2. Повторные испытания.

Если производится несколько испытаний и вероятность наступления события А в каждом из них не зависит от исхода других испытаний, то такие испытания называются независимыми.

В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же. Далее мы будем рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность.

Вероятность того, что в nнезависимых испытаниях событие Анаступит ровноmраз, определяетсяформулой Бернулли:p_n(m)= p ^m q ^n-m, гдеq=1-p. Формула Бернулли дает точное значение вероятности события. Однако, из-за трудностей вычисления, она применяется только тогда, когда число испытанийnневелико (n10). При n÷10 используют так называемые асимптотические (приближенные) формулы: формулу Пуассона и формулы Муавра-Лаплпса.

Формула Пуассонаприменяется при большом числе испытаний, при условии, что вероятность появления события в одном испытании весьма мала:a=np10. Она имеет вид:p_n (m) [a^m/m!] e^-a.

Функция p_n (m)табулирована, ее значения для различных значенийaиmприведены в таблице 1.

Значения функции p_n(mk) приведены в таблице 2.

Локальная формула Муавра-Лапласаудобна при большом количестве испытаний и при условии, что вероятность появления события в одном независимом испытании p0,1.

Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в nиспытаниях ровноmраз, равна:p_n (m) (x), гдех= .

Функция (x) табулирована, ее значения для различных х приведены в таблице 3. Функция(x) является четной, то есть(-x)=(x).

В том случае, если необходимо найти вероятность появления события А не менее m₁ раз, но не болееm₂раз, используютинтегральную теоремуМуавра-Лапласа:p_n(m₁  m  m₂) Ф(х₂ ) – Ф(х₁),гдех₁=,х₂= Функция Ф(х) табулирована, ее значения для различных х приведены в таблице 4. При этом надо иметь в виду, что функция Ф(х) является нечетной функцией, то есть Ф(-х)=-Ф(х). В таблице приведены значения функции лишь до х=5, при х≥5, с большей степенью точности можно считать, что Ф(х)=0,5.

2.1. 100 разбойников пробираются по замку по одиночке. Каждого из них подстерегает ловушка, вероятность попадания в которую равна 0.8, при этом вероятность его смерти равна 0.9. Какова вероятность летального исхода у 60 разбойников.

Решение. А – событие, заключающееся в том, что разбойник умрет. Тогда, р (А)=0.8*0.9=0 .72;

х=;

 (х)=0.0119.

Согласно локальной формуле Муавра-Лапласа

р₁₀₀(60)=0.00265.

2.2. В коробке 10 фантов, из которых в семи - просьба спеть, а в остальных - рассказать анекдот. Случайным образом вынимается 4 фанта. Найти вероятность того, что в трех из них будет просьба спеть.

Решение. По условию задачи n=4, m=3, p=0.7, q=0.3.

Тогда, по формуле Бернулли получаем:

Р₄(3)=4! /3! *(0.7³*0.3)=4*0.343*0.3=0.4116.

2.3. Возможно короткое замыкание, вероятность которого равна 0,0005 для каждого провода коммуникации. Всего проходит 4000 проводов. Определить вероятность возникновения обесточивания всей системы,

если для этого достаточно хотя бы одного замыкания.

Решение. А - событие, состоящее в том, что произойдёт хотя бы одно замыкание; В – событие, состоящее в том, что не произойдёт ни одного замыкания, тогда р(В)=р₄₀₀₀(0); Р(А)= 1-Р(В); n=4000,p=0.0005,a=2,m=0. По формуле Пуассона имеем р₄₀₀₀(0)=1/0!*e^-2=0.13534; р(А)=1-0,13534=0,86466.

4. В пекарне выпекают пирожки с изюмом. Всего 10 штук. В тесто кладут около 300 грамм изюма. Предполагается, что средний вес изюмины около 1гр. Найти вероятность того, что в одной булочке окажется 15 изюмин.

