа белых шаров (среди вынутых), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.
1.25. В ящике 4 шара с номерами 1, 2, 3, 4. Извлечены 2 шара. Составить закон распределения случайной величины Х – суммы выпавших очков на этих двух шарах.
Непрерывные случайные величины
Случайной непрерывной величинойназывается такая случайная величина, которая может принимать любые значения из конечного или бесконечного интервала. Например, размер детали массового производства.
Характеристиками непрерывной случайной величины являются математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. М(Х)=;D(Х)=; (Х)=.
Вероятность попадания случайной величины Х в интервал определяется по формуле р(а < Х < b)=
Наиболее распространенными видами распределения непрерывной случайной величины являются равномерное, показательное и нормальное.
Равномерным распределением непрерывной случайной величиныназывается распределение, при котором все ее значения находятся в интервалеа,b, а плотность распределения постоянна и равна(х)=.
Числовые характеристики М(Х)=,D(X)=.
Показательным (экспоненциальным) распределениемнепрерывной случайной величины называется распределение, дифференциальная функция которого имеет вид:(х)=0, при х0;(х)=е-хпри х0, а числовые характеристики М(Х)==1/,D(X)= 1/2.
Нормальным распределениемслучайной непрерывной величины называется распределение, дифференциальная функция которого имеет вид:(х)=, где а- математическое ожидание случайной величины,- среднее квадратичное отклонение.
Вероятность того, что случайная нормально распределенная величина Х примет значение, находящееся в интервале (α; β) вычисляется по формуле
р(α < Х < β)=Ф(- Ф(,
где Ф(Х) – функция Лапласа.
Время ожидания поезда распределено равномерно в интервале [0,5] (мин.). Найти плотность вероятности времени ожидания, функцию распределения, среднее время ожидания и вероятность того, что ожидающий будет ждать поезд не более трёх минут.
Решение.
x)= 0 при х0; x)= 1/5 при 0 х 5; x)= 0 при х5.
F(x)= 0 при х0; Fx)= x/5 при 0 х 5; Fx)= 1 при х5.
M(x)== 52/10=25/10=2,5;р(x 3)=р(0 х 3)==3/5.
2.2. Вероятность того, что во время лекции преподаватель объяснит дополнительный материал, равна 0,01. Определить среднее время лекций без дополнительного материала и вероятность того, что в течение пяти «пар» преподаватель ни разу не изложит его.
Решение. М(х)= 1/=100 мин., при этом по времени 5 учебных «пар» равны 400мин.
Тогда, р(400)=1-е-0.01*400=0.0183.
2.3. Количество слов и выражений в лексикологической программе компьютера подчинено закону нормального распределения со средним значением равным 500 и средним отклонением – 36. Найти вероятность того, что наудачу выбранная машина имеет в памяти от 400 до 550 слов и выражений.
Решение.a=500, =36,
Р(400 х 550)=Ф(- Ф(= Ф(- Ф(= 0,9150.
2.4. Ведутся испытания новейшей ракеты. Ошибка наведения – случайная величина, нормально распределённая с параметрами а=24 и =4м. Найти вероятность того, что наведение произведено:
а) с ошибкой, не превышающей 8м;
б) с ошибкой меньше 5м.
Решение.
а) р(| х <8)=Р(-8< х <8)= Ф() - Ф()= - Ф(4) + Ф(8) = = - 0,499968+0,5=0,000032.
б) Р(х <5)=Р(0<х<5)= -Ф(4,8)+Ф(6)=0,0000008.
2.5. Функция плотности удара во время тренировки спортсмена по боксу имеет вид: x)= 0 при х0; x)= 12x при 0 х 1/4; x)= 0 при х1/4.
Найти F(x), построить графики функций, математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что х будет в пределах от 0 до 2, а также вероятность того, что х будет не меньше двух.
Решение. F(x)= 0 при х0; Fx)= 6x2 при 0 х 1/4; Fx)= 1 при х1/4.
