- •Задание № 1 Выборка и сортировка таблиц
- •Задание № 2 Интерполирование полиномом Лагранжа
- •Рекомендации по выполнению задания
- •Пример расчета с помощью электронных таблиц ms excel
- •Расчетные формулы, используемые в ячейках
- •Задание № 3 Численное интегрирование
- •Численное интегрирование
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Задание № 4 Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Исходные данные
- •Исходные данные
- •Исходные данные
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •Методы решения слау
- •Точные методы
- •Приближенные (итерационные) методы
- •Метод Гаусса (последовательного приближения неизвестных)
- •Итерационные методы решения слау
- •Метод Якоби (простой итерации)
- •Метод Гаусса - Зейделя
- •Рекомендации по использованию excel для решения слау № 1 и 3 с помощью обратной матрицы
- •Рекомендации по использованию excel для решения слау № 2 с помощью метода прогонки
Задание № 2 Интерполирование полиномом Лагранжа
Состав задания:
В соответствии с номером варианта ( N ) заполнить строку № 3 Таблицы 2.1.
Для функции, заданной таблично (строки № 3 и 4 Таблицы 2.1), построить полином Лагранжа. Определить интерполированное значение функции для х = 3 и х = 4,5 с помощью полинома Лагранжа
Построить график по 6 точкам
Определить интерполированное значение функции для х = 3 и х = 4,5 с помощью электронных таблиц MS EXCEL и построить график по 6 точкам (с помощью диаграмм MS EXCEL - категория «Точечная»)
Оценить погрешность вычислений
Составить блок – схему и программу интерполирования полиномом Лагранжа
Исходные данные Таблица 2.1
1 |
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
2 |
xiT |
1 |
2 |
4 |
5 | |
3 |
xi |
|
|
|
|
xi = xiT + 0,1 N |
4 |
yi |
2 |
1 |
2 |
3 |
|
Вопросы для самопроверки:
Задача аппроксимации. Непрерывная и дискретная аппроксимация. Абсолютное и среднеквадратичное отклонение.
Задача интерполяции. Локальная и глобальная интерполяция.
Линейная и квадратичная интерполяция.
Интерполирование полиномом Лагранжа.
Оценка погрешности интерполяции
Рекомендации по выполнению задания
В примере использованы исходные данные для варианта № = 40
1 |
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
2 |
xiT |
1 |
2 |
4 |
5 | |
3 |
xi |
1+0,1∙40 = 5 |
2+0,1∙40 =6 |
4+0,1∙40 = 8 |
5+0,1∙40 = 9 |
xi = xiT + 0,1 N |
4 |
yi |
2 |
1 |
2 |
3 |
|
В расчете используются формулы интерполирования полиномом Лагранжа 3-й степени
Построение полинома Лагранжа
Всоответствии с заданием строится многочлен (полиномом) степениn = 3, единый для всего отрезка [х0, y0], принимающий значения во всех узлах сетки, равные значениям исходной функции f(xi), i = 0, 1, 2, 3.
, (2.1)
где - коэффициент Лагранжа.
(2.2)
n = 3 – степень полинома Лагранжа.
Т.о. для расчета по формуле (2.1) необходимо вычислить 4 коэффициента Лагранжа (т.к. в функции, заданной таблично – 4 узловых точки)
Полученные выражения для коэффициентов Лагранжа, а также значенияyi (исходные данные из таблицы 2.1) подставляются в формулу (2.1):
В результате преобразований получено выражение - полином Лагранжа 3-й степени
(2.3)
Определение интерполированного значения функции для х = 3 и х = 4,5 с помощью полинома Лагранжа
Значения х = 3 и х = 4,5 подставляются в формулу (2.3):
длях =3
длях =4,5
Определение интерполированного значения функции для этих точек с помощью коэффициентов Лагранжа
Значения х = 3 и х = 4,5 подставляются в формулы для коэффициентов Лагранжа:
длях =3
Полученные выражения для коэффициентов Лагранжа, а также значения yi (исходные данные из таблицы 2.1) подставляются в формулу (2.1):