Решение. Среднее число изюмин в одной булочке а=30 т.к. 300/10=30;

Наибольшая вероятность при 7-8 изюминах и вероятности 0,139.

2.5. Имеется 2 урны. В первой урне 5 белых и 5 черных шаров. Во второй урне 3 белых и 2 черных шара. Наудачу выбирается урна и из нее вынимается шар. Затем шар возвращается в урну из которой его вынули, и процедура повторяется еще 5 раз (всего процедура проведена 6 раз). Какова вероятность того, что число вынутых белых шаров будет: а) три; б) более трех.

Решение. Событие А – из урны вынут белый шар; событие Н₁ – выбрана первая урна; Н₂ – выбрана вторая урна.

Тогда, р(Н₁)= р(Н₂ )=1/2; р(А/Н₁)=5/10=1/2; р(А/Н₂)=3/5;

Р(А)=1/2*(1/2+3/5)=0,55.

а) р₆(3)=

б) р₆(m3)= р₆(4)+ р₆(5) + р₆(6)=0,27795+0,13589+0,02768=0,44152.

2.6. Вероятность того, что зашедший в ресторан посетитель сделает заказ, равна 0,8. Определить вероятность того, что из 100 зашедших не менее 75 человек сделают заказ.

Решение. Посколькуn=100 велико,p=0,8 иq=0,2 не малы, применим интегральную формулу Муавра-Лапласа, получим

р₁₀₀(m75)=р₁₀₀(75m100)=Ф(х₁)–Ф(х₂)=Ф()- Ф()=Ф(5) – Ф(-1,2)=Ф(5)+Ф(1,2)=0,5+0,385=0,885.

2.7. Известно, что 30% призывников имеют 27 размер обуви. Сколько пар обуви надо иметь на складе воинской части чтобы с вероятностью р₀=0,9 были обеспечены все такие призывники, если в часть прибыло 200 новобранцев.

Решение. Очевидно, имеет место схема Бернулли: подбор пары обуви каждому призывнику – одно из 200 испытаний, причем вероятность того, что ему потребуется обувь 27 размера, р=0,3. Пусть на складе имеетсякпар обуви, гдек пока не известно. Требуется подобрать такоек, чтобы р₂₀₀(0mк)р_0. Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа, получим

р₂₀₀(0mk)Ф() – Ф()=Ф() – Ф()=Ф()+Ф(9,26)= Ф()+0,50,9.

Ф()0,4. По таблице 4 находим, что Ф(х)0,4 при х1,28. Следовательно,1,28 и к68,284.То есть на складе достаточно иметь 69 пар обуви такого размера, чтобы с вероятностью 0,9 обеспечить спрос.

8. На факультете учатся 500 студентов. Найти вероятность того, что первое сентября является днем рождения: трех студентов; не менее трех.

Решение. Число испытанийn=500; число студентов, родившихся первого сентябряm=3; вероятность того, что студент родился 1 сентября р=1/365.

Так как nвелико, а р мало и а=nр=500/365=1,37, воспользуемся формулой Пуассона:

p_n(m)  [a^m/m!]*e^-a ; р₅₀₀(3)  [1,37³/3!]*е^-1,37 =0,11.

р₅₀₀(m3)=1- р₅₀₀(m2)=1-0,84=0,16.

8. В первые классы школы должны быть приняты 200 детей. Вероятность рождения мальчика 0,515. Найти вероятность того, что среди них:

а) девочек и мальчиков будет поровну; б) мальчиков меньше, чем девочек.

Решение. а) Число детейn=200, число мальчиковm=100, вероятность того, что ученик мальчик р=0,515,q=0,485. Так какnвелико, р не мало, используем локальную формулу Муавра-Лапласа:

p_n(m) (x), х=, х=-0,4245,(-0,4245)=0,364, тогда р₂₀₀(100)0,364/7,068=0,05.

б) Для вычисления р₂₀₀(m100) используем интегральную формулу Муавра-Лапласа.