2.6. Вследствие некачественной установки операционной системы в работе компьютера случаются «зависания» этой системы. Допустим, что 3 часа - это время работы компьютера до первого «зависания», а среднее число неисправностей за сутки равно 8. Работа до «зависания» распределена по показательному закону: р(t)=, t0. При этом на перегрузку системы достаточно 0,5 часа, после чего компьютер работает до «зависания». Найти вероятность того, что промежуток времени, между двумя «зависания» , больше пяти часов.
Решение. t-промежуток времени, равный трём. Случайная величина распределена по показательному закону и плотность вероятности для нее имеет вид: f(x)= e-8(t-0,5) при t 0.5; f(x)=0 при t 0.5.
Тогда функция распределения имеет вид: F(x)= 1 –e-8(t-0,5)приt0.5;F(x)=0 приt0.5.
Искомую вероятность того, что промежуток То между двумя «зависания» будет больше пяти часов при условии, что перегрузка длится 0,5 часа вычисляется по формуле:
Р(5<T<)=1-F(To), откуда Р(То>5)=1-1+e-8(5-0.5)=0.23-15 т.о. вероятность очень мала.
2.7. f(x)= acosx при -/2х/2 и f(x)=0 при -/2х/2.
Найти параметр а, все характеристики случайной величины Х, р(0 х /2).
Решение. Для нахождения параметра а воспользуемся следующим свойством плотности распределения f(x)
==2а = 1; а = 1/2.
Таким образом, f(x)= cosx при -/2х/2 и f(x)=0 при -/2х/2.
М(х) = 1/2 =0;
D(x)=2/2 – 2 – 0 = 2 /2 – 2.
P(0<X</4)= 1/2=.
Затаривание мешков с сахаром произведено без систематических ошибок. Случайные ошибки подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением =200г. Найти вероятность того, что затаривание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 100г.
Решение. В задаче рассматривается случайная величина Х – ошибка взвешивания, а – математическое ожидание, нормативное значение веса мешка сахара.
Требуется найти:
р(а-100 х а+100)= Ф() – Ф()=2Ф()=2Ф(0,5)= =0,383.
Время ожидания автобуса Х измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0;30]. Определить среднее время ожидания автобуса, дисперсию и вероятность того, что ждать придется не более 10 минут.
Решение. МХ оценивается по формуле МХ=; МХ==15(мин)
DX оценивается по формуле DX=;DX=900/12=75;
р(Х10)==10/30=1/3.
Интенсивность отказов прибора =10-3 . Оценить среднюю наработку на отказ Т и вероятность безотказной работы в течение 500 часов.
Решение. Х – время поступления первого отказа.
Тогда, р(Хt)= 1 – e-0,001t ; t 0; f(t)= e-0,001t ; Т=МХ=1/=1000 ч. – средняя наработка на отказ.
Вероятность безотказной работы в течение 500 часов:
р(х 500)= е-0,5 =0,6055.
Плотность распределения случайной величины задана формулами()=0 при х1 и()=С/х4при х1. Найти: а) постоянную С; б) плотность распределения величины=1/; в) р( 0,10,3).
2.12. Случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром λ: р (ξх)= 1- е-х(х0). Найти плотность распределения случайной величины: а) 1 =; б) 2 =2; в) 3 =1/ln.
2.13. Случайная величинаимеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Какое из двух событий0,7или0,7имеет большую вероятность?
Известно, что N(0,1). Что больше р1=(-0,5-0,1) или р2=(12).
Упаковочный аппарат расфасовывает стиральный порошок в пакеты, средний вес которых 930 гр., а стандартное отклонение – 20 гр. Какая доля пакетов будет иметь вес до 900гр.?
Срок работы электрических компонент подчиняется нормальному распределению со средней продолжительностью работы 80ч и стандартным отклонением 30ч. Допустим, производитель решил заменить все компоненты, которые вышли из строя до гарантийного срока работы, составляющего 45ч. Какую долю общего выпуска составит эта часть продукции.
2.17. Случайная величина Х– время полёта пассажирского самолёта из пункта А в пункт В. Величина Х имеет распределение от 10 мин до 40 мин. Найти математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что полёт займёт более 20мин и менее 18мин.
Найти функцию распределения числа абитуриентов, прошедших по конкурсу, если поступает 6 человек и вероятность пройти равна 0,2 для каждого. Также вычислить вероятность того, что поступят не менее одного и не более пяти человек
Высота дерева, выросшего в парке, подчинено нормальному закону с параметрами а=16футтов, =100футтов. Найти вероятность того, что высота дерева: а) не менее 15,8ф; б) не более 16,25ф; в) от 15,75ф до 16,3ф.
Стрельба ведется из точки О вдоль прямой ОХ. Средняя дальность полета снаряда равна 400 м. Предполагается, что дальность полета распределена нормально со среднеквадратическим отклонением 80 м. Найти вероятность того, что снаряд даст перелет от 120 м до 160 м.
Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины равна 0 при х0; х6 при 0 х 1; 1 при х1. Найти математическое ожидание МХ, дисперсию DX, р(0 х 0,1).
Случайная величина Х имеет нормальное распределение N(1,2). Найти: а) р(х1); б) р(-1х1); в) р(-2х-12); г) р(-4х-14).
Ответы. 1.14. а) М(Х)=0;
-
х
-2
-1
0
1
2
р
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
б) М(Х)=6/5;
-
х
0
1
2
р
1/5
2/5
2/5
1.15.а)С=1;б)3/4 . Указание. Воспользоваться формулами: 1/k(k+1)=1/k– 1/(k+1) ир(x=k)=1;1.16. М(х)=2. Указание. Воспользоваться формулами 2/k(k+1)(k+2)=1/k(k+1)– 1/(k+1)(k+2)ир(x=k)=1;1.17.
-
Число пуговиц
1
2
3
4
Вероятность
0,3
0,21
0,147
0,343
1.18. а) 212;б)565;в)нет;1.19. 0,1; 0,8; 0,1; МХ=0,5;DX=2,05; МY=4;DY=11,2;1.20.MZ=24;DZ=128;1.21.а)400;б)0;2.11. а)С=3;б)()=3х2 (0х1);в)0,026;2.12. а)е-х/2, х0 ;б)2х(х0);в) 2 (х);2.13. р(0,7)= 0,4839р(0,7)=0,5160;2.14. р1=0,1616р2=0,1359;2.15. 6,68%;2.16.12,1%.;2.17. МХ=25;DX=75; р(х20)=2/3; р(х18)=3/5;2.18.р(1х5)=0,736256;2.19. а)0,97772;б)0,9936;в)0,9924;2.20.0,00112;2.21.МХ=6/7;DX=3/196; 0,000001;2.22. а)0,5;б)0,3413;в)0,6826;г)0,9544.
Таблица 1
Значения функции p(m)=e-a
a \ m |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0,1 |
0,90484 |
09048 |
00452 |
00015 |
00000 |
00000 |
00000 |
00000 |
0,2 |
81873 |
16375 |
01638 |
00109 |
00006 |
00000 |
00000 |
00000 |
0,3 |
74082 |
22225 |
03334 |
00333 |
00025 |
00002 |
00000 |
00000 |
0,4 |
67032 |
26813 |
05363 |
00715 |
00072 |
00006 |
00000 |
00000 |
0,5 |
69653 |
30327 |
07582 |
01264 |
00158 |
00016 |
00001 |
00000 |
0,6 |
54881 |
32929 |
09879 |
01976 |
00296 |
00036 |
00004 |
00000 |
0,7 |
49659 |
34761 |
12166 |
02839 |
00497 |
00070 |
00008 |
00001 |
0,8 |
44933 |
35946 |
14379 |
03834 |
00767 |
00123 |
00016 |