р₂₀₀(1m99)Ф() – Ф()=Ф(-0,57) +0,5 = 0,5 – 0,2157=0,2843.

2.10. Старинная семейная фирма решила начать продажу своих акций на бирже. Известно, что 80% брокеров посоветовали своим клиентам купить эти акции. Предположим, что совет был правильным. Наугад отобраны 6 брокеров. Найти вероятность того, что по крайней мере четверо из них предложат своим клиентам купить акции фирмы.

11. Зеленщик покупает персики большими партиями. Учитывая скоропортящийся характер товара, он допускает, что 15% фруктов будут подпорчены. Для проверки качества зеленщик выбирает 10 персиков, и если не более двух плодов оказались подпорчены, он покупает всю партию. Найдите вероятность того, что при нормальных условиях поставки партия товара будет куплена.

12. Проведено 20 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном подбрасывании трех монет. найти вероятность того, что хотя бы в одном испытании появятся три «герба».

13. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Какова вероятность того, что сообщение из 10 знаков: а) не будет искажено; б) содержит ровно 3 искажения; в) содержит не более 3 искажений.

14. Испытание заключается в бросании трех игральных костей. Найти вероятность того, что в 5 независимых испытаниях ровно два раза выпадет по 3 единицы.

15. Торговец фруктами и овощами закупает бананы у заготовителя большими партиями, но учитывая, что это товар скоропортящийся, он предполагает, что до 10% бананов будут подпорчены. Не имея возможности проверить всю закупаемую партию, он разработал следующую процедуру выборочной проверки качества. Из поступившей партии наугад отбираются 30 гроздьев бананов, если подпорченные бананы имеются не более, чем в двух гроздьях, то он покупает всю партию товара. Какова вероятность того, что сделка не состоится, если в партии имеется 5% недоброкачественных бананов.

16. Для транспортировки апельсины упаковываются в специальные ящики по 250 штук в каждом. При вскрытии обнаруживается, что в среднем 0,6% апельсинов испорчены. Какова вероятность, что во взятом для проверки ящике окажется не более двух испорченных плодов.

17. Практика показывает, что в 7% накладных, проходящих проверку в бухгалтерии, оказываются неправильно оформленными. Наугад отобраны 20 накладных. Какова вероятность того, что: а) три из них оформлены правильно; б) как минимум три оформлены неправильно.

18. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,01. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах будет не больше трех попаданий.

19. По данным опроса общественного мнения, из 10800 зарегистрированных избирателей 45% проголосовали за либеральную партию. Если все, кто имеет право голосовать, придут на избирательные участки и данные опроса объективны, то какова вероятность, что либеральная партия получит менее 5000 голосов.

20. Для получения работы оператора компьютера кандидаты должны пройти письменное тестирование, состоящее из 100 вопросов с тремя вариантами ответов на каждый из них, лишь один из которых правильный. Чтобы успешно пройти тестирование, нужно правильно ответить на 40 и более вопросов. Какова вероятность того, что кандидат, выбирающий правильный ответ наугад, сдаст экзамен.

21. Найти вероятность того, что число «девяток» среди 10000 случайных чисел заключено между 940 и 1060.

22. Из урны, содержащей 1 белый и 4 черных шара, по схеме случайного выбора с возвратом проводят 2500 извлечений шаров. Найти вероятность того, что число появлений белого шара заключено между 480 и 540.

23. Из таблицы случайных чисел отбирают числа, делящиеся на 3, до тех пор, пока не наберется 1025 таких чисел. Найти вероятность того, что потребуется таблица, содержащая не менее 2500 чисел.

24. В поселке 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая дни поездок по случайным мотивам независимо от остальных. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в 100 дней. Поезд ходит раз в сутки.

25. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два различных входа. Около каждого из входов имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом из гардеробов для того, чтобы в среднем в 99 случаях их 100 все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли, если зрители приходят парами. Предположим, что входы зрители выбирают с равными вероятностями.