00002 |
0,9 |
40657 |
36591 |
16466 |
04940 |
01112 |
00200 |
00030 |
00004 |
1 |
36788 |
36788 |
18394 |
06131 |
01533 |
00307 |
00051 |
00007 |
2 |
13534 |
27067 |
27067 |
18045 |
09022 |
03609 |
01203 |
00344 |
3 |
04979 |
14936 |
22404 |
22404 |
16803 |
10082 |
05041 |
02160 |
4 |
01832 |
07326 |
14653 |
19537 |
19537 |
15629 |
10420 |
05954 |
5 |
00674 |
03369 |
08422 |
14037 |
17547 |
17547 |
14622 |
10445 |
6 |
00248 |
01487 |
04462 |
08924 |
13385 |
16062 |
16062 |
13768 |
7 |
00091 |
00638 |
02234 |
05213 |
09123 |
12772 |
14900 |
14900 |
Таблица 2
Значения функции p(mk)=e-a
a \ k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0,1 |
0,90484 |
99532 |
99985 |
1,0000 |
1,0000 |
1,0000 |
1,0000 |
1,0000 |
0,2 |
81873 |
93248 |
99885 |
99994 |
1,0000 |
1,0000 |
1,0000 |
1,0000 |
0,3 |
74082 |
96306 |
99640 |
99973 |
99998 |
1,0000 |
1,0000 |
1,0000 |
0,4 |
67032 |
93845 |
99207 |
99922 |
99994 |
1,0000 |
1,0000 |
1,0000 |
0,5 |
60653 |
90980 |
98561 |
99825 |
99983 |
99999 |
1,0000 |
1,0000 |
0,6 |
54881 |
87810 |
97689 |
99664 |
99961 |
99996 |
1,0000 |
1,0000 |
0,7 |
49659 |
84420 |
96586 |
00425 |
99921 |
99991 |
99999 |
1,0000 |
0,8 |
44933 |
80879 |
95258 |
99092 |
99859 |
99982 |
99998 |
1,0000 |
0,9 |
40657 |
77248 |
93714 |
98654 |
99766 |
99966 |
99996 |
1,0000 |
1 |
36788 |
73576 |
91970 |
98101 |
99634 |
99941 |
99992 |
99999 |
2 |
13534 |
40601 |
67668 |
85712 |
94735 |
98344 |
99547 |
99890 |
3 |
04979 |
19915 |
42319 |
64723 |
81526 |
91608 |
96649 |
98810 |
4 |
01832 |
09158 |
23810 |
43347 |
62792 |
81548 |
88876 |
94778 |
5 |
00674 |
04-43 |
12465 |
26503 |
44049 |
61596 |
76218 |
86663 |
6 |
00248 |
01735 |
06197 |
15120 |
28506 |
44568 |
60630 |
74398 |
7 |
00091 |
00730 |
02964 |
08177 |
17299 |
30071 |
44971 |
59871 |
Таблица 3
Значения функции (х)=
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0,0 |
0,3989 |
3989 |
3989 |
3988 |
3986 |
3984 |
3982 |
3980 |
3977 |
3973 |
0,1 |
3970 |
3965 |
3961 |
3956 |
3951 |
3945 |
3939 |
3932 |
3925 |
3918 |
0,2 |
3910 |
3902 |
3894 |
3885 |
3876 |
3867 |
3857 |
3847 |
3836 |
3825 |
0,3 |
3824 |
3802 |
3790 |
3778 |
3765 |
3752 |
3739 |
3726 |
3712 |
3697 |
0,4 |
3683 |
3668 |
3652 |
3637 |
3621 |
3605 |
3589 |
3572 |
3555 |
3538 |
0,5 |
3521 |
3503 |
3485 |
3467 |
3448 |
3429 |
3410 |
3391 |
3372 |
3352 |
0,6 |
3332 |
3312 |
3292 |
3271 |
3251 |
3230 |
3209 |
3187 |
3166 |
3144 |
0,7 |
3123 |
3101 |
3079 |
3056 |
3034 |
3011 |