26. Человек проверяет почту в собственном почтовом ящике, заглядывая внутрь через отверстия в дверце. Вероятность того, что света будет достаточно, чтобы увидеть содержание ящика, равна 0.7, а вероятность того, что человек пройдет мимо-0.9. Какова вероятность получения 8 писем из отосланных 15 (внешние факторы не учитывать).

27. В железнодорожном составе, рассчитанном на 495 мест, происходит проверка билетов. Какова вероятность того, что из всех пассажиров будет более 200 мужчин, если известно, что вероятность посадки в данный поезд мужчины равна 0,45, притом, что состав заполнен полностью.

28. Толя спорит с Колей на то, что сможет проглотить 5 чайных ложек рыбьего жира. Вероятность того, что Толя съест одну ложку, равна 0,4. Найти вероятность того, что будет съедено: а) ровно три ложки; б) не более трех.

29. Есть тест, состоящий из 20 вопросов. К каждому прилагается четыре ответа, один из которых верный. Найти вероятность того, что при ответе на тест наугад 6 ответов будут верными.

30. Вероятность того, что после одного учебного года учебник уже нельзя будет использовать в дальнейшем, равна 0,25. Найти вероятность того, что придется закупить не более 1050 новых учебников, чтобы к новому учебному году в библиотеке вуза их снова было 4000.

31. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

32. Из каждого десятка изделий 9 удовлетворяют стандарту. Найти вероятность того, что из 50 изделий число стандартных будет между 42 и 48?

33. Что вероятнее: выпадение герба 3 раза при 5 подбрасываниях, или хотя бы 2 раза при 4 бросках?

34. В магазин вошли 8 покупателей. Найти вероятность того, что трое из них совершат покупки, если вероятность покупки для каждого равна 0,3.

Ответы. 1.17. 2/21;1.18. а)1/30045015;б) 0,13;в)91/667;1.19. а)1/1785;б)1/3927;1.20. а)13800;б)7315;в)100947000;1.21.0,204;1.22.а)а(а-1) /(а+в)(а+в-1);б)2ав / (а+в)(а+в-1);1.23. а)21/74;б)13/74;в)5/74;г)7/74;д)41/74;е)0,0777;ж)0,1203;з)0,0555;и)0,056;к)0,0996;1.24. а)2/15;б)8/15;в)0,64;г)0,72;1.25.0,6532;1.26. а)0,9802;б)0,0196;1.27. а)0,7952;б)0,9853;1.28.а)0,652;б)0,0000535;1.29.14/55;1.30.0,6543;1.31.а)½;б)203/2101.32.73/75;1.33.нет;1.34.да;1.35. 0,952;1.36.0,74;1.37. 43/84 ;1.38.0,36;1.39. 0,71;1.40.0,0004;1.41. 0,664;1.42. а)0,38;б)0,56;в)0,06;1.43.504/732;1.44. а) 0,25; б) 0,5;1.45.со второй;2.10.0,90112;2.11.0,8202;2.12.0,930791;2.13. а)0,348678;б)0,057395;в)0,987204;2.14.0,00021137;2.15.0,18782;2.16.0,8088;2.17. а)0,1139;б)0,1611;2.18.0,0228;2.19.99,65%;2.20.9,5%;2.21.0,95;2.22.0,8185;2.23.0,846;2.24.547;2.25.558.Указание. Пусть в гардеробах по х мест, через у обозначим число пар, выбравших гардероб одного входа, тогда 500-у число пар, выбравших другой гардероб. По теореме Муавра-Лапласа подбираем х так, чтобыp2yx, 1000-2yx≈0,99;2.26. 0,1574;2.27.0,9803;2.28. а) 0,2304;б)0,91296;2.29.0,1667;2.30.0,9664;2.31.0,15629;2.32.0,8414;2.33.хотя бы 2 раза при 4 бросаниях;2.34.0, 2541.