2989 |
2966 |
2943 |
2920 |
0,8 |
2897 |
2874 |
2850 |
2827 |
2803 |
2780 |
2956 |
2732 |
2709 |
2685 |
0,9 |
2661 |
2637 |
2613 |
2589 |
2565 |
2541 |
2516 |
2492 |
2468 |
2444 |
1,0 |
2420 |
2396 |
2371 |
2347 |
2323 |
2299 |
2275 |
2251 |
2227 |
2203 |
1,1 |
2179 |
2155 |
2131 |
2107 |
2083 |
2059 |
2036 |
2012 |
1989 |
1965 |
1,2 |
1942 |
1919 |
1895 |
1872 |
1849 |
1826 |
1804 |
1781 |
1758 |
1736 |
1,3 |
1714 |
1691 |
1669 |
1647 |
1626 |
1604 |
1582 |
1561 |
1539 |
1518 |
1,4 |
1497 |
1476 |
1456 |
1435 |
1415 |
1394 |
1374 |
1354 |
1334 |
1315 |
1,5 |
1295 |
1276 |
1257 |
1238 |
1219 |
1200 |
1182 |
1163 |
1145 |
1127 |
1,6 |
1109 |
1092 |
1074 |
1057 |
1040 |
1023 |
1006 |
0989 |
0973 |
0957 |
1,7 |
0940 |
0925 |
0909 |
0893 |
0878 |
0863 |
0848 |
0833 |
0818 |
0804 |
1,8 |
0790 |
0775 |
0761 |
0748 |
0734 |
0721 |
0707 |
0694 |
0681 |
0669 |
1,9 |
0656 |
0644 |
0632 |
0620 |
0608 |
0596 |
0584 |
0573 |
0562 |
0551 |
2,0 |
0540 |
0529 |
0519 |
0508 |
0498 |
0488 |
0478 |
0468 |
0459 |
0449 |
2,1 |
0440 |
0431 |
0422 |
0413 |
0404 |
0396 |
0387 |
0379 |
0371 |
0363 |
2,2 |
0355 |
0347 |
0339 |
0332 |
0325 |
0317 |
0310 |
0303 |
0297 |
0290 |
2,3 |
0283 |
0277 |
0270 |
0264 |
0258 |
0252 |
0246 |
0241 |
0235 |
0229 |
2,4 |
0224 |
0219 |
0213 |
0208 |
0203 |
0198 |
0194 |
0189 |
0184 |
0180 |
2,5 |
0175 |
0171 |
0167 |
0163 |
0158 |
0154 |
0151 |
0147 |
0143 |
0139 |
2,6 |
0136 |
0132 |
0129 |
0126 |
0122 |
0119 |
0116 |
0113 |
0110 |
0107 |
2,7 |
0104 |
0101 |
0099 |
0096 |
0093 |
00091 |
0088 |
0086 |
0084 |
0081 |
2,8 |
0079 |
0077 |
0075 |
0073 |
0071 |
0069 |
0067 |
0065 |
0063 |
0061 |
2,9 |
0060 |
0058 |
0056 |
0055 |
0053 |
0051 |
0050 |
0048 |
0047 |
0046 |
3,0 |
0044 |
0043 |
0042 |
0040 |
0039 |
0038 |
0037 |
0036 |
0035 |
0034 |
3,1 |
0033 |
0032 |
0031 |
0030 |
0029 |
0028 |
0027 |
0026 |
0025 |
0025 |
3,2 |
0024 |
0023 |
0022 |
0022 |
0021 |
0020 |
0020 |
0019 |
0018 |
0018 |
3,3 |
0017 |
0017 |
0016 |
0016 |
0015 |
0015 |
0014 |
0014 |
0013 |
0013 |
3,4 |
0012 |
0012 |
0012 |
0011 |
0011 |
0010 |
0010 |
0010 |
0009 |
0009 |
3,5 |
0009 |
0008 |
0008 |
0008 |
0008 |
0007 |
0007 |
0007 |
0007 |
0006 |
Таблица 4
Значения функции Ф(х)=
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0,0 |
0,0000 |
0040 |
0080 |
0120 |
0160 |
0199 |
0239 |
0279 |
0319 |
0359 |
0,1 |
0398 |
0438 |
0478 |
0517 |
0557 |
0596 |
0636 |
0675 |
0714 |
0753 |
0,2 |
0793 |
0832 |
0871 |
0910 |
0948 |
0987 |
1026 |
1064 |
1103 |
1141 |
0,3 |
1179 |
1217 |
1255 |
1293 |
1331 |
1368 |
1406 |
1443 |
1480 |
1517 |
0,4 |
1554 |
1591 |
1628 |
1664 |
1700 |
1736 |
1772 |
1808 |
1844 |
1879 |
0,5 |
1915 |
1950 |
1985 |
2019 |
2055 |
2088 |
2123 |
2157 |
2190 |
2224 |
0,6 |
2257 |
2291 |
2324 |
2357 |
2389 |
2422 |
2454 |
2486 |
2517 |
2549 |
0,7 |
2580 |
2611 |
2642 |
2673 |
2708 |
2734 |
2764 |
2794 |
2823 |
2852 |
0,8 |
2881 |
2910 |
2939 |
2967 |
2995 |
3023 |
3051 |
3078 |
3106 |
3133 |
0,9 |
3159 |
3186 |
3212 |
3238 |
3264 |
3289 |
3315 |
3340 |
3365 |
3389 |
1,0 |
3413 |
3438 |
3461 |
3485 |
3508 |
3531 |
3554 |
3577 |
3599 |
3621 |
1,1 |
3643 |
3665 |
3696 |
3708 |
3729 |
3749 |
3770 |
3790 |
3810 |
3830 |
1,2 |
3894 |
3869 |
3883 |
3907 |
3925 |
3944 |
3962 |
3980 |
3997 |
4015 |
1,3 |
4032 |
4049 |
4066 |
4082 |
4099 |
4115 |
4131 |
4147 |
4162 |
4177 |
1,4 |
4192 |
4207 |
4222 |
4236 |
4251 |
4265 |
4279 |
4292 |
4306 |
4319 |
1,5 |
4332 |
4345 |
4357 |
4370 |
4382 |
4394 |
4406 |
4418 |
4429 |
4441 |
1,6 |
4452 |
4463 |
4474 |
4484 |
4495 |
4505 |
4515 |
4525 |
4535 |
4545 |
1,7 |
4554 |
4564 |
4573 |
4582 |
4591 |
4599 |
4608 |
4616 |
4625 |
4633 |
1,8 |
4641 |
4649 |
4656 |
4664 |
4671 |
4678 |
4686 |
4693 |
4699 |
4706 |
1,9 |
4713 |
4719 |
4726 |
4732 |
4738 |
4744 |
4750 |
4756 |
4761 |
4767 |
2,0 |
4772 |
4778 |
4783 |
4788 |
4793 |
4798 |
4803 |
4808 |
4812 |
4817 |
2,1 |
4821 |
4826 |
4830 |
4834 |
4838 |
4842 |
4846 |
4850 |
4854 |
4857 |
2,2 |
4861 |
4864 |
4868 |
4871 |
4875 |
4878 |
4881 |
4884 |
4887 |
4890 |
2,3 |
4893 |
4896 |
4898 |
4901 |
4904 |
4906 |
4909 |
4911 |
4913 |
4916 |
2,4 |
4918 |
4920 |
4922 |
4925 |
4927 |
4929 |
4931 |
4932 |
4034 |
4936 |
2,5 |
4938 |
4940 |
4941 |
4943 |
4945 |
4946 |
4948 |
4949 |
4951 |
4951 |
2,6 |
4953 |
4955 |
4956 |
4067 |
4959 |
4960 |
4961 |
4962 |
4963 |
4964 |
2,7 |
4965 |
4966 |
4967 |
4968 |
4969 |
4970 |
4971 |
4972 |
4973 |
4974 |
2,8 |
4974 |
4975 |
4976 |
4977 |
4977 |
4978 |
4979 |
4979 |
4980 |
4981 |
2,9 |
4981 |
4982 |
4982 |
4983 |
4984 |
4984 |
4985 |
4985 |
4986 |
4986 |
x |
|
x |
|
x |
|
x |
|
3,0 |
0,49865 |
3,5 |
0,49977 |
4,0 |
0,499968 |
4,5 |
0,4999966 |
3,1 |
0,49903 |
3,6 |
0,49984 |
4,1 |
0,499979 |
4,6 |
0,4999979 |
3,2 |
0,49931 |
3,7 |
0,49989 |
4,2 |
0,499987 |
4,7 |
0,4999987 |
3,3 |
0,49952 |
3,8 |
0,49993 |
4,3 |
0,499991 |
4,8 |
0,4999992 |
3,4 |
0,49966 |
3,9 |
0,49995 |
4,4 |
0,499995 |
4,9 |
0,4999995